静不定（超静定）系统（续）在线视频

各位同学大家好

我们现在来学习材料力学第二章

有关拉压杆静不定问题的续

我们继续以例题来进行讲解

大家来看

我们现在呢这里呢

有三个直杆

三个直杆他们的材料是相同的

弹性模量都是E

它们的横截面积

也都是相同的

都是A

三个杆

这两个杆

两边的杆长度是一样的

中间的杆的长度是L

分别上端和天花板铰接

底部三个杆

用一个铰链铰接在一起

现在在底部这个地方D点

作用一个向下的

铅垂向下的P力

现在我们需要求这三个杆的受力

应该是多少

显然这三个杆

都是二力杆

我们不妨设三个杆

都是受拉

那这时候来看它们构成了

什么样的一个力系

我们可以看到它们构成了汇交于

D点的一个平面的汇交力系

而根据静力学的知识

我们知道对于这样的一个平面的汇交力系而言

它独立的平衡方程个数是几个呢

两个

而现在未知量的个数是几个呢

三个

显然光用平衡方程

我们是无法求出所有的未知量的

所以它是静不定问题

我们必须要

附加上变形协调条件

才能把这个问题解决

现在我们来看

我们必须要解除这个三个杆

其中之一

上端的这个约束

大家觉着解除哪个杆的约束是比较方便的呢

注意到它的对称性

所以呢我们就解除哪个杆

解除B点啊

中间这个杆B点的约束

代之以这一点的约束力而这个约束呢还继续保持

所以原来的这个结构

以及它的受力的情况

我们就可以利用叠加原理看成

这样两种情况的叠加

好

大家来看这个时候

把这点的约束解除了

啊那么这个地方呢会作用有一个什么力呢

就是第二杆的受力是吧

第二杆的受力

在第一种情况下

我们只考虑载荷作用

而不考虑这点的约束力的作用

而在这种情况呢我们考虑的是什么

这个时候这儿的载荷的作用在这里

已经作用过了

我们不再考虑了

剩下还有哪个力啊

还有这个杆的向上的这个受力

我们去考虑

好

现在我们来看看它变形的情况

由于这个地方D点作用向下的力

显然左右两个斜的杆

它会受到什么

拉力

受到拉力以后

这两个杆会怎样呢

会伸长了

因此这一点它的位移就会向下

然后我们来看一看

中间这个杆

上端B点

它位移到哪里

由于我们现在只考虑啊载荷作用在D点垂直向下

现在问大家这种情况中间这个杆它受力吗

不受力吧

它不受力

那它有变形吗

没有

没有变形的话

因此上面这一点

它的位移就跟下面现在这一点

它的位移应该是怎样的

相等的

没错

好了

那么我们来看后边这个情况

只有这一点的

约束力作用的时候

它这一点的约束力向上作用的话

那么我们可以看到

这两个斜杆受什么样的力

受压

受压的话

两边的这个杆会怎么样呢

就缩短了

由于对称性跟这类似

所以这一点

它只有什么

向上的位移

是吧

由于这两个杆受力一样对称

所以它们的缩短是一样的

所以这一点就有向上的位移

这个向上的位移是由于两边的杆缩短而引起来的

那现在

这个中间这杆上面这一点的这个位移

跟D点的向上的位移相不相同呢

注意这杆本身现在是什么

是受力了

它受力的话它要变形

要伸长了

所以这一点向上的位移应该是什么

没错

应该是这一点向上的位移

再叠加上这个杆的什么

伸长量

好

那么实际上面这一点的情况是怎样的呢

我们来看看原来B点的这个约束情况

那里是约束住了

它那一点的位移应该是多少

应该是零

也就是说它向下的位移

和这一点向上的位移

应该是怎么样

相等的

如果以向上的位移为正的话

那向下的位移就是负

两者加起来应该怎么样

满足原有的这儿的边界条件

应该是什么

应该是零

对吧

这就是我们分析的过程

接下来我们来看看具体的相关的一些计算

那么在计算的时候

还有说第一种情况说只考虑载荷P向下作用

那两边斜的杆会伸长

那么我们要看D点怎么样

垂直的向下位移

我们来看一下

这边的这个斜的这个杆在这个地方

对吧

那么显然它伸长了以后应该是怎样呢

它伸长了这么长

同样的右边这个斜的这个杆

跟它的材料一样

长短也一样

受力呢对称

我们看到也应该一样

那么它呢也伸长了

这两个伸长量是应该一样的

对称性

所以D点是垂直向下的

那么这个位置在哪里呢

我们就可以看到这边约束住

那么它伸长了以后

圆杆长加上伸长量

应该上面固定住

铰接了应该是怎么样

这个伸长的部分我们可以画一个什么

画一个圆弧

这样的一条线

同样的这边呢这个杆也是一样

这边铰接住了

它不能动

原来的长度再加上这伸长量

那么以上面这个点铰接住的这一点

C点为圆心

以原长加伸长量为半径

