当前课程知识点:材料力学 > 第二章 拉伸、压缩与剪切 > 2-5-1 静不定(超静定)系统 > 静不定(超静定)系统
各位同学大家好
现在我们开始学习材料力学第二章
有关静不定问题的知识点
我们说静不定问题也称之为超静定问题
我们在静力学里我们已经遇到过
如果用所有的平衡方程
去求解那些未知的力的时候
我们发现
这个时候未知量的个数
是超过独立的平衡方程的个数的
那么这样的问题我们管它叫做静不定问题
在那个时候我们跟大家说
你要想解决这样的问题
需要学习材料力学的知识
现在呢我们就来讨论讨论有关这方面的问题
在这一章
因为我们是讲的杆的拉压问题
所以我们研究的是拉压杆的静不定问题
那么
这是一般的情况
未知量个数多于独立平衡方程的个数
你再比如说
我们经常看到的
由于温度变化所引起的应力的计算
你比如说很简单
如果我们现在这里是一个管道
但这个管道呢
两端都给它用固定的约束约束住了
管道里面可能它输送介质的话
为了让它便于流动
我们可能是要给它升温的
那一升温的话
我们通过物理的知识
我们都知道一般的材料
基本上都是什么呀
热胀冷缩的
随温度升高
它势必要怎么样 要膨胀出去
要伸长
可是约束又约束住它了
那么这个呢就涉及到静不定了
再比如说
我们学制图的时候
学机械制图的时候
我们讲这个零件在装配的时候
我们说它的配合
就有一种叫做什么 叫做过盈配合
也就是说我们需要把一个大的东西
装在一个小的空间里面去
那怎么装的呢?通常呢
一定是这个有空间的这个地方
我们要给它加热一下
那么它呢就可以变大一点
然后把这个大尺寸的东西放上去
那么一到正常的温度呢
这个时候我们可以看到
好比说我们把轴放在一个轴承的内圈里面
那这个时候呢
它的这个内圈就紧紧地和轴就抱在了一起
那么这个时候呢
也是我们所说的
产生了装配应力的情况
这是静不定问题
那么要解决这些问题
我们说就需要利用到我们现在讲的
材料力学它变形的计算
要利用变形协调条件来加以解决
也就是说我们除了列出来独立平衡方程
再加上由变形协调条件导出来的补充方程
我们就可以方程的个数和未知量的个数相等
这些方程就可以求解了
它所依据的是什么样的原理呢
我们说就是叠加原理
所谓的叠加原理
我们说对于任何的线性系统而言
那么叠加原理都是满足的
我们来看旁边这个图
好比说这是变形
这是受力
那么它们之间如果是线性关系的话
大家来看
在受力是F1的时候
它对应的变形
我们可以看到应该是什么 这个时候
我们可以看到应该是Δ1
如果现在的力增加到两倍的话
达到了2F1的话
那么
这个时候它对应的这个变形Δ2
大家说跟Δ1什么关系啊 对了
由于它是一个直线的情况
所以这相当于一个什么 三角形
那么三角形平行线之间肯定是
旁边应该是怎么样都是成比例的
这边也是一样
成比例的
这个和它也是成比例的
所以我们可以看到这个Δ2一定是什么
两倍的Δ1
相当于什么
相当于我们认为是作用了F1产生了Δ1
然后再作用了F1又产生一个Δ1
所以这Δ2就是两倍的Δ1
这是线性系统
其实这样的概念
我们在中学的物理里
大家都已经接受了
比如说中学的话
我们知道
F=ma
那时候我们都知道这F是什么意思啊 合力
那如果这个F
由两部分构成
有F1
F1等于ma1
然后F2等于ma2
那我问大家
你说这a等于什么啊 F是F1和F2的和
那a呢 你可以看到
为什么你说a就等于a1加a2了呢
就因为它们之间是呈线型比例关系
这个比例系数就这个m
我们现在研究的材料呢
依然是线弹性的
应力和应变胡克定律是线性关系
所以它也是线性系统
满足叠加原理
也就是说
这个和作用的结果就等于
里边的各个分量作用结果的和
这就是线性叠加原理
不只是力学
任何系统是电也好还是什么也好
你只要是线性关系
叠加原理永远满足的
我们再来看旁边这条曲线
显然它是非线性的
我们来看一下
在F1作用的时候
那么它对应的变形在哪里呢 在这里
Δ1‘
如果我们把力double一下
到了两倍的F1
我们来看看它的变形是多少 Δ2’
显然Δ2′远远不止两倍的Δ1‘
它们就不是这样比例关系了
为什么?因为它是非线性的
线性的就是可以的
好
这是线性叠加原理
接下来
