卡氏定理应用：虚构载荷法在线视频

各位同学大家好

今天我们来继续学习卡氏定理

虚构载荷法的应用

上次呢我们看到对于这个悬臂梁

我们看到这个时候在自由端会有一个集中力作用

和一个集中力偶作用

而现在呢我们想求得C处的挠度应该是多少

如果单纯的就按照卡氏定理的话

我们得知道C点有一个什么

向下的一个集中力作用

我们才好应用卡氏定理

才能求解

但是现在呢

我们发现这里并没有一个横向的集中力的作用

如何来求得这一点的挠度呢

这是我们现在遇到的问题

我们说其实应用卡氏定理就是为了要求得

某一处关于某一个方向的集中力

或集中力偶的求导

是吧

现在没有这个没有办法求导

没关系由于是线性的系统

所以我们依然可以使用叠加原理

我们用现在的所谓的虚构载荷法来对它进行处理

为了求C点的垂直方向的位移

因此我们在C这个地方沿着垂向作用一个集中力

这个力我们记成Pf

这个力实际上它是不存在的

没关系我们现在先假设它是Pf

有了它我们就可以应用卡氏定理了

那所以我们还是要求一下

在P M0以及Pf共同作用的时候

这个时候这个梁它的应变能是多少

而后我们用卡氏定理来求这一点的它的位移

为了求应变能

我们需要求梁里边的内力弯矩

对于AC段截面截出来

我们很快可以得到这个弯矩

就应该等于-Px-M0

跟以前是一样的

现在加了Pf以后我们看到对于CB段

我们可以看到这个时候

Pf会对这个截面也是有矩的

应该等于-Px-M0再加上Pf对它的矩

都是这个方向的

所以这个力臂应该是(x-L/2 )

好

有了Pf我们说就可以进行求导的运算了

第一段

AC段跟Pf没关系

所以∂M/∂Pf =0

对于第二段CB段现在有Pf了

∂M/∂Pf 我们说可以求导了

得出来-(x-L/2)

