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下一节:热应力和变形

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静不定(超静定)系统(续)课程教案、知识点、字幕

各位同学大家好

我们现在来学习材料力学第二章

有关拉压杆静不定问题的续

我们继续以例题来进行讲解

大家来看

我们现在呢这里呢

有三个直杆

三个直杆他们的材料是相同的

弹性模量都是E

它们的横截面积

也都是相同的

都是A

三个杆

这两个杆

两边的杆长度是一样的

中间的杆的长度是L

分别上端和天花板铰接

底部三个杆

用一个铰链铰接在一起

现在在底部这个地方D点

作用一个向下的

铅垂向下的P力

现在我们需要求这三个杆的受力

应该是多少

显然这三个杆

都是二力杆

我们不妨设三个杆

都是受拉

那这时候来看它们构成了

什么样的一个力系

我们可以看到它们构成了汇交于

D点的一个平面的汇交力系

而根据静力学的知识

我们知道对于这样的一个平面的汇交力系而言

它独立的平衡方程个数是几个呢

两个

而现在未知量的个数是几个呢

三个

显然光用平衡方程

我们是无法求出所有的未知量的

所以它是静不定问题

我们必须要

附加上变形协调条件

才能把这个问题解决

现在我们来看

我们必须要解除这个三个杆

其中之一

上端的这个约束

大家觉着解除哪个杆的约束是比较方便的呢

注意到它的对称性

所以呢我们就解除哪个杆

解除B点啊

中间这个杆B点的约束

代之以这一点的约束力而这个约束呢还继续保持

所以原来的这个结构

以及它的受力的情况

我们就可以利用叠加原理看成

这样两种情况的叠加

大家来看这个时候

把这点的约束解除了

啊那么这个地方呢会作用有一个什么力呢

就是第二杆的受力是吧

第二杆的受力

在第一种情况下

我们只考虑载荷作用

而不考虑这点的约束力的作用

而在这种情况呢我们考虑的是什么

这个时候这儿的载荷的作用在这里

已经作用过了

我们不再考虑了

剩下还有哪个力啊

还有这个杆的向上的这个受力

我们去考虑

现在我们来看看它变形的情况

由于这个地方D点作用向下的力

显然左右两个斜的杆

它会受到什么

拉力

受到拉力以后

这两个杆会怎样呢

会伸长了

因此这一点它的位移就会向下

然后我们来看一看

中间这个杆

上端B点

它位移到哪里

由于我们现在只考虑啊载荷作用在D点垂直向下

现在问大家这种情况中间这个杆它受力吗

不受力吧

它不受力

那它有变形吗

没有

没有变形的话

因此上面这一点

它的位移就跟下面现在这一点

它的位移应该是怎样的

相等的

没错

好了

那么我们来看后边这个情况

只有这一点的

约束力作用的时候

它这一点的约束力向上作用的话

那么我们可以看到

这两个斜杆受什么样的力

受压

受压的话

两边的这个杆会怎么样呢

就缩短了

由于对称性跟这类似

所以这一点

它只有什么

向上的位移

是吧

由于这两个杆受力一样对称

所以它们的缩短是一样的

所以这一点就有向上的位移

这个向上的位移是由于两边的杆缩短而引起来的

那现在

这个中间这杆上面这一点的这个位移

跟D点的向上的位移相不相同呢

注意这杆本身现在是什么

是受力了

它受力的话它要变形

要伸长了

所以这一点向上的位移应该是什么

没错

应该是这一点向上的位移

再叠加上这个杆的什么

伸长量

那么实际上面这一点的情况是怎样的呢

我们来看看原来B点的这个约束情况

那里是约束住了

它那一点的位移应该是多少

应该是零

也就是说它向下的位移

和这一点向上的位移

应该是怎么样

相等的

如果以向上的位移为正的话

那向下的位移就是负

两者加起来应该怎么样

满足原有的这儿的边界条件

应该是什么

应该是零

对吧

这就是我们分析的过程

接下来我们来看看具体的相关的一些计算

那么在计算的时候

还有说第一种情况说只考虑载荷P向下作用

那两边斜的杆会伸长

那么我们要看D点怎么样

垂直的向下位移

我们来看一下

这边的这个斜的这个杆在这个地方

对吧

那么显然它伸长了以后应该是怎样呢

它伸长了这么长

同样的右边这个斜的这个杆

跟它的材料一样

长短也一样

受力呢对称

我们看到也应该一样

那么它呢也伸长了

这两个伸长量是应该一样的

对称性

所以D点是垂直向下的

那么这个位置在哪里呢

我们就可以看到这边约束住

那么它伸长了以后

圆杆长加上伸长量

应该上面固定住

铰接了应该是怎么样

这个伸长的部分我们可以画一个什么

画一个圆弧

这样的一条线

同样的这边呢这个杆也是一样

这边铰接住了

它不能动

原来的长度再加上这伸长量

那么以上面这个点铰接住的这一点

C点为圆心

以原长加伸长量为半径

我们又可以画一个圆弧

那么这两个圆弧的

这个交叉的这个点

就是我们所讲的这个

点的位置

由于它是小变形

如果我们用圆弧的这个

来这个交叉的这个焦点

来进行分析计算的话

来进行分析计算的话

显然圆弧这个曲线是很难计算的

计算很啰嗦

所以这时候怎么办呢

我们就以这一点做了什么