我们将以例题来介绍怎么样应用叠加原理
来求解这个静不定问题
大家现在来看第一个例子
有关静不定的第一个例子
大家来看
我们现在呢
这个
一段直杆
底下连着一个细一点的直杆
然后整个这一直杆呢
被两端固定端约束限制住了
那么这一段的它的柔度呢是f
中间一段柔度呢也是f
底下这一段的柔度呢
我们可以看到是2f
我们来看这个杆
在这加了有一个力
在这又加了一个力
这是P
这是2P
作用一共这样的一个P再加上这个2P
好啦
在这样的外力作用下
来求一求这两端的约束力是多少
同时注意啦
我们要画出这个构件的它的什么
要画出轴力图
还要画出各个截面的轴向的位移图
我们首先的任务
你得把所有的外力都求出来
然后我们才可以用截面法去求出什么
相应的截面的内力
那怎么办呢 大家来看
显然这个时候
上端固定端
有约束力
我们记成R1
底端固定端也有约束力
我们记成R2
我们来看看用静力平衡方程
能不能把R1
R2求出来
我们看到这个系统我们可以看到啊
整个杆的它的受力
是一个什么 是一个共线力系
独立的平衡方程个数只有多少
静力学我们学过的
是不是只有一个呀
所有的力沿着这个方向
投影代数和等于0
那也就是R1+R2-P-2P=0
一个方程
两个未知量
显然我们不能求出R1和R2是多少
所以我们必须要补充方程
补充的是什么 变形协调条件
现在我们来看一下
我们现在呢
其实这个约束的作用是什么呢
实际上对这杆有力的作用
现在我们把这个约束给它去掉
但是它的作用我们不能去掉
我们作用呢我们说不就是约束力嘛
所以我们以这个约束力R2来代表这个约束
那这样一来呢
就相当于什么 在固定端约束的作用下
这一段端自由了啊
但是呢
它是有约束力的
还有在载荷2P
载荷P共同作用下的情况
共同作用的话它每一段可能都会有变形
但是整体的变形大家说是多少呢
由于两端约束住了
所以它整体的变形量应该是怎么样 0
对不对
那这个呢就是变形的协调条件
好
我们来看一下
这种情况
我们就给它变成了什么
变成了上端固定
底下自由
这边有P
这里有2P
然后这里有什么?有R2作用
由于是线性系统
所以我们可以认为它先在载荷作用下
一种情况
再叠加上
注意这里的载荷P和2P已经作用过了
那这边只剩下还有谁没有作用呢
还有R2没有作用
那么在P和2P作用下
显然这杆是怎么样了 伸长了
那么整个杆的伸长量
我们可以记成什么 Δ0
然后这个时候只在R2的作用下
注意向上
它整个是怎么样 是受压了
所以它缩短了
因此呢
它这个缩短的量我们记成什么 Δ1
在这些两个力作用下
它的变形是这么大
在这个单独的力作用下它的变形是这样
那么它们共同作用的时候变形是多少呢
这可以看到
应该是零
所以也就意味着什么
我们可以看到Δ0+Δ1=0
注意
这个时候我们把好比说
向上的这个位移作为正方向
那么你这个向下的这个伸长
这个位移就是负的
所以它们叠加起来就应该等于零
这就是变形的协调条件
而至于这个Δ0、Δ1等于什么
我们上个知识点
在上个知识点已经介绍过
拉压杆的伸长量Δl怎么计算
所以Δ0、Δ1我们是可以算出来的
显然包含有R2
再叠加上平衡方程
两个方程
两个未知量
显然是可以求解的
这是我们的分析
接下来我们就来看具体的计算
好
我们看这个图
那么我们可以用截面法截一下
如果从这儿截开的话
研究下半段
我们可以看到
没有外力
所以呢这个截面上的内力是多少啊
零
所以下面这一段的内力是零
然后如果我们再从这儿截开来
截面法
也研究下半段的话
我们看到外力在这是什么 向下的2P
所以在这研究下半段
向上是外法线方向
根据平衡方程我们可以看到
中间这一段
那么这个时候
它的轴力是多少 正的2P
然后我们在最上面这一段
我们也用截面法截一下
好比说还是研究下半段
那么在这向下的P
在这有向下的2P
那在这个截面上的轴力是多少呢
我们可以看到是正的3P
所以上面一段
3P
中间一段2P轴力
最底下一段是零
而每一段的它的柔度已经告诉我们了
这一段是f
这一段也是f
那么地下这一段呢是2f
我们就可以算出Δ0是多少
那么我们可以看到Δ0
注意这个时候向上为正
那么ΣfiPi
轴力乘以什么 柔度
这不就变形量吗
那么
最下面一段柔度2f