现在这个求导的这个过程已经完成了

Pf的历史使命也已经完成了

所以现在怎么样呢

后边实际的这个Pf存在吗

不存在

我们加它的目的就是为了要做这个求导

实际的Pf并不存在

所以这个时候历史使命完成的后边的计算

我们就可以令Pf就等于0了

所以我们应用卡氏定理来求C点的垂向的位移

也就是说它的挠度就可以了

用卡氏定理

∂C=1/EI

而后这是M0

而后这是∂M/∂Pf 求导的结果进行积分

沿着整个梁进行积分

但是我们注意到从A到C的话

这个求导它是等于0的

所以这一段不用计算积分

就从这里到这里就OK了

所以我们看到这个时候的积分的下限是

L/2而后到L就可以了

那么又是一个多项式的积分

很简单

我们可以求出来这个结果

这个就是利用了一个虚拟的

或者讲虚构的一个载荷

目的是完成求这个偏导的这样的一个任务

当我们完成了这样任务之后

这个虚构的力它是不存在的

我们就可以令这个虚构的力怎么样呢

等于0

而后应用卡氏定理就求得了相应的位移

这个Pf跟我们所关心的一个位置上

某个方向的它的位移是密切相关的

所以我们也应该把这个Pf考虑成

一个广义的力

刚才我们求的是C点的这个方向的位移

如果我们现在要关心的是什么

想求求这个C截面的转角的话

那么它对应的广义力就应该是什么

就应该是弯矩了

是吧

那这个时候我们加的就不是Pf了

这Pf就应该广义的

就应该变成什么

变成在这个地方我们加一个虚构的弯矩

而后去建立这个梁的内力

而后去关于这个Mc求偏导

完事以后Mc它并不存在

这个时候就可以令Mc等于0

带到卡氏定理里边去

依然可以求得C截面的转角

这就是虚构载荷法

现在我们继续来看例子

这是一个外伸梁

在这一段上有均匀分布的载荷

载荷集度是q

而后在自由端有一个铅垂向下的集中力P作用

梁的弯曲刚度是常数

现在来求求这个梁自由端的铅垂位移和截面的转角

要求自由端C处的铅垂位移的话

我们看到这里在铅垂方向的确作用

有一个集中的载荷集中的力

所以没有问题

我们直接可以应用什么

卡氏定理来求就可以了

用卡氏定理的话

我们需要计算什么这个时候啊要计算

应变能是吧要计算什么

要计算这个时候截面里的内力

所以我们还是首先要求得这个外力

对B点取矩的话

我们可以求得这个RA应该等于多少

对B点取矩

我们可以看到RA乘以L就应该等于

这个q对它的矩是这个方向的

1/2 qL2减去P乘以为什么

P对它取矩是顺时针跟它方向一样的

要平衡的话所以要去掉它

所以减去P乘以这段L/2整个再除以L

这个时候平衡方程我们就可以得到了

RA应该等于多少是吧

(0.5qL2-0.5PL)/L

算出来RA等于它RA知道的话

那么我们从这来截一下

对于AB段我们截出来研究左半段

这个时候我们看到外力是RA

还有分布的这个载荷

因此这个截面上的它的弯矩

弧箭头朝上研究这半段

弯矩我们就可以求出来它是这个方向的

所以跟这个方向的外力的作用去平衡

所以就等于RA x1-0.5qx12

我们就可以得到

这一段的它的这个弯矩的表达式

就求出来了

好

还有呢我们还得知道BC段的它的弯矩

这个时候我们选择另外一个坐标

是从原点是从右端开始的

方向呢是向左的

这个坐标我们记成x2这个时候对于BC段

我们在x2位置的时候给它截开

研究什么

研究右半段研究右半段的话

那这个时候面上的正的弯矩

就应该弧箭头朝上

就应该弧箭头朝上

是这样的一个情况我们就可以求出来

可以看到它平衡的话

这M加上P对它取矩是什么

Px2等于0所以MBC=-Px2算出来

好了

那这个时候

我们对各段的弯矩关于集中力P求偏导

第一段

我们可以看到求偏导是这一项

所以-x1/2

第二段我们可以看到求偏导就是-x2

好

那么带到卡氏定理里面去

沿着整个梁进行积分

在x在AB段积分它的坐标是x1

在BC段积分它的坐标是x2

我们分段积分就可以了