做了圆弧的切线

这边也是做它圆弧的切线

而后交于这一点

那么我们就以这个切线的交点

来近似D点向下位移的位置

同样的道理

对于后边中间受力的这个杆

那么它两边缩短也是类似的

那么圆弧的线是在这个地方

我们做圆弧的切线

做圆弧的切线交于这一点

这就是D点

由于两边的杆缩短以后

垂直向上 那位移的位置

到这个地方类似的情况

那么我们来看看

具体的这个计算的这个结果

好 在第一种情况只在载荷作用的时候

根据平衡条件

我们很快可以算出

这个时候F10=0还有这个杆的这个受力

应该是相等的

根据平衡条件

它们两者乘以cosα这个角度

就应该等于P

所以这个时候

它的受力

我们就可以算出来了

两倍的F20乘以cosα等于P

因此两边的F20可以算出是P除以两倍的cosα

两个杆的拉力我们已经算出来了

那伸长量

我们按照杆的变形量的计算

我们也可以算出来

那么两边这个杆的斜杆的

这个长度是多少

中间杆的长度是L

两边杆的长度

那就应该是L除以cosα

那么这个时候代进变形的计算公式里边

所以这个AD这个杆的伸长量

我们可以算出来轴力

P两倍的cosα

P两倍的cosα

L变成了什么

AD长Lcosα

所以L cosα那就平方了

再除以EA啊

这就是我们算出来的

它的伸长量

按照我们刚才分析的这个图

用圆弧的切线来进行近似

D点就到了这个D4点

我们可以算出来

这个时候

D点的向下的位移的量

D D4

从这个图里边我们可以算出来

这个呢是伸长量

伸长量我们可以看到

和D D4之间的关系

这个角度是多少

由于小变形

所以这个角度应该不变

还应该近似是什么

是α

因此Δ0 cosα就应该等于(ΔAD)0

那这个时候我们就可以算出Δ0了

再有一个什么cosα除过来

所以这就变成三次方

D点现在是第一种情况是指在

载荷作用下

它是向下位移的

所以我们画的向下

因此呢我们在这里写了符号

也就是说向上是为正的

那么接下来我们要分析什么

要分析这个时候

单独向上有作用力的时候

那么这一点向上的位移是多少

那么D点向上的位移就是正的了

注意此时D点受力为F1就有F1L

除以两AEcosα三次方

那么这只是D点向上的位移

而上面这个B点向上的位移呢

我们还要叠加上这个杆本身的什么

伸长量

那么这个杆本身的伸长量

我们看到它的轴力就是这么大

轴力乘以杆的长度比上EA

就是它的轴向的变形

所以我们可以看到F1L比上EA

再叠加上

下面这一点的向上的位移

就得出来这一点向上的位移了

Δ1

代入变形协调条件

我们就得到了下面的这个式子

显然这个式子是包含F1的一个方程

从这儿我们就可以得到F1是多少

对吧

然后呢我们再根据平衡条件

这个时候我们可以看到

F1+2F2乘以cosα就应该跟这个载荷平衡

所以把从这儿得出来的F1再带到这个里边

我们就可以求出F2

这个呢就是一个相对的啊

稍微复杂一点的一个杆的杆系的

静不定问题的这样的一个例子

下面我给大家说一个简单的一个情况

好比说我们现在有一个刚性的梁

刚性的梁

也就是说它是刚性

它是不变形的

然后我们有三个杆

跟它

吊在天花板上

这个时候呢

我们在这儿给它作用有一个力

那就问大家

你说这个变形协调条件怎么写

那这三个杆他说这距离是一样的

怎么写

这显然是一个静不定问题

对吗

对吗

为什么每个杆

好比说我们假设它受拉的话

这是一个什么

平面平行力系

两个独立方程

三个未知量

怎么求解

是吧

所以我们必须要变形协调条件

那这个时候怎么写呢

我们来看

假如说它整体的这个梁呢

在这个P力作用下

它这样向下的位移了

所以你看这点的伸长

这点的伸长和这点的伸长

什么关系

对吧

平行线之间成比例

所以你可以看到那它的两倍

就应该等于它和它的什么

这就是变形协调条件

你再把各自的受力是多少啊代进去

再叠加上平衡方程

这个问题就可以求解了

今天呢我们运用一个例题来说明了

杆系静不定问题如何进行求解

就是利用了叠加原理以及变形的协调条件

作为补充方程

结合静力平衡方程

我们就可以把它求解出来了

谢谢大家

材料力学课程列表:

第一章 绪论

-1-1 材料力学的任务

--材料力学的任务

--第1-1节作业

-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形

--基本假设、内力、杆的基本变形

--第1-2节作业

-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--第1-3节思考题讨论

第二章 拉伸、压缩与剪切

-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

-- 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

--第2-1节作业

- 2-2 应变,杆斜截面上的应力

--应变,杆斜截面上的应力

--第2-2节作业

- 2-3-1 材料的力学性能(一)

--材料的力学性能(一)

