卡氏定理，应用 在线视频

各位同学

大家好

今天我们来学习卡式定理

以及它的应用

我们以这个简支梁为例

来证明卡式定理

现在这个简支梁上面作用从P1P2

一直到Pn

n个集中力对应的作用点产生挠度

分别继承δ1δ2

一直到什么δn

显然这个时候梁的应变能

是这些作用的集中力的函数

假如说现在第i个集中力

有一个增量dPi

那这个时候应变能也相应的会有一个增量

在数学上我们可以知道

这个应变能的增量就应该等于∂Vε/∂Pi而后dPi

有了这样一个增量以后

现在我们可以看到梁的应变能应该是什么

应该是两者的和

W再加上这个应变能的增量

应该是它

现在呢我们来做一点事情

类似于我们对于互换定理的证明

有意的改变一下加载顺序

假设dpi先作用

那么它作用的位置就会产生一个位移

应该是&

dδi

由此产生的应变能

我们讲应该是二分之一dPidδi

也就是说现在P1P21直到Pn没有作用

只是谁作用

只是在第i个位置有的dPI作用

对应的产生的挠度是这么多

所以dPi在这个位移上的功

这应该是1/2 dPi dδi

从0到dPi引起的对应点的挠度

从0到了底的dPi

所以呢它们是线性的这样的关系

线性系统

所以1/2

好

现在呢它作用在那里

注意这个dPi始终在第i点作用

而后现在我们再叠加上

这n个集中力的作用

对应点产生的这个挠动

或者讲各个集中力作用点

现在这个位移

跟之前一样

也都是多少呢δ1 δ2 … δn

它们的

在这样的相应的位移上的功

当然也跟之前是一样的

我们还依然继承Vε

问题是dPi是不是又做功了

对

这个做功是多少呢

这个做功是多少呢

我们说是它作用

而后在它作用之后又叠加了这些力作用

所以这个时候dPi一直是作用在梁上的

那这个时候I点的它的位移是多少

是δi

所以dPi相当于现在是一个常力在δi上作用

所以它的功我们可以写出来

dPi δi

像这种我们人为地一步一步这样的一个

加载的方式做功

一共是多少呢

我们可以看到

应该是一开始dPi作用产生dδi的时候的功

还有呢几个啊

n个集中力

一起作用的时候产生的

这个啊做的功

或产生的应变能应该是这个

在它作用的过程当中

dPi又做了这么多的功

所以三者的和

我们把刚才说P1P2Pn先作用

而后呢又有第i个力

有一个dPi有个增量

这两个应该是相同的

两个式子我们进行一下对照的话

我们可以看到这个呢是增量的情况

这个时候应变能

而后现在呢是什么

我们分步加载以后

得到的应变能

大家注意这一项和这一项怎么样了

就相互抵消了

而后我们再注意dPi和dδi

这是一个小量

这也是小量

所以它是一个二阶的小量

而这个呢我们可以看到一阶小量

这个呢dPi一阶小量

所以它是一个高阶小量

我们可以给它忽略不计

那得到了什么样的一个结果

它忽略不计

所以就得到了它和它相等

大家都有谁啊都有dPi都有dPi

因此我们得到了第i个位置处

它的位移应该是多少

我们就求出来了

也就对于这个梁而言

它在i点的挠动我们就求出来了

是吧

就是什么整个梁

应变能

关于第i点所作用的集中力的什么

偏导数

我们就得出来了

那么这个公式就叫做什么

卡式定理

我们就推导出来了

只要我们能够算出这个构建它的应变能

而后呢我们知道在对某一个位置

或者第i位置作为有一个这样的集中力

那么在这个集中力作用方向上对应的位移

我们就能够求出来了

这个对应的位移当然就是什么

相应的变形量了

那我们就能够求出来了

如果我们看到的

注意大家一定要注意这个

一定给它想成一个什么

是一个广义的一个集中力

如果这就是集中力的话

我们讲的以牛顿为单位这样的力的话

那么对应的这个是什么

就是线位移

如果这个集中力是一个什么

如果是扭矩的话

那就对应扭矩方向的位移就是什么

就是截面在这儿的扭转角

如果在这的这个集中力

它是一个弯矩的话

那么这个对应的位移就是截面的什么

前转的这个转动的这个角度

所以我们要把这个广义力

对应于广义的位移

这个关系一一对应

我们说相应的这样的集中的力

或集中力偶作用地方的它的这个位移

或讲的变形

我们就能够用卡式定理求出来了

接下来我们就来求解一个实际的问题

现在我们可以看到一个悬臂梁

这里作用集中向下的力P

集中的力偶Ma

整个的梁的长度是L

它的抗弯刚度是EI是一个常量

啊这里没写

但是我们认为它是一个常量

现在请大家用卡式定理来求求这个梁自由端的

铅垂位移和截面的转角

刚才我们求的卡氏定理是什么

可以看到δi=∂Vε/∂Pi

是吧

那要求铅锤的这个位移的话

我们先要算出来整个梁的它的什么

应变能

而后关于P求导就是P方向的位移