第一段AB段0到L

EI弯矩

弯矩关于P的偏导dx进行积分

第二段是BC段它的弯矩

弯矩关于P的偏导进行积分是0到L/2

把我们前面求出来的弯矩

以及关于P的偏导带进去

可以看到它是多项式的积分

这个积分呢很简单

大家一下就可以算出来

结果呢我们写在了这里

由于我们现在不知道P和q的关系

所以这个式子有可能是大于零

也有可能是怎么样

小于零

如果是大于零的话

那么我们讲这个自由端C它的

这个铅垂的位移就应该跟那里的集中力P的方向

应该是一样的

反之就相反了就应该向上

好

这个时候P力因为是作用在自由端垂直方向的

直接应用卡氏定理我们可以求出来它的这个挠度

现在的问题是什么

我们需要求得C截面的转角

而C截面在转角的方向上

并没有一个集中的力偶的作用

没关系

我们可以利用什么

加虚构载荷的方式来对它进行分析

现在因为我们是要求C截面的转角

它对应的广义力应该是一个力偶

好比说我们加在这里顺时针方向加Mf

现在呢

我们再来求求这个时候的约束反力是多少

而后去写出梁现在情况下的它的弯矩的表达

而后带到卡氏定律里边再进行求解

现在我们好比说对B点取矩的话

我们可以看到这个RA乘以L就应该等于

1/2 qL2

这个呢我们可以看到应该是什么

减去PL /2再减去Mf

因此RA我们就可以看到应该等于它们除以L

RA知道的话跟刚才类似的

我们来看AB段的弯矩

坐标从这边开始向右是x1的正方向

我们截出来研究左半段

跟刚才是一样的

这个弯矩我们可以写出来

MAB段写出来RA对它取矩是x1力臂

而后均布载荷对它取矩

我们可以看到是什么是逆时针

所以是-0.5qx12

把刚才求得的这个RA带进去

在这里带进去可以得到了这样的结果

看到这里边还有谁啊Mf

所以我们这个时候就可以这个弯矩

关于这个集中力偶求偏导了

结果我们可以看到就是-x1/L

这是我们对AB段的分析

对于BC段的分析也跟刚才似的

我们用截面法截出来求它的弯矩

这个时候呢我们研究的是右半段

到这里的距离是x2

那我们依然可以求出它的弯矩

就应该等于-Px2而后再减去Mf

这个时候弯矩表达式里有Mf啦

就可以关于它来求偏导

所以求偏导是-1Mf求完偏导

我们看到求完偏导

Mf已经完成了它的历史使命

我们就是现在过河拆桥这样Mf=0

给它踢到一边去

好啦

带到卡氏定理里面去

我们可以看到θC就应该等于

∫∂M/EI ∂M/∂Mf dx

沿着整个的梁的长度进行积分

显然应该是分AB段和BC段

这是AB的情况这是BC段的情况

把我们刚才求得的那些弯矩啊

以及偏导这些结果带进去

同时这个时候注意了啊

Mf可以认为它等于0了

它实际上是不存在的

这个时候带进去的结果两段

多项式进行积分

很快可以求得了θC应该是多少

同样的

因为P和q的关系我们不清楚

所以它有可能是大于零的

也有可能是怎么样

小于零的

大于零就意味着C截面的转角

和我们刚才假设的C截面的那个Mf

这个方向应该是一致的

如果它是小于零的话

那那个方向和我们刚才假设的

这个顺时针Mf方向呢就应该是相反

就应该是什么逆时针的

这又是一个我们用虚构载荷法

对这个梁某一个位置处没有一个集中力

或者集中力偶作用的话

我们求得了相应的方向上的它的位移的情况

下面我们再来看一个例子

现在呢是一个直角的这样的一个杆

这样的一个结构

这一端呢我们可以看到是滚动铰支座

这一端是定铰支座

在竖直的这一段的中间截面中

有一个顺时针的一个力偶

这段长是2a这段长也是2a

让我们来求一求在C这个位置处转角是多少

同时来求一求D这个位置的水平位移应该是多少

我们看到这个结构以后

发现在C截面也好在D这个位置也好

没有集中的力偶

没有一个水平的集中力没关系

我们可以用虚构载荷法对它进行分析

首先我们来看看C截面处的转角

为了求转角

所以转角对应的广义力就应该是

