扭转构件的设计 扭转静不定在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习材料力学

有关构件受扭转之后的设计问题

还有受扭转构件的静不定问题

我们来看一下受扭圆轴的设计

我们说

危险截面

就意味着最大切应力所在的截面

也就是说扭矩比较大

而这个时候可能截面的极惯性矩

极惯性矩比较小的那个截面

这样的截面能够产生最大的切应力

这样的截面我们称之为危险截面

我们为什么特别关心危险截面呢

因为这样的截面它满足强度要求的话

那么其它的产生的切应力

肯定比这个截面上的切应力要小

肯定就更加安全

在工程上

我们看到经常使用的是什么

传递的功率以及它的转数是多少

而不是告诉我们

这时候它所传递的扭矩是多少

所以我们要通过它所传递的功率

和它转动时候的转数

来换算出来它所传递的扭矩应该是多少

比如说工程上可能经常告诉我们的是什么

传递的功率是多少

N kW

那这个时候我们来看一下

它转换成扭矩应该怎么来算

对于受扭转

受力矩作用的话

那么它的功应该是力矩与角速度的乘积

所以我们就可以得出来相应的扭矩值了

这个呢是功率

它因为单位是kW

我们给它换成W的话

需要乘上一千

告诉我们的可能是它的转数

也就是说每分钟它要转多少圈

我们给它换算成每秒多少弧度的话

是吧

弧度一圈是2π

每分钟换成秒

所以除以60

再乘以这个扭矩

它们之间应该是这样的一个关系

从这个式子里面我们就得出来

扭矩就应该等于9549乘以N除以小写n

注意这里的N是指的千瓦

有的书上还把这个系数呢

写成9550

它就是又进了一位

四舍五入都是可以的

那么还有的情况

我们看到的是什么

它的功率是用的什么

是用的马力的单位

那么马力我们可以给它换算成瓦

1马力等于735.5瓦特

这个时候相应的这样的一个换算

我们可以看到

应该就变成了这样

T等于7024乘以N除以小写的n

注意这里的N是用的单位是什么

是马力的单位

那么我们就可以看到它所传递的扭矩值

应该是多少了

我们进行设计的时候

就是遵循了这样的强度准则

就是构件里面它最大的切应力

应该是小于等于许用的数值

小于许用剪应力

也就是说T乘以R除以IP

这是指的什么

危险截面上的最大的时候

那么通常可能这个扭矩呢

可能是最大的

那么在一个面上的

在危险截面哪里的切应力是最大的呢

那显然是什么

离圆心最远的地方

也就是这圆面的什么

最边缘的地方

所以这写了R

IP当然还是这个截面的极惯性矩

我们给它记成T比上Wt

那么这个时候Wt我们看到就应该是T与

许用切应力的比

相应的这个时候我们可以看到了

如果我们知道了这个

圆轴它所传递的功率

或者是扭矩

我们讲功率可以换算成扭矩

我们还知道了这个轴的材料

你选用什么样的材料

选用什么样的材料就意味着我们知道了

这个构件它的许用的应力的值应该是多少

那么相应的尺寸

我们就可以通过这个式子

设计的公式

我们就可以得到它的相关的尺寸了

那么这个Wt我们讲

是构件的抗扭截面模量

对于实心的圆轴而言

实轴而言

我们可以看到

极惯性矩32分之πd的四次方

而这个时候的R呢

我们可以看到就应该是它的什么

半径值

二分之d

所以代进去以后

我们可以看到16分之πd的三次方

对于管状的

它截面的极惯性矩

32分之π D的四次方减去d的四次方

而后再除以外半径

外半径就是多少

二分之一D

所以它的抗扭截面模量就是它

整理一下

我们可以写成16分之πD的三次方

而后（1-α4）

α是内外径之比

这个D呢

就是外径的直径

那么单位呢

当然是米的三次方或毫米的三次方

因此我们就可以得到了具体的设计公式

比如说实心轴的

是吧

