当前课程知识点:材料力学 > 第三章 扭转 > 3-5 扭转构件的设计 扭转静不定 > 扭转构件的设计 扭转静不定
各位同学大家好
今天我们来学习材料力学
有关构件受扭转之后的设计问题
还有受扭转构件的静不定问题
我们来看一下受扭圆轴的设计
我们说
危险截面
就意味着最大切应力所在的截面
也就是说扭矩比较大
而这个时候可能截面的极惯性矩
极惯性矩比较小的那个截面
这样的截面能够产生最大的切应力
这样的截面我们称之为危险截面
我们为什么特别关心危险截面呢
因为这样的截面它满足强度要求的话
那么其它的产生的切应力
肯定比这个截面上的切应力要小
肯定就更加安全
在工程上
我们看到经常使用的是什么
传递的功率以及它的转数是多少
而不是告诉我们
这时候它所传递的扭矩是多少
所以我们要通过它所传递的功率
和它转动时候的转数
来换算出来它所传递的扭矩应该是多少
比如说工程上可能经常告诉我们的是什么
传递的功率是多少
N kW
那这个时候我们来看一下
它转换成扭矩应该怎么来算
对于受扭转
受力矩作用的话
那么它的功应该是力矩与角速度的乘积
所以我们就可以得出来相应的扭矩值了
这个呢是功率
它因为单位是kW
我们给它换成W的话
需要乘上一千
告诉我们的可能是它的转数
也就是说每分钟它要转多少圈
我们给它换算成每秒多少弧度的话
是吧
弧度一圈是2π
每分钟换成秒
所以除以60
再乘以这个扭矩
它们之间应该是这样的一个关系
从这个式子里面我们就得出来
扭矩就应该等于9549乘以N除以小写n
注意这里的N是指的千瓦
有的书上还把这个系数呢
写成9550
它就是又进了一位
四舍五入都是可以的
那么还有的情况
我们看到的是什么
它的功率是用的什么
是用的马力的单位
那么马力我们可以给它换算成瓦
1马力等于735.5瓦特
这个时候相应的这样的一个换算
我们可以看到
应该就变成了这样
T等于7024乘以N除以小写的n
注意这里的N是用的单位是什么
是马力的单位
那么我们就可以看到它所传递的扭矩值
应该是多少了
我们进行设计的时候
就是遵循了这样的强度准则
就是构件里面它最大的切应力
应该是小于等于许用的数值
小于许用剪应力
也就是说T乘以R除以IP
这是指的什么
危险截面上的最大的时候
那么通常可能这个扭矩呢
可能是最大的
那么在一个面上的
在危险截面哪里的切应力是最大的呢
那显然是什么
离圆心最远的地方
也就是这圆面的什么
最边缘的地方
所以这写了R
IP当然还是这个截面的极惯性矩
我们给它记成T比上Wt
那么这个时候Wt我们看到就应该是T与
许用切应力的比
相应的这个时候我们可以看到了
如果我们知道了这个
圆轴它所传递的功率
或者是扭矩
我们讲功率可以换算成扭矩
我们还知道了这个轴的材料
你选用什么样的材料
选用什么样的材料就意味着我们知道了
这个构件它的许用的应力的值应该是多少
那么相应的尺寸
我们就可以通过这个式子
设计的公式
我们就可以得到它的相关的尺寸了
那么这个Wt我们讲
是构件的抗扭截面模量
对于实心的圆轴而言
实轴而言
我们可以看到
极惯性矩32分之πd的四次方
而这个时候的R呢
我们可以看到就应该是它的什么
半径值
二分之d
所以代进去以后
我们可以看到16分之πd的三次方
对于管状的
它截面的极惯性矩
32分之π D的四次方减去d的四次方
而后再除以外半径
外半径就是多少
二分之一D
所以它的抗扭截面模量就是它
整理一下
我们可以写成16分之πD的三次方
而后(1-α4)
α是内外径之比
这个D呢
就是外径的直径
那么单位呢
当然是米的三次方或毫米的三次方
因此我们就可以得到了具体的设计公式
比如说实心轴的
是吧
那么这个它的直径尺寸就应该等于