在这个转角的方向上的一个力偶

我们虚构了一个这个载荷Mf

顺时针方向的

好

现在我们要求出这个结构它的内力

也就是CD段和AC段

它的弯矩应该是多少

第一步呢我们就要来求一求这的约束反力

由于这是一个滚动铰支座

所以这的约束力只有这个方向的

那这的约束力呢也只有这个方向的

为什么

这是力偶这是力偶是吧

这没有水平的力

当然这个地方也没有水平的力

现在我们来看看这是力偶这也是力偶

合成还是力偶力偶要跟力偶平衡

因此我们可以看到这个RD

和这儿的这个RAy 也构成力偶

它的方向就应该和它们两个合成的

那个顺时针方向应该怎么样相反的

所以这个呢是向上

这点呢是向下这向上这个向下

很快的根据平衡条件

我们可以看到

RD乘以2a就应该等于什么m加Mf

所以这个时候RD就应该等于（m +Mf）/2

这个呢因为是力偶

所以RAy 的值跟这个RD是一样的

我们可以求出来

这时候我们就可以写出这个结构里边的

它的内力它的弯矩是多少

首先我们来看水平段

为了计算弯矩方便

所以我们这水平的以D位置为坐标原点

向左的方向作为x1的方向

我们来看看这个截面上的

它的弯矩应该是多少

可以看到这弯矩呢

我们好比说这边是向上为正

那我们就可以求出来可以看到平衡

所以这个弯矩应该是RD乘以力臂

我们可以看到是x1

把这个RD带进去乘以x1

这一段我们就要对谁啊

这Mf要求偏导了出来的结果就是它

可以看到就是x1/2a

这是CD段现在我们来看看CB段

这一段我们为了分析方便

从C为原点

向下的方向作为x2的方向

用截面法这个时候沿着这个位置

把这个构件一分为二

我们研究上半段研究上半段

好

这个时候我们注意这个弯矩的方向

研究上半段的话

我们说这弯矩正方向应该是这样

和这边这正方向应该是一致的

是吧

好

那这个弯矩是多少呢

我们可以看一下在这儿

显然RD对它是有矩的方向呢

是这个方向跟它相反所以是抗衡的

还有哪个还有在这Mf是跟它方向一样

它俩加起来应该等于RD乘以这个2a

因此我们可以得到了这个时候的

这个地方的弯矩就应该等于RD乘以2a-Mf

就应该等于m

所以这一段关于Mf求偏导

等于0

我们接下来再来看AB段

这个时候我们以A为原点

向上的方向作为x3的方向

分析这个截面上它的弯矩

我们就不分析上半段啦

下半段是不是受力简单呢

一眼就可以看到外力是什么

沿着轴线方向作用的

它对这个截面不产生弯矩

所以很快可以得到这个截面的弯矩是多少呢

是等于0

所以关于Mf求偏导的话也是零

对于这一段尽管弯矩里边是有的

但是呢求偏导以后它是零

所以这一段乘积以后积分

被积函数是零没必要积分

而后这一段呢我们可以看到

首先它弯矩就是零

所以弯矩乘以弯矩关于Mf求偏导还是零

所以乘完被积函数也是零

所以积分只在哪一段就可以了

只在CD段就可以了

CD段里的弯矩表达式里边

我们看到是包含有Mf的

实际它是不存在的求偏导已经结束了

这个时候历史使命完成了

我们可以令它Mf怎么样等于0

好

带入卡氏定律里面去

我们就可以得出来这个C截面的转角是多少了

我们刚才已经说了

这一段M等于0不用计算

这一段关于Mf的偏导等于0

所以也不用计算积分只在这一段进行

上下限0到2a由于Mf等于0

所以这一段的弯矩就变成了m/2a x1

求出偏导就是x1/2a积分

很简单的多项式

结果我们可以看到就是2am/3EI

这个直角结构只在m作用下C截面的转角

我们就求出来了

这个时候我们注意到它是什么

它是正的是大于零的那就意味着什么

它是什么方向转呢这个截面

我们看到这里假设的C处的Mf它是顺时针的

说明这个方向就跟Mf的方向是怎么样

是一致的

所以正就表示了这样的一个意思

还有我们需要求什么

D点的水平的位移应该是多少

是吧

现在呢我们就需要在D点水平方向

加一个虚构的载荷Pf

过程跟刚才一样