那么这个它的直径尺寸就应该等于

16T比上的π许用切应力开三次方

接下来我们就来看一个实际的例子

进行相关的轴的尺寸的设计

现在呢我们这边呢有一个实心的轴

这边呢有管状的轴

它们通过离合器连接

传递的功率是7.5个千瓦

它的转数是100转

材料都是一样

许用的切应力40MPa

对于管状的这个部分

它的外径和内径的比

是2：1

也就是说外径是内径的double

我们来求两个轴的直径应该是多少

进行这样的一个尺寸的设计

首先我们需要把这个传递的功率

给它转换成传递的扭矩

计算扭矩值

采用千瓦的话

那么就是9549

除以这个转数

我们可以看到

这是乘以这个功率

代进去得到的结果

716牛顿米

这是传递的扭矩

好

我们接下来要设计这个尺寸了

对于实心轴

按照刚才的那个公式

我们可以看到

最大的切应力

应该是扭矩除以抗扭截面模量

就是这个式子

因此我们可以得到了

它的这个直径应该是多少

直径就应该大于等于16T而后π

许用切应力开三次方

我们把相关的数据代进去

同时要注意单位

这是牛顿米

这个呢

π 40兆帕

我们给它变成牛顿每平方米

变成帕

10的六次方

算出来是0.045米

也就是说45毫米

这是实心轴的尺寸

那我们来看管轴的它的这个

尺寸应该是多少

按照这个公式

抗扭截面模量是16分之π外径的三次方

（1-α4）

小于等于这时候我们可以看到

应力的许用值

这个时候我们把这个α呢

应该是什么

应该是内外径之比

我们可以看到

应该是0.5代进去

把相关的数据也代进去

跟刚才类似

得出来结果是什么

可以看到0.046m

也就是说46mm

这是什么

这是管状的外径

那它的内径呢我们看到应该是它的一半

是吧

是多少呢

是23个mm

大家比较一下

一个管状的和一个实心的轴

谁用的材料多呢

谁节省材料

显然是什么

是这个管状的

就是因为什么

就是因为

我们说了

它管状的呢

横截面上各个点

距离圆心的距离怎么样

是比较远的

所以极惯性矩就可能比较大

你看它这个外径的这个尺寸

46mm

和那实心轴的是什么

45mm

相差了一点点

是吧

但是呢内径这部分是挖掉了很多

所以呢是很节省材料的

接下来我们来讨论一下

受扭转构件的静不定问题

我们也是以例题来说明

我们在前面的时候曾经看过

例2-3那个例题里面

这一端呢

它是没有固定是自由的

同样的一个构件

受了同样的载荷

但是约束改变了

这边不再自由

而是给它怎么样固定住了是吧

我们来求这个时候构件两端的约束力是怎样的

而后要画出什么

它的内力图扭矩图

那么按照我们之前的介绍的这个力法

我们这个时候对于这个轴

我们进行受力分析

我们说这边呢

肯定固定端还是有约束力的

有扭矩

我们记成TE

当然这一端呢

也是有扭矩的

那我们给它记成TA

现在呢

这边的约束继续保持

我们把这边的约束给它怎么样

解除

代之以这个约束力

那么它就变成一个静定的结构

在载荷作用以及这边的约束力作用下

产生的结果

所以线性系统我们可以使用叠加原理

我们先考察它是在载荷作用下的情况

变形的情况

而后再叠加上什么

这个时候这个约束力单独作用时候的情况

两种情况的叠加应该跟原有的情况是一致的

也就是说原有的情况是什么

这个地方

能动吗

它是固定端约束住了是不能动的

而后我们就可以得到了补充方程

这个问题就可以求解了

好

现在呢我们就来给它进行具体的分析的计算

这一端不能动

所以在载荷作用下

这两个位置载荷作用下

这个地方会产生一个什么

扭转角

这个扭转角我们在前面的那个例子里面

我们已经求出来了

不再重复再求

直接可以利用它的结果

而后这个部分我们刚才说了

就是在这个TA这个约束力作用下

