当前课程知识点:材料力学 > 第十二章 能量法 > 12-3 卡氏定理,应用 > 卡氏定理,应用
各位同学
大家好
今天我们来学习卡式定理
以及它的应用
我们以这个简支梁为例
来证明卡式定理
现在这个简支梁上面作用从P1P2
一直到Pn
n个集中力对应的作用点产生挠度
分别继承δ1δ2
一直到什么δn
显然这个时候梁的应变能
是这些作用的集中力的函数
假如说现在第i个集中力
有一个增量dPi
那这个时候应变能也相应的会有一个增量
在数学上我们可以知道
这个应变能的增量就应该等于∂Vε/∂Pi而后dPi
有了这样一个增量以后
现在我们可以看到梁的应变能应该是什么
应该是两者的和
W再加上这个应变能的增量
应该是它
现在呢我们来做一点事情
类似于我们对于互换定理的证明
有意的改变一下加载顺序
假设dpi先作用
那么它作用的位置就会产生一个位移
应该是&
dδi
由此产生的应变能
我们讲应该是二分之一dPidδi
也就是说现在P1P21直到Pn没有作用
只是谁作用
只是在第i个位置有的dPI作用
对应的产生的挠度是这么多
所以dPi在这个位移上的功
这应该是1/2 dPi dδi
从0到dPi引起的对应点的挠度
从0到了底的dPi
所以呢它们是线性的这样的关系
线性系统
所以1/2
好
现在呢它作用在那里
注意这个dPi始终在第i点作用
而后现在我们再叠加上
这n个集中力的作用
对应点产生的这个挠动
或者讲各个集中力作用点
现在这个位移
跟之前一样
也都是多少呢δ1 δ2 … δn
它们的
在这样的相应的位移上的功
当然也跟之前是一样的
我们还依然继承Vε
问题是dPi是不是又做功了
对
这个做功是多少呢
这个做功是多少呢
我们说是它作用
而后在它作用之后又叠加了这些力作用
所以这个时候dPi一直是作用在梁上的
那这个时候I点的它的位移是多少
是δi
所以dPi相当于现在是一个常力在δi上作用
所以它的功我们可以写出来
dPi δi
像这种我们人为地一步一步这样的一个
加载的方式做功
一共是多少呢
我们可以看到
应该是一开始dPi作用产生dδi的时候的功
还有呢几个啊
n个集中力
一起作用的时候产生的
这个啊做的功
或产生的应变能应该是这个
在它作用的过程当中
dPi又做了这么多的功
所以三者的和
我们把刚才说P1P2Pn先作用
而后呢又有第i个力
有一个dPi有个增量
这两个应该是相同的
两个式子我们进行一下对照的话
我们可以看到这个呢是增量的情况
这个时候应变能
而后现在呢是什么
我们分步加载以后
得到的应变能
大家注意这一项和这一项怎么样了
就相互抵消了
而后我们再注意dPi和dδi
这是一个小量
这也是小量
所以它是一个二阶的小量
而这个呢我们可以看到一阶小量
这个呢dPi一阶小量
所以它是一个高阶小量
我们可以给它忽略不计
那得到了什么样的一个结果
它忽略不计
所以就得到了它和它相等
大家都有谁啊都有dPi都有dPi
因此我们得到了第i个位置处
它的位移应该是多少
我们就求出来了
也就对于这个梁而言
它在i点的挠动我们就求出来了
是吧
就是什么整个梁
应变能
关于第i点所作用的集中力的什么
偏导数
我们就得出来了
那么这个公式就叫做什么
卡式定理
我们就推导出来了
只要我们能够算出这个构建它的应变能
而后呢我们知道在对某一个位置
或者第i位置作为有一个这样的集中力
那么在这个集中力作用方向上对应的位移
我们就能够求出来了
这个对应的位移当然就是什么
相应的变形量了
那我们就能够求出来了
如果我们看到的
注意大家一定要注意这个
一定给它想成一个什么
是一个广义的一个集中力
如果这就是集中力的话
我们讲的以牛顿为单位这样的力的话
那么对应的这个是什么
就是线位移
如果这个集中力是一个什么
如果是扭矩的话
那就对应扭矩方向的位移就是什么
就是截面在这儿的扭转角
如果在这的这个集中力
它是一个弯矩的话
那么这个对应的位移就是截面的什么
前转的这个转动的这个角度
所以我们要把这个广义力
对应于广义的位移
这个关系一一对应
我们说相应的这样的集中的力
或集中力偶作用地方的它的这个位移
或讲的变形
我们就能够用卡式定理求出来了
接下来我们就来求解一个实际的问题
现在我们可以看到一个悬臂梁
这里作用集中向下的力P
集中的力偶Ma
整个的梁的长度是L
它的抗弯刚度是EI是一个常量
啊这里没写
但是我们认为它是一个常量
现在请大家用卡式定理来求求这个梁自由端的
铅垂位移和截面的转角
刚才我们求的卡氏定理是什么
可以看到δi=∂Vε/∂Pi
是吧
那要求铅锤的这个位移的话
我们先要算出来整个梁的它的什么
应变能
而后关于P求导就是P方向的位移