那么我们现在来求一求

这个时候的约束反力是多少

注意

现在已经加了Pf了水平方向要平衡的话

我们看到A点呢水平方向也有约束反力了

它呢我们可以看到跟它就应该是什么

等值反向的

而这里的RAy 和这里的RD也是等值反向的

现在我们要来算出具体的这个值应该是多少

RD应该是多少好比说对A点取矩

这两个方程里不出现它是一个力偶

顺时针的对任意一点的矩还是什么

还是m

还有呢这个时候我们可以看到RD

这个平衡方程

我们可以看到∑mA 就应该等于

可以看到顺时针m

而后这边呢Pf对它取矩也是顺时针

力臂是2a所以加上Pf乘以2a

而后这RD对A点取矩是怎么样

逆时针的力臂是多少

可以看到是2a

所以减去这的RD乘以2a应该等于0

我们就可以求得这RD是多少了

求得RD应该等于这个RAy 呢又跟它相等

好

这个时候所有的外力我们都知道了

来求各个截面它的这个内力

也就是弯矩应该是多少

对于CD段x1到这

我们用截面法截出来

可以看到这个面上的弯矩应该是多少呢

可以看到应该是什么

RD乘以x1是吧

所以我们可以看到第一段RD乘以x1

∂M(x1)/∂Pf 求导就可以看到就是x1

我们再来看看这一段BC段

我们从x2位置用截面法截开研究上半段

这个时候我们可以看到RD对它是有矩的

是吧

正方向这个方向

我们可以看到RD对它是有矩的

都是这样子向上的RD乘以

对它取矩的话力臂是2aPf对它也有矩

但是对它取矩的话是顺时针

力臂是多少是x2

因此我们可以得到了这一段的弯矩的表达式

这一段可以看到

应该是RD乘以力臂2a减去Pf乘以x2

把RD带进来的话

那么我们可以看到它的弯矩的表达式就是这个

乘以2a的话这乘2a就是m

而后这个是Pf乘以2a所以2a在这

这呢还有一个Pf乘以x2

减去x2弯矩关于Pf求偏导

所以就等于2a-x2对于第三段AB段

那么我们从这x3位置

截面截开研究下半段

可以看到这个外力是什么

可以看到这儿呢有RAx

我们这个时候弯矩都是这样为正方向

所以这边的这个弯矩呢我们可以看到是正的

RAx 乘以力臂x3

好了

注意了

这时候RAx 我们已经知道了是Pf

所以就是Pf x3

弯矩关于Pf求偏导x3

每一段的弯矩求偏导

弯矩求偏导弯矩求偏导

我们都已经完成了

现在Pf的作用已经结束了

求偏导已经完成了使命已经完成

这个时候呢我们就可以令这些Pf怎么样

应该等于0了

是吧

应该等于0它等于0的话

我们看到这第三段AB段积分不用做了

两个乘积出来还是0那么在这地方

我们讲呢都不是0

所以BC段是要积分的

这儿呢Pf等于0这一项不等于0它呢x1

所以呢这一段也是需要积分的

所以我们就对这两段进行积分就可以了

这是CD段的结果

这个呢是我们可以看到的

是BC段的结果上下限0到a

那么CD段呢它的长度是0到2a

进行积分

简单的多项式积分很快结果可以出来

等于是什么17a2 m/6EI

它现在我们可以看到是怎么样的

是大于零的说明什么

说明现在这个位移的方向

和我们假设的Pf的方向是怎么样

是一致的

也就是说这个时候D点的水平位移是怎么样呢

是向右的

那么这个呢就是我们又用了虚构的载荷法

对一个直角的这样的一个框架

进行了相关的我们感兴趣的位置

而且还是什么

感兴趣的方向上的位移进行了求解

接下来我们再来看一个例子

这个例子是什么呢

我们看到了这是一个由1/4圆环

所构成的一个曲杆

不是直的了啊

曲杆

这一端是固定的这一端是自由的

自由端作用了一个沿着可以看到了啊

这个时候就是它的半径的方向

整个1/4圆环的半径的方向

也是铅垂方向作用一个集中力

已知这个圆环大的圆环它的半径是R

这个曲杆的弯曲的刚度是常量是EI

现在要求求这个自由端它的水平与铅垂的位移

毫无疑问铅垂方向我们看到了

它这就有一个集中力是吧

直接可以用卡氏定理对它进行分析就可以了