但是它的轴力是多少 是零
中间一段它的轴力是多少 是2P
它的这个柔度是多少
是f
所以中间一段的变形是这么大
因为它伸长
位移让它向下了
所以应该是负的
那么最上面一段
我们可以看到它的轴力是3P
它的柔度是f
两个乘起来是它的变形
它也是轴力是正的
是伸长
使得底下这个截面向下位移了
所以也是认为是负的
因此我们可以看到
它就应该等于负的5Pf
这是Δ0
好
那接下来我们再来看单独R2作用的情况
R2作用的话只是这一个单独向上的
没有其它的载荷在作用了
所以这个时候我们可以看到
各段你用截面法去截的话
我们都可以看到
每一个截面都是受压了
都是受到压力的作用
那么这个时候呢都是什么
压力
都是R2
都是R2
类似的
我们可以看到
由于受压
所以各段都是压缩了
各段都是压缩了
各段都是压缩了
上面截面不可以动
所以底下这个截面肯定是向上位移了
这向上的位移就是大于零的
那么我们可以计算出来Δ1
这一段R2乘以2f
这一段R2乘以f
这一段R2再乘以f
所以等于4fR2
带到刚才我们分析的变形协调条件里面去
因此我们可以得到它们两个加起来应该怎么样
等于0
因此这两个加起来等于0
我们可以看到这时候R2等于多少
1.25P
再加上平衡条件
平衡条件是什么
我们讲了是P+2P-R1-R2=0
那么
我们因此根据这个平衡方程
我们就可以求出R1是多少 1.75P
就求出来了
好
那么
两端的约束力我们都求出来了
上面的那个约束力是1.75P
下面约束力也是向上
是1.25P
由此我们用截面法
可以看到
真正的这个杆的各个截面
每一段各个截面的内力应该是多少
那么最底下是向上R2
所以这一段的轴力显然就是多少呢 受压
所以负的1.25P
然后我们再从这截的话
注意这时候谁上来了 2P就作用上来了
所以按照向上正方向
受拉的话我们可以看到是多少
这向下2P
这向上1.25P
所以这是多少 0.75P
然后最上面一段那就是多少 就是向下的R2
那么这时候我们可以得出来
最上一段的
它的内力
再加上什么
这个P的作用
因此我们可以画出来
注意这个竖直方向的坐标
表示这杆子轴线的方向
这个水平轴的方向表示它轴力的大小
所以最下一段它是受压
是1.25P
然后到这里加了2
变成正的 0.75P
这个就变成1.75P
它的轴力图我们就画完了
还有
我们根据变形的计算
我们还可以看到各个截面它的位移的情况
我们这时候呢
还是这竖直方向作为这个杆的轴线方向
然后这个向左的这个方向表示
各个横截面它的位移的情况
我们依然把各个横截面向上的位移规定为正的
两端固定住了
所以没有位移
是零
然后底下这一段
我们可以看到
它的这个轴力是受压
是负的1.25P
所以最底下这一段-1.25乘以两倍f
就变成它的缩短量
所以
底下面不动
只可能是缩短了
只可能是这个截面怎么样呢
向下位移了
是吧?所以这个面儿的位移是负的2.5Pf
由于它是一个线性的关系
中间那些截面我们就不用算了
我们直接连线连起来
那么
这就是表示了
各个不同截面位置时候它对应的它的位移
它是负的
好了
中间一段我们先放在那
我们来看最上面这一段
这边是零
固定住不位移
那么最上面一段它的这个轴力是多少呢
我们可以看到这一段它的轴力都是1.75P
是正的
是受拉
所以上面一段是伸长了
伸长的话上面一端又固定住了
所以这一段的变形量就意味着
P作用的这个截面
怎么样?向下位移了那个变形量
那么
轴力是1.75P
它的柔度是f
所以两者乘就是它的变形量
所以1.75P再乘以f
1.75Pf
这就是这个P力作用的这个截面
它的向下的位移
连线连起来
因为线性关系直接连线连起来
中间一段也是线性关系
好了
直接这不这一点知道这一点知道
两点一连线
就Ok了
所以我们看到除了
上下两个端面是固定不动的话
中间的各个截面全部大大小小的都怎么样
做了向下的位移
这就是这个拉压构件
静不定的拉压构件它的内力图
这是它的什么
位移图
位移图
这是我们介绍的第一个拉压构件的静不定问题
好
我们今天先介绍到这里
谢谢大家!
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业