当前课程知识点:材料力学 > 第4章 弯曲内力 > 4-2 剪力图和弯矩图及一些规律 > 剪力图和弯矩图(一)
各位同学大家好
今天我们来学习有关
梁的内力图的画法
由于轴力图我们在拉压杆的部分
我们已经有过介绍
所以在这里我们主要介绍的是
梁的剪力图和弯矩图
主要以例题的形式
向大家介绍
我们来看第一个例子
现在我们这儿有一个悬臂梁
在自由端作用有一个45度方向的
斜着向下的
大小为根号2P的一个集中力
整个梁的长度是L
让我们来画出这个梁的
剪力图和弯矩图
我们首先需要求出这个梁
所受到的所有的外力
所以第一步
我们就是要求出这个地方的约束力
由于它是固定端约束
上下左右不能动
也不能围绕这儿转动
所以我们可以看到约束有3个分量
根据平衡条件
我们很快的能够算出
这些约束力的分量应该是多少
我们把这个根号2这个集中力
给它正交分解
我们可以看到向下向右分别是P
水平方向投影代数和等于0
所以这个约束力我们可以看到向左
大小就是P
竖直方向投影代数和等于0
所以我们可以看到
这一点的竖直方向约束力的分量向上
大小也是P
对于这一点取矩
我们可以看到
这个反力偶矩
我们也可以得到是什么
水平分量没有矩
这个时候它向它取矩是顺时针的
所以这个反力偶矩是反方向的
逆时针
大小我们可以看到p乘以L
所以这个反力偶矩是逆时针的
大小PxL
约束反力求完了
那么接下来要求内力
我们就需要用到截面法
我们以左端为坐标原点
沿着轴线方向建立x坐标
下面我们来看一下以x
所确定的截面上的
它的剪力和弯矩应该是多少
我们用截面法截出来
研究的是左半段
它所受到的外力P P以及PL
在右端这个截面上
我们按照内力的正方向
来进行假设
大家来看轴力
外法线方向受拉为正
剪力由于它是这个梁段的右端的截面
按照剪力正的规定
左上右下
所以右端面向下
我们来设定它的剪力
还有这个截面上会有弯矩
我们以弧箭头向上为正
所以我们假设它的弯矩
是这样箭头向上的
根据平衡条件
我们很快的可以得到了
这儿的轴力跟这儿的外力去平衡
所以它就是P是正的
然后这一点的剪力它向下
这里的外力是向上
所以平衡
我们可以看到这里的Fs
也是正的大小是P
我们再对这一点取矩
可以看到剪力轴力
以及这里的轴力对它的矩都是0
所以我们可以看到
这里以逆时针方向为正的话
那么这里的M(x)是正的
这里PL也是逆时针的
也是正的
然后我们再来看
这个地方的P
对它也是有矩的
力臂是多少是x
方向呢是顺时针的
所以是负的
是负的力臂xPx等于0
因此我们可以得出来
x截面上的它的弯矩-PL+Px
这样我们这个截面
上面的轴力剪力以及弯矩
就全部求出来了
表达式已经有了
你一看呢要么是常量
要么是一个线性的情况
所以很容易
我们可以画出它的轴力图
剪力图与弯矩图
轴力常量是正的是P
画出来了
同样的剪力也是正的
大小是P也是常量也画出来了
而后我们画出来它的这个弯矩图
我们看到表达式是-PL+Px
x等于0的时候
我们可以看到它等于负pl
x=L的时候它等于0
线性变化所以两点一连线
这个弯矩图就画出来了
那我现在多问一下
显然这个弯矩要么是0
要么都是什么
各个截面上的都是小于零的
小于零意味着弯矩是怎么样
是这样的弧箭头向下的
所以这样弯的话
我们可以看到
我在这地方画了一个像眉毛一样的
这什么意思呀这就是说
它的挠曲线的形状应该是这样子的
这个曲线开口应该是朝下的
那么我们可以看到
这个梁的变形就应该是这样
这边呢是不可以有位移的
为什么它是固定端
所以这个就这样弯曲变形
就像我们所说的跳板跳水运动员
你在这儿有力作用的话
那么它就是这样的一个变形的情况
这是我们讲的第一个例子
接下来我们来看第二个例子
第二个例子
它是一个简支梁
上面作用有均布的载荷
载荷的集度是w0
很简单
我们利用对称性
很快的可以求出两端的约束力
就是整个分布载荷的一半
所以1/2w0L
这边也是一样
所有的外力求出来了
接下来
我们要求
某一个截面上的它的内力
我们也是用截面法
给它截出来
截出来的梁段
比如说我们沿着这儿截开
我们把从这儿到这儿的这个距离
我们记为x截出来以后
我们研究的是左半段
我们把外力先画上去
这里我们可以看到1/2w0L
上面有均匀分布的
向下的这个载荷w0
这个截面显然就是
这个梁段的右端面
它的剪力正方向是向下的
弯矩以弧箭头向上为正
都是按正方向来假定的
这个时候我们根据平衡条件