16T比上的π许用切应力开三次方
接下来我们就来看一个实际的例子
进行相关的轴的尺寸的设计
现在呢我们这边呢有一个实心的轴
这边呢有管状的轴
它们通过离合器连接
传递的功率是7.5个千瓦
它的转数是100转
材料都是一样
许用的切应力40MPa
对于管状的这个部分
它的外径和内径的比
是2:1
也就是说外径是内径的double
我们来求两个轴的直径应该是多少
进行这样的一个尺寸的设计
首先我们需要把这个传递的功率
给它转换成传递的扭矩
计算扭矩值
采用千瓦的话
那么就是9549
除以这个转数
我们可以看到
这是乘以这个功率
代进去得到的结果
716牛顿米
这是传递的扭矩
好
我们接下来要设计这个尺寸了
对于实心轴
按照刚才的那个公式
我们可以看到
最大的切应力
应该是扭矩除以抗扭截面模量
就是这个式子
因此我们可以得到了
它的这个直径应该是多少
直径就应该大于等于16T而后π
许用切应力开三次方
我们把相关的数据代进去
同时要注意单位
这是牛顿米
这个呢
π 40兆帕
我们给它变成牛顿每平方米
变成帕
10的六次方
算出来是0.045米
也就是说45毫米
这是实心轴的尺寸
那我们来看管轴的它的这个
尺寸应该是多少
按照这个公式
抗扭截面模量是16分之π外径的三次方
(1-α4)
小于等于这时候我们可以看到
应力的许用值
这个时候我们把这个α呢
应该是什么
应该是内外径之比
我们可以看到
应该是0.5代进去
把相关的数据也代进去
跟刚才类似
得出来结果是什么
可以看到0.046m
也就是说46mm
这是什么
这是管状的外径
那它的内径呢我们看到应该是它的一半
是吧
是多少呢
是23个mm
大家比较一下
一个管状的和一个实心的轴
谁用的材料多呢
谁节省材料
显然是什么
是这个管状的
就是因为什么
就是因为
我们说了
它管状的呢
横截面上各个点
距离圆心的距离怎么样
是比较远的
所以极惯性矩就可能比较大
你看它这个外径的这个尺寸
46mm
和那实心轴的是什么
45mm
相差了一点点
是吧
但是呢内径这部分是挖掉了很多
所以呢是很节省材料的
接下来我们来讨论一下
受扭转构件的静不定问题
我们也是以例题来说明
我们在前面的时候曾经看过
例2-3那个例题里面
这一端呢
它是没有固定是自由的
同样的一个构件
受了同样的载荷
但是约束改变了
这边不再自由
而是给它怎么样固定住了是吧
我们来求这个时候构件两端的约束力是怎样的
而后要画出什么
它的内力图扭矩图
那么按照我们之前的介绍的这个力法
我们这个时候对于这个轴
我们进行受力分析
我们说这边呢
肯定固定端还是有约束力的
有扭矩
我们记成TE
当然这一端呢
也是有扭矩的
那我们给它记成TA
现在呢
这边的约束继续保持
我们把这边的约束给它怎么样
解除
代之以这个约束力
那么它就变成一个静定的结构
在载荷作用以及这边的约束力作用下
产生的结果
所以线性系统我们可以使用叠加原理
我们先考察它是在载荷作用下的情况
变形的情况
而后再叠加上什么
这个时候这个约束力单独作用时候的情况
两种情况的叠加应该跟原有的情况是一致的
也就是说原有的情况是什么
这个地方
能动吗
它是固定端约束住了是不能动的
而后我们就可以得到了补充方程
这个问题就可以求解了
好
现在呢我们就来给它进行具体的分析的计算
这一端不能动
所以在载荷作用下
这两个位置载荷作用下
这个地方会产生一个什么
扭转角
这个扭转角我们在前面的那个例子里面
我们已经求出来了
不再重复再求
直接可以利用它的结果
而后这个部分我们刚才说了
就是在这个TA这个约束力作用下
在A截面会产生一个扭转角
那么显然两者叠加起来应该是什么
应该是0