在A截面会产生一个扭转角

那么显然两者叠加起来应该是什么

应该是0

它不能转

是固定的

那么现在呢我们规定说向后转

它是负的

向前转呢它是正的

所以在这种情况下

我们握一下

我们握一下可以看到它是怎么样

向后转的

那么在这种情况下我们握一下

可以看到它是怎么样

向前转的

所以考虑这样的代数问题的话

那么就是指的什么

φA等于φ0加上φ1等于0

这就是我们的补充方程

这个变形协调条件

利用前面的结果

φ0我们已经求出来了

它是这样子向后转的

而后现在呢

我们要求一下只在TA的作用的情况下

A截面的转角是多少

那么

这个时候我们还是要对它进行分段的处理

为什么

尽管我们用截面法你去截一下的话

只在TA作用下

整个这个轴各个截面它的扭矩是一样

但是我们注意了

那么它的截面的极惯性矩是不一样的

所以我们还是要分成两段来对它进行计算

第一段呢

我们可以看到应该是什么

应该是从A到C

而后后边呢那是实心的部分

而后呢后面是管状的部分

那么我们就可以求出来各段的长度

两段的长度

前面那一段450

后边呢那个管状的部分长度呢是800

那么极惯性矩呢

我们在前面的那个例子里面已经算过了

我们直接拿过来用就行了

那么扭矩呢

大家都是多少

都是TA

那么我们说了我们用的是什么样的单位

是用的牛顿毫米

这样出来就是兆帕

是吧

所以把牛顿米换成牛顿毫米

这里面是10的三次方

这是单位换算

而后求出来的结果我们可以看到

就等于这么，这么，这么多的什么
TA 弧度

我们把这个φ1和之前的φ0

代到变形协调条件里面去

那么我们就可以求出来这个TA是多少了

向后转所以是负的

向前转是正的

那么这就是关于TA的一个一元一次方程

很简单

很快我们可以求出来TA142牛顿米

而后呢我们再根据平衡条件

平衡方程我们可以看到

TA加上TE减去这里的TB还有这个TD等于0

所以我们就算出来

这个时候TE也得到了

所以第一问两段的约束力我们求完了

那现在呢我们要画出它的扭矩图

那么这个时候我们来看看这个地方

从A到B

这时候扭矩是这个内法线方向的

用截面法截一下的话

我们研究左半段

可以看到它应该是什么

应该是负的

所以从A到B

它的扭矩是多少

应该是负142牛顿米

而后我们可以看到在这儿呢

B点呢又作用了150牛顿米

那么我们就要往上去怎么样

去累加

那这个累加上去以后呢

我们可以看到这个方向跟它方向是相反的

所以就变成什么

正的了

150减去142

所以这一段应该是多少

应该是8

截面截出来

一样的结果

一直到什么地方

一直到这个D截面

都是一样

而后在D到E截面

我们截出来

我们研究右半段的话

那这个呢是外法线方向

所以这个时候它的截面上的内力

这个扭矩呢我们可以看到

应该跟它是怎么样平衡的

所以应该是什么正的1008

因此

我们可以画出它的扭矩图了

这边负的142

到这儿是8

到这儿再叠加上一千 1008

在这边呢我们锦上添花

又画了一个什么

又画了一个各个截面的扭转角的位移图

两端固定是零

而后我们把这个扭矩代到第一段上

那么我们就可以求得B截面

相对于左端截面转了多少角

我们就可以画出来连线

线性呢连线连起来

同样的这一段

扭矩代进去

我们就可以得到了这个时候

D截面相对于这个截面

转了多少角度

那么我们也可以画出来

中间也是一样

类似于我们讲拉压

静不定那个杆的时候的情况是一样的

这个呢

留待大家可以课后去练习

你试试看

结果是不是这样

好

这个呢就是我们今天给大家介绍的

构件受了扭转作用的时候

我们怎么样根据强度条件

强度准则来对截面的尺寸进行设计

同时呢

又给大家介绍了

有关扭转的静不定问题怎么样进行分析

谢谢大家