就是自由端的挠度

同样的我们求出应变能以后

这里作用一个集中力偶

那么这个产生的位移就是截面的转角

所以应变能关于这个集中力偶求导的话

那么我们得到的就是这个截面的转角

下面我们就要来具体的来进行计算

要求应变能

我们必须知道X截面位置处的

它的内力应该是多少

这是一个什么

弯矩的情况

所以我们必须知道弯矩的表达式

我们以这里为原点

沿着轴线向右为X坐标

我们截下来这个梁段

来看一下这个截面上的弯矩应该是多少

正方向

弧线头朝上

我们很快可以算出来这个弯矩是多少

要跟它平衡

所以这就是等于负的p

对它取矩是多少啊

是X再减去Ma所以我们可以看到

这个M0减去M0

弯矩表达式有了

现在我们来计算

这个时候的应变能按照公式梁的应变能

M2 dx/2EI沿着整个梁段进行积分

2EI

注意

它跟X无关

是常量提出去

好

这个时候M呢我们带进来

看到负PX减去M0它的平方

dx积分显然就是一个多项式的积分

很容易算出来

应该是这样的一个结果

应变能算出来了

现在呢我们就要来求求这个方向的

它的位移是多少

也就是A截面的

自由端的

它的挠度是多少

所以δA就应该等于这个应变能关于P求偏导

这个已经有了

像这一项是有P的这项有P这项没有

所以不用管它

这是求导二下来

这是3在求导

P1次

所以2就求出来了

这是自由端

铅垂方向的它的位移

我们还要求一求这个截面的转角

这里有什么集中的力偶作用

所以截面的转角就应该是应变能

关于这个方向

这个力偶集中力偶求偏导

出来的结果是它

这里由于p力是向下的

所以求出导它是什么

这是我们可以看到啊它是正的话

就意味着这一点的

它的位移是怎么样的

是向下的

而θA呢是关于M0求偏导的

它也是正的

说明这个截面往哪边转了

也是这个方向转了

就是逆时针转了这么多的角度

这就是一个卡式定理的一个应用

方便吧

那么我们注意到在数学上求导和积分

这个顺序是可以怎么样

是可以互换的

那么用卡式定理的时候啊

有应变能先求而后在什么

关于这个集中力来求偏导

现在呢我们注意到这个

数学上这个积分和求导的顺序可以怎么样互换

我们可以怎么样

让它先求导后积分

所以这个求导放里边先做

在积分

因此可以看到它就变成什么

M方求导

那么就是M2约掉了Ei

然后在这基础上

∂M/∂Pi dx

这样做的好处是什么

它求完偏导

你看看被积函数显然比这个平方的时候要怎么样

来得简单

所以让计算的过程变得简单了

不那么繁复了

对于等直杆

你比如说我们遇到的桁架

每一杆都是等直杆

这些杆

它的内力并不随着这个杆的截面而发生变化

所以它是一个常量

那这个时候呢

我们看到应变能的计算公式就不用积分

就是每个杆每个杆每个杆

它的这个应变能的和就可以了

所以就是

看这个桁架里有多少个杆

n个杆就这样求

那对应的这个时候

每一个这个

好比说这个第I点的位置作用有集中力的话

那对应的这个力的方向的

它的位移怎么求呢

我们按照卡氏定理就可以看到

这个应变能关于PI求偏导

所以就变成了一求偏导的话

我们可以看到2下来和底下2约掉了

Nj Lj/EAj ∂Nj/∂Pi

这是我们又讲了桁架

怎么样

利用卡氏定理

求相应位置处的它的位移

现在呢我们把刚才的那个例子

按照先求导后积分的这种方式

再重新求解一遍

可以体会一下它的积分

变得简单了

同样的

我们讲的这个弯矩呢还是这样的一个表达式

那这个时候我们可以看到

∂M/∂P求出来-x

∂M/∂M0 求出来

求偏导啊是-1

所以带到卡式定理里边去

δA我们可以看到EI提出来

这时候就是M

这个呢就是pm

pnp进行积分出来的结果

你看这等于一求偏导

等于这多项式它的这个幂次降低了

所以积分变得容易

同样的道理

我们可以求出θA1/EI

这个时候是M乘以∂M/∂M0 看到了啊这个进行积分

所以也变得简单很好记

出来的这样的结果

啊这个呢就是告诉我们

更简捷的一种的求解的情况

现在呢如果啊说我们还想对截面C这个位置

还要求它的挠度

怎么办

那么在这个地方说没有一个这个你要求挠度吗

求C这个铅锤的位移的话

你必须在C点有一个什么

铅锤的集中力作用才可以

现在没有啊那怎么求导啊

是吧

用卡式定理怎么求导

大家想这个问题

我们下一次的知识点内容的介绍的时候

会告诉大家

这个方法

有关这卡式定理的应用

当某个位置作用集中力

或者集中力偶的时候

我们就可以运用卡氏定理求出

这个位置集中力作用方向的位移

如果是力偶的话

那就是力偶方向的转角

使用卡氏定理

可以先求导后积分

使得求解计算快捷简单

这就是今天我们介绍的卡式定理

及其应用的相关内容

谢谢大家