就是自由端的挠度
同样的我们求出应变能以后
这里作用一个集中力偶
那么这个产生的位移就是截面的转角
所以应变能关于这个集中力偶求导的话
那么我们得到的就是这个截面的转角
下面我们就要来具体的来进行计算
要求应变能
我们必须知道X截面位置处的
它的内力应该是多少
这是一个什么
弯矩的情况
所以我们必须知道弯矩的表达式
我们以这里为原点
沿着轴线向右为X坐标
我们截下来这个梁段
来看一下这个截面上的弯矩应该是多少
正方向
弧线头朝上
我们很快可以算出来这个弯矩是多少
要跟它平衡
所以这就是等于负的p
对它取矩是多少啊
是X再减去Ma所以我们可以看到
这个M0减去M0
弯矩表达式有了
现在我们来计算
这个时候的应变能按照公式梁的应变能
M2 dx/2EI沿着整个梁段进行积分
2EI
注意
它跟X无关
是常量提出去
好
这个时候M呢我们带进来
看到负PX减去M0它的平方
dx积分显然就是一个多项式的积分
很容易算出来
应该是这样的一个结果
应变能算出来了
现在呢我们就要来求求这个方向的
它的位移是多少
也就是A截面的
自由端的
它的挠度是多少
所以δA就应该等于这个应变能关于P求偏导
这个已经有了
像这一项是有P的这项有P这项没有
所以不用管它
这是求导二下来
这是3在求导
P1次
所以2就求出来了
这是自由端
铅垂方向的它的位移
我们还要求一求这个截面的转角
这里有什么集中的力偶作用
所以截面的转角就应该是应变能
关于这个方向
这个力偶集中力偶求偏导
出来的结果是它
这里由于p力是向下的
所以求出导它是什么
这是我们可以看到啊它是正的话
就意味着这一点的
它的位移是怎么样的
是向下的
而θA呢是关于M0求偏导的
它也是正的
说明这个截面往哪边转了
也是这个方向转了
就是逆时针转了这么多的角度
这就是一个卡式定理的一个应用
方便吧
那么我们注意到在数学上求导和积分
这个顺序是可以怎么样
是可以互换的
那么用卡式定理的时候啊
有应变能先求而后在什么
关于这个集中力来求偏导
现在呢我们注意到这个
数学上这个积分和求导的顺序可以怎么样互换
我们可以怎么样
让它先求导后积分
所以这个求导放里边先做
在积分
因此可以看到它就变成什么
M方求导
那么就是M2约掉了Ei
然后在这基础上
∂M/∂Pi dx
这样做的好处是什么
它求完偏导
你看看被积函数显然比这个平方的时候要怎么样
来得简单
所以让计算的过程变得简单了
不那么繁复了
对于等直杆
你比如说我们遇到的桁架
每一杆都是等直杆
这些杆
它的内力并不随着这个杆的截面而发生变化
所以它是一个常量
那这个时候呢
我们看到应变能的计算公式就不用积分
就是每个杆每个杆每个杆
它的这个应变能的和就可以了
所以就是
看这个桁架里有多少个杆
n个杆就这样求
那对应的这个时候
每一个这个
好比说这个第I点的位置作用有集中力的话
那对应的这个力的方向的
它的位移怎么求呢
我们按照卡氏定理就可以看到
这个应变能关于PI求偏导
所以就变成了一求偏导的话
我们可以看到2下来和底下2约掉了
Nj Lj/EAj ∂Nj/∂Pi
这是我们又讲了桁架
怎么样
利用卡氏定理
求相应位置处的它的位移
现在呢我们把刚才的那个例子
按照先求导后积分的这种方式
再重新求解一遍
可以体会一下它的积分
变得简单了
同样的
我们讲的这个弯矩呢还是这样的一个表达式
那这个时候我们可以看到
∂M/∂P求出来-x
∂M/∂M0 求出来
求偏导啊是-1
所以带到卡式定理里边去
δA我们可以看到EI提出来
这时候就是M
这个呢就是pm
pnp进行积分出来的结果
你看这等于一求偏导
等于这多项式它的这个幂次降低了
所以积分变得容易
同样的道理
我们可以求出θA1/EI
这个时候是M乘以∂M/∂M0 看到了啊这个进行积分
所以也变得简单很好记
出来的这样的结果
啊这个呢就是告诉我们
更简捷的一种的求解的情况
现在呢如果啊说我们还想对截面C这个位置
还要求它的挠度
怎么办
那么在这个地方说没有一个这个你要求挠度吗
求C这个铅锤的位移的话
你必须在C点有一个什么
铅锤的集中力作用才可以
现在没有啊那怎么求导啊
是吧
用卡式定理怎么求导
大家想这个问题
我们下一次的知识点内容的介绍的时候
会告诉大家
这个方法
有关这卡式定理的应用
当某个位置作用集中力
或者集中力偶的时候
我们就可以运用卡氏定理求出
这个位置集中力作用方向的位移
如果是力偶的话
那就是力偶方向的转角
使用卡氏定理
可以先求导后积分
使得求解计算快捷简单
这就是今天我们介绍的卡式定理
及其应用的相关内容
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业