所有的力在Y方向上
竖直方向上投影的代数和等于0的话
我们就可以求出这个截面上
它的剪力应该是多少
因此我们可以看到这里(1/2)w0L
这个是向下的
和是w0乘以x是负的
而后呢这个剪力向下的
所以减去FS等于0
那么我们可以求得Fs的表达式
我们现在就对截面的形心取矩
可以看到这个剪力是过形心的
所以是没有矩的
而后这个截面上的
这个弯矩是逆时针的
它是一个力偶
所以对于任一点的矩
还是等于这个力偶矩
逆时针方向为正的话
那么这个M(x)
我们就可以认为是正的
M(x)是正的
我们再来看这个分布的载荷
对这一点也是有矩的
它的大小w0乘以x
而它的作用
它的合力的作用位置是在哪呢
显然是在x的一半的地方
所以力臂就是(1/2)x
所以就是二分之一w0x平方
逆时针的也是正的
最左边那还有一个(1/2)w0L的
一个集中力
对它取矩
顺时针的力臂是x
所以是负的
所有的这些取矩的和等于0
因此我们可以得到了
这个x截面上的它的
弯矩的表达式就有了
这是一个二次曲线
既然是曲线的话
我们要画曲线的话
就要判断这个曲线的
它的开口到底是朝上呢
还是朝下的大家来看
2次导数是大于零还是小于零的
所以它的开口
对了是这样的
那么我们就很快的就能够
画出它的剪力图和弯矩图了
在这里面我们可以看到x等于0
它等于(1/2)w0L是正的
x等于L的时候就变成-(1/2)w0L了
两点一连线我们就可以画出剪力图
而在这儿弯矩的时候
我们可以看到x等于0
弯矩等于0
x等于L的时候
这一项和这一项我们可以看到
抵消 也是等于0
而后它的曲向
开始我们已经判断应该是这样
开口朝下
那它就应该有最大值
另外提醒大家注意一下
大家来看
我们要求M的最大值的话
按照数学的做法
应该是它要关于x
求一次导数
它求一次导数等于什么
是不是就是它
那么这个时候就有意思了
所以我们画出来
剪力图弯矩图
那我们看到
在剪力等于0的时候
弯矩具有最大值
是多少(八分之一w0L平方
它们是碰巧了
还是就是有这样的规律
这个我们在后面一点的课程会跟大家讲
是怎么样的一个关系
我们这里还是强烈的建议大家
在求剪力和弯矩的时候
也依然按照它的正方向来假设
可以省去2次判断
接下来我们再来看第三个例子简支梁
中间某一个位置作用有集中力
我们来画这个梁的剪力图和弯矩图
大家来看
第一步肯定是说为了
求内力方便
我们需要把所有的外力求出来
这个还是这样
我们用平衡条件
可以对这一点取矩
我们就求得这一点的约束力
尔后对这点取矩
就可以求得这一点的约束力
那么RARB求出来了是这么多
现在我们要看的是什么
大家来看这个外力
从这儿开始有一个力作用之外
尔后在这边一直没有一直没有
一种规律
但是到了这儿
有一个集中力作用
它的外力作用的这种规律
发生了变化
所以我们用截面法去截的话
要不要分段考虑
外力作用的规律发生了变化
所以我们说只要变化的话
我们就要分段处理
比如说对于AC段
我们用截面法截出来
我们可以研究什么
哪边简单啊左边简单
我们研究左半段
我们还可以看什么
对于CD段呢
我们用截面法截一下
也可以研究左半段
也可以研究右半段
那这个时候显然研究右半段相对来讲
是比较方便的
那么现在我们就分段来对它们进行分析
首先对于AC段
刚才说了
我们研究的是什么
研究的左半段外力RA
然后这个截面上我们看到会有什么
会有剪力会有弯矩
按照正方向弯矩弧线头向上
剪力呢它是右端面
右下为正所以向下
根据平衡条件
我们很快可以得出来
这FS和RA平衡
所以FS就是RA
这个时候我们对这个x截面
它的形心取矩
FS是过形心了没有矩
那么这个力偶对任意一点的矩
还是等于这个力偶矩
还是逆时针方向的
尔后这RA对它取矩力臂是多少是x
是顺时针
所以我们可以求得
M(x)就等于RA乘以x
把RA的值带进去
可以看到应该是这样
那这x是多大呢
我们看到它是从这儿到这了
这是一种外力的作用的一种规律
所以x是0到a之间
接下来我们要分析CB段
对CB段
我们研究的是它的右半段
那么这个时候我们看到
外力在这儿是有RB
由于x是从这儿截出来的
研究右半段
所以这个P并没有作用在右半段上
那在这个时候这个截面上它的内力呢
我们讲有弯矩
弧箭头朝上正方向来假设
尔后注意啦
这一个截面是这个梁段的左端面
左上为正所以剪力向上为正
我们根据平衡条件
很快可以看到FS+RB=0
所以FS就等于-RB