我们又可以画一个圆弧

那么这两个圆弧的

这个交叉的这个点

就是我们所讲的这个

点的位置

由于它是小变形

如果我们用圆弧的这个

来这个交叉的这个焦点

来进行分析计算的话

来进行分析计算的话

显然圆弧这个曲线是很难计算的

计算很啰嗦

所以这时候怎么办呢

我们就以这一点做了什么

做了圆弧的切线

这边也是做它圆弧的切线

而后交于这一点

那么我们就以这个切线的交点

来近似D点向下位移的位置

好

同样的道理

对于后边中间受力的这个杆

那么它两边缩短也是类似的

那么圆弧的线是在这个地方

我们做圆弧的切线

做圆弧的切线交于这一点

这就是D点

由于两边的杆缩短以后

垂直向上 那位移的位置

到这个地方类似的情况

好

那么我们来看看

具体的这个计算的这个结果

好 在第一种情况只在载荷作用的时候

根据平衡条件

我们很快可以算出

这个时候F10=0还有这个杆的这个受力

应该是相等的

根据平衡条件

它们两者乘以cosα这个角度

就应该等于P

所以这个时候

它的受力

我们就可以算出来了

两倍的F20乘以cosα等于P

因此两边的F20可以算出是P除以两倍的cosα

两个杆的拉力我们已经算出来了

那伸长量

我们按照杆的变形量的计算

我们也可以算出来

那么两边这个杆的斜杆的

这个长度是多少

中间杆的长度是L

两边杆的长度

那就应该是L除以cosα

那么这个时候代进变形的计算公式里边

所以这个AD这个杆的伸长量

我们可以算出来轴力

P两倍的cosα

P两倍的cosα

L变成了什么

AD长Lcosα

所以L cosα那就平方了

再除以EA啊

这就是我们算出来的

它的伸长量

按照我们刚才分析的这个图

用圆弧的切线来进行近似

D点就到了这个D4点

我们可以算出来

这个时候

D点的向下的位移的量

D D4

从这个图里边我们可以算出来

这个呢是伸长量

伸长量我们可以看到

和D D4之间的关系

这个角度是多少

由于小变形

所以这个角度应该不变

还应该近似是什么

是α

因此Δ0 cosα就应该等于(ΔAD)0

那这个时候我们就可以算出Δ0了

再有一个什么cosα除过来

所以这就变成三次方

D点现在是第一种情况是指在

载荷作用下

它是向下位移的

所以我们画的向下

因此呢我们在这里写了符号

也就是说向上是为正的

好

那么接下来我们要分析什么

要分析这个时候

单独向上有作用力的时候

那么这一点向上的位移是多少

那么D点向上的位移就是正的了

注意此时D点受力为F1就有F1L

除以两AEcosα三次方

那么这只是D点向上的位移

而上面这个B点向上的位移呢

我们还要叠加上这个杆本身的什么

伸长量

那么这个杆本身的伸长量

我们看到它的轴力就是这么大

轴力乘以杆的长度比上EA

就是它的轴向的变形

所以我们可以看到F1L比上EA

再叠加上

下面这一点的向上的位移

就得出来这一点向上的位移了

Δ1

代入变形协调条件

我们就得到了下面的这个式子

显然这个式子是包含F1的一个方程

从这儿我们就可以得到F1是多少

对吧

然后呢我们再根据平衡条件

这个时候我们可以看到

F1+2F2乘以cosα就应该跟这个载荷平衡

所以把从这儿得出来的F1再带到这个里边

我们就可以求出F2

好

这个呢就是一个相对的啊

稍微复杂一点的一个杆的杆系的

静不定问题的这样的一个例子

下面我给大家说一个简单的一个情况

好比说我们现在有一个刚性的梁

刚性的梁

也就是说它是刚性

它是不变形的

然后我们有三个杆

跟它

吊在天花板上

这个时候呢

我们在这儿给它作用有一个力

那就问大家

你说这个变形协调条件怎么写

那这三个杆他说这距离是一样的

怎么写

这显然是一个静不定问题

对吗

对吗

为什么每个杆

好比说我们假设它受拉的话

这是一个什么

平面平行力系

两个独立方程

三个未知量

怎么求解

是吧

所以我们必须要变形协调条件

那这个时候怎么写呢

我们来看

假如说它整体的这个梁呢

在这个P力作用下

它这样向下的位移了

所以你看这点的伸长

这点的伸长和这点的伸长

什么关系

对吧

平行线之间成比例

所以你可以看到那它的两倍

就应该等于它和它的什么

和

这就是变形协调条件

你再把各自的受力是多少啊代进去

再叠加上平衡方程

这个问题就可以求解了

今天呢我们运用一个例题来说明了

杆系静不定问题如何进行求解

就是利用了叠加原理以及变形的协调条件

作为补充方程

结合静力平衡方程

我们就可以把它求解出来了

谢谢大家