它不能转
是固定的
那么现在呢我们规定说向后转
它是负的
向前转呢它是正的
所以在这种情况下
我们握一下
我们握一下可以看到它是怎么样
向后转的
那么在这种情况下我们握一下
可以看到它是怎么样
向前转的
所以考虑这样的代数问题的话
那么就是指的什么
φA等于φ0加上φ1等于0
这就是我们的补充方程
这个变形协调条件
利用前面的结果
φ0我们已经求出来了
它是这样子向后转的
而后现在呢
我们要求一下只在TA的作用的情况下
A截面的转角是多少
那么
这个时候我们还是要对它进行分段的处理
为什么
尽管我们用截面法你去截一下的话
只在TA作用下
整个这个轴各个截面它的扭矩是一样
但是我们注意了
那么它的截面的极惯性矩是不一样的
所以我们还是要分成两段来对它进行计算
第一段呢
我们可以看到应该是什么
应该是从A到C
而后后边呢那是实心的部分
而后呢后面是管状的部分
那么我们就可以求出来各段的长度
两段的长度
前面那一段450
后边呢那个管状的部分长度呢是800
那么极惯性矩呢
我们在前面的那个例子里面已经算过了
我们直接拿过来用就行了
那么扭矩呢
大家都是多少
都是TA
那么我们说了我们用的是什么样的单位
是用的牛顿毫米
这样出来就是兆帕
是吧
所以把牛顿米换成牛顿毫米
这里面是10的三次方
这是单位换算
而后求出来的结果我们可以看到
就等于这么,这么,这么多的什么
TA 弧度
我们把这个φ1和之前的φ0
代到变形协调条件里面去
那么我们就可以求出来这个TA是多少了
向后转所以是负的
向前转是正的
那么这就是关于TA的一个一元一次方程
很简单
很快我们可以求出来TA142牛顿米
而后呢我们再根据平衡条件
平衡方程我们可以看到
TA加上TE减去这里的TB还有这个TD等于0
所以我们就算出来
这个时候TE也得到了
所以第一问两段的约束力我们求完了
那现在呢我们要画出它的扭矩图
那么这个时候我们来看看这个地方
从A到B
这时候扭矩是这个内法线方向的
用截面法截一下的话
我们研究左半段
可以看到它应该是什么
应该是负的
所以从A到B
它的扭矩是多少
应该是负142牛顿米
而后我们可以看到在这儿呢
B点呢又作用了150牛顿米
那么我们就要往上去怎么样
去累加
那这个累加上去以后呢
我们可以看到这个方向跟它方向是相反的
所以就变成什么
正的了
150减去142
所以这一段应该是多少
应该是8
截面截出来
一样的结果
一直到什么地方
一直到这个D截面
都是一样
而后在D到E截面
我们截出来
我们研究右半段的话
那这个呢是外法线方向
所以这个时候它的截面上的内力
这个扭矩呢我们可以看到
应该跟它是怎么样平衡的
所以应该是什么正的1008
因此
我们可以画出它的扭矩图了
这边负的142
到这儿是8
到这儿再叠加上一千 1008
在这边呢我们锦上添花
又画了一个什么
又画了一个各个截面的扭转角的位移图
两端固定是零
而后我们把这个扭矩代到第一段上
那么我们就可以求得B截面
相对于左端截面转了多少角
我们就可以画出来连线
线性呢连线连起来
同样的这一段
扭矩代进去
我们就可以得到了这个时候
D截面相对于这个截面
转了多少角度
那么我们也可以画出来
中间也是一样
类似于我们讲拉压
静不定那个杆的时候的情况是一样的
这个呢
留待大家可以课后去练习
你试试看
结果是不是这样
好
这个呢就是我们今天给大家介绍的
构件受了扭转作用的时候
我们怎么样根据强度条件
强度准则来对截面的尺寸进行设计
同时呢
又给大家介绍了
有关扭转的静不定问题怎么样进行分析
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业