同时我们对这个x截面形心取矩的话
我们可以看到FS过它没有矩
这个弯矩对任意一点的矩
还等于它的力偶矩
是吧所以我们讲这个顺时针是M
还有这个RB对它也是有矩的
方向那我们可以看到是逆时针的
力臂是这段是多少
从这儿到这儿是x
剩下这一段是多少
我们看到是L-x
所以力臂是L-x
因此我们可以得出来
这个时候
这个面上的剪力是-RB
同时这个面儿上的弯矩
是多少呢可以看到
等于RB(L-x)
那么我们可以把
RB的值带进去
那么它的这一段的
剪力和弯矩的表达式就有了
这一段剪力常量
这一段剪力也是常量
这一段弯矩是线性变化
这一段弯矩也是线性变化的
我们很快的可以画出它的这个
剪力图和弯矩图
让大家看的是什么
请大家注意
这个剪力图
AC段的时候等于Pb/l
然后到了CB段的时候等于-Pa/l
我们来看看
x等于a的这个地方
它的剪力发生了突然的变化
那大家来看看这个
突然的变化
这个变化的值有多少
它减去它是多少
我们可以看到就是P是吧
那么我们来看看弯矩图有怎样的变化
我们发现它在这儿有个折角
好这是我们看到的这个例子的情况
接下来我们再来看例子
还是长L的简支梁
只是在A这个位置作用有集中力偶
这个集中力偶我们可以看到
方向是这个方向
那么画它的剪力图和弯矩图
首先我们要求出所有的约束力
从这儿我们就可以看到
这边是滚动支座定铰支座
外力没有这个方向的
所以我们可以看到这个外力
这个外约束力
都应该是竖直方向的
我们注意到这个载荷主动力
它是一个力偶
而约束力
也应该构成一个什么反力偶
力偶与力偶去平衡
所以这个时候呢
我们可以看到
这个RA和RB的方向
可以看到RA向上RB向下
这个力偶就是什么方向啦
我们可以看到
就是顺时针方向
就跟这个逆时针方向去平衡去
既然是力偶的话
我们可以看到RA乘以L
就应该等于M0
所以RA和RB很快我们可以求出来
都是相等的M0/L
载荷也是在这儿
这个作用的规律有一些变化
所以我们也是要进行分段来讨论的
在第一段AC段
x在0和a之间的时候
我们用截面法截出来
比如说我们研究它的左半段
研究它的左半段
左上右下剪力为正
弯矩弧箭头朝上为正
同样的对于x大于a的时候
我们从这儿来截出来
研究它的右半段
这是外力这儿是左端面
左上为正剪力向上
弯矩弧箭头朝上
两端的受力
我们已经分析完了
接下来我们就是要求出来
这里的Fs和M(x)是多大
而后x大于a的时候
这个x截面上的Fs和M是多大
根据平衡条件
我们很快的可以得出来
我们在这儿看
这个时候RAFs
投影代数和可以看到等于0
所以Fs就等于RA
而后对这个截面的形心取矩
可以看到
M减去RA乘以x等于0
所以
M=RAx就出来了
对于CB段
x大于a的时候
我们可以看到
所有力竖直方向
投影代数和等于0
Fs就应该等于RB
那么对这个截面形心取矩
我们可以看到
这是M顺时针的
然后RB对它取矩也是顺时针的
所以M等于-RB
乘以这个距离
这个距离是多少L-x
因此我们可以得到了
这个截面的弯矩应该是多少
就求出来了
好表达式
你看这是常量
这也是常量
这是线性的这也是线性的
很容易的就画出
它的这个剪力图和弯矩图了
那么我们看到剪力图
它就是一条水平线
都是什么M0/L
那弯矩图呢
我们可以看到它是这样的
然后到这突然的变化
又是这样的
我们看到了它的斜率是一样的
但是在这儿那有了一个突变
大家来看一下这个突变的值是多少
那么这个加起来
这就变成a加b除以l
a加b是什么 不就l么
所以突变的值是什么
就是这儿的M0
我们通过上面的这些个例子
我们会发现一些剪力图
和弯矩图的一些规律
首先第一个
梁上没有分布载荷的地方
我们可以看到剪力图
是一条水平线
弯矩图是一条直线
往往是一条斜线
比如说我们第一个例子
第二点在有均布载荷的梁段上
剪力图是一条斜线弯矩图
是一条抛物线2次曲线
比如我们第二个例子
第三在集中力作用的地方
剪力图有突然的变化
这个突变的值是多少
就等于这个集中力的大小
弯矩图在这儿就是一个折角
第四集中力偶作用的地方
剪力图没有变化
弯矩图有突然的改变
突变的值就是该处集中力偶作用的大小
就是它的力偶矩
我们掌握了这些规律后
能够帮助我们又正确又快地
画出梁的剪力图和弯矩图
这就是我们今天这个知识点的内容
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业