注意到这是一个曲杆所以这个长度方向

你看看就是什么实际上就是什么

这个弧长的方向是这样的一个圆的画的

我们讲就用什么坐标就方便了

显然直角坐标XY不方便

我们用什么用极坐标

以水平这个位置为坐标原点

这个时候我们可以看到这个顺时针方向

这个角度作为θ的正方向

我们来看一看在这个地方

θ所决定的这个面上的它的弯矩应该是多大

你弯矩写出来

你才能写出这弯矩关于什么

P的什么导数

你才能带到卡氏定理进行积分

是吧

好了

那现在呢我们从这截开

在θ所确定的平面给它用一个假想的截面

从这截开我们研究哪半段呢

研究这半段为什么

我们可以避免求这的什么约束力

好了

研究这半段的话

那你来看看这弯矩是多少啊

我们从这做它的平行线而后再做垂线

现在只有这个外力那么对它的矩是多少

力臂是什么叫点到作用线

这是P力的作用线

点到作用线的垂直距离是什么

是力臂所以这p力

对它的矩就应该是多少

P乘上这段距离这段距离是多少

我们在这来看是多少

R乘以什么cosθ

是吧

好了

我们可以写出来PR cosθ

方向呢我们可以看到是这样的方向

好

你认为这是正的话那就认为是什么

让它曲率越来越大这个弯矩是什么

是正的

∂M/∂P看到了就是R cos∂θ

所以带到卡氏定理里边去

我们可以看到∫∂M/EI ∂M/∂P ds

注意它是沿着构件的长度来进行积分的

那现在构件的长度这个微元

这个长度是多少

我们可以看到它就应该等于R乘上什么dθ

所以这ds就是Rdθ这两项

我们讲这个M还有∂M/∂P带进来

EI提出去θ呢

本来是关于长度积分

变成这个关于这个dθ的积分

我们可以看到θ就从0到了π/2

所以上下限我们就知道了

这个积分其实也很容易R R R

还有P是常量提出去

就变成cosθ平方积分了

是吧

我们用倍角公式可以给它降阶

幂次降下来

我们就可以很快的得到这个积分

出来的结果(PR3 π)/4EI

它是正的正的什么意思

就是和这儿的P力的方向是一样的

也就是说B铅垂的位移是向下的

好了

那这是这个位置的铅垂的位移

注意还要求什么水平的位移

这里没有水平的集中力不要紧

我们用一个虚构的力加在水平方向上

记成Pf

那现在我们要求一求这个时候

θ截面它的弯矩应该是多少

刚才我们已经求出来了

P对它取矩的话已经说了

是P乘以R cosθ那这Pf呢

点到作用线的垂直距离

点到作用线作用线是谁啊是这个

这垂直距离是多少

是不是就是这距离啊

我们看到对它取矩也是这个方向

也是让它什么曲率越来越大的

两个方向一样

所以PR cosθ加上Pf×这段距离

我们可以看到这一段呢是R sin∂θ

所以这一段就是R（1-sinθ)

所以就是Pf R（1-sinθ)

弯矩已经求出来了

跟Pf有关

现在我们把这弯矩关于Pf求下偏导

Pf历史使命完成就可以令Pf等于0了

带到卡氏定律里边去

∫∂M/EI ∂M/∂P ds沿着整个构件长度

进行积分

跟刚才是类似的

我们这个时候让Pf等于0这一项没有了

所以就是PR cosθ求偏导

R（1-sinθ)ds=Rdθ

所以这个积分也很好做

你把这个变成什么d sin∂θ

这不就是这积分一下就出来了嘛

结果写在这里

我们看到了它依然是一个什么

大于0的一个值

说明了这一点的位移和这儿的集中力的

方向应该是一样的

所以这一点的水平位移就是怎么样呢

向右的

这个就是我们求了一个曲杆的某一个位置

某些方向的位移利用的虚构的载荷法

好

通过这些例子我们可以看到

运用卡氏定理想要求并没有集中力

或力偶作用的某个位置的

某个方向的位移的话

这个位移包括转角

可以在感兴趣的位置

感兴趣的方向上虚构一个集中力

或者一个集中力偶而后进行求导

最后再令这个虚构力或者虚构的力偶等于0

带入卡氏定理完成相关的计算

有关虚构载荷法的相关内容的介绍就到这里

谢谢大家