--第 2-3-1作业

- 2-3-2 材料的力学性能(二)

--材料的力学性能(二)

--第 2-3-2作业

-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比

--胡克定律、轴向变形和泊桑比

--第 2-4-1作业

-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷

--安全系数,许用应力,许用载荷

--第 2-4-2作业

-2-5-1 静不定(超静定)系统

--静不定(超静定)系统

--第 2-5-1作业

-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)

--静不定(超静定)系统(续)

--第 2-5-2节作业

-2-6 热应力和变形

--热应力和变形

--第 2-6节作业

-2-7 剪切和挤压

--剪切和挤压

--第 2-7节作业

第三章 扭转

-3-1 扭转,扭矩

--扭转,扭矩

--第 3-1节作业

- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--第 3-2节作业

-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力

--受扭转构件横截面上的剪应力

--第 3-3节作业

- 3-4 扭转变形

--扭转变形

--第 3-4节作业

-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定

--扭转构件的设计 扭转静不定

--第 3-5节作业

第4章 弯曲内力

-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

--梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律

--剪力图和弯矩图(一)

--剪力图和弯矩图(二)

--第 4-2节作业

-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--第 4-3 节作业

第五章 弯曲应力

-5-1 弯曲正应力

--弯曲正应力

--第 5-1节作业

-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩

--横截面关于中性轴的惯性矩

--第 5-2节作业

-5-3 梁的设计

--梁的设计

--第 5-3节作业

-5-4 弯曲剪应力

--弯曲剪应力

--第 5-4节作业

第六章 弯曲变形

- 6-1 挠曲微分方程,边界条件

--挠曲微分方程,边界条件

--第 6-1节作业

-6-2 积分法

--积分法

--第 6-2节作业

-6-3 静不定

--静不定

--第 6-3 节作业

-6-4 叠加法

--叠加法

--第 6-4节作业

-6-5 简单静不定梁

--简单静不定梁

--第 6-5节作业

第七章 应力状态分析及强度理论

- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--第 7-1节作业

-7-2 平面应力变换

--平面应力变换

--7-2 节作业

- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--第 7-3节作业

-7-4 强度理论概述 断裂准则

--强度理论概述 断裂准则

--第 7-4节作业

-7-5 屈服准则

--屈服准则

--第 7-5节作业

-7-6 莫尔强度理论

--莫尔强度理论

--第 7-6节作业

第八章 组合变形

- 8-1 关于两个主轴的弯曲

--关于两个主轴的弯曲

--第 8-1节作业

-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--第 8-2节作业

-8-3 弹性设计

--弹性设计

--第 8-3节作业

-8-4 梁的弹性设计

--梁的弹性设计

--第 8-4节作业

-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)

--轴的强度设计

--第 8-5节作业

-8-6 提高梁抗弯能力的措施

--提高梁抗弯能力的措施

--第 8-6节作业

第九章 压杆稳定

-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力

--屈曲 细长压杆的临界压力

--第 9-1节作业

-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--第 9-2节作业

-9-3 提高压杆稳定性的措施

--提高压杆稳定性的措施

--第 9-3节作业

第十章 动载荷

-10-1. 冲击,动荷系数

--冲击,动荷系数

--第 10-1节作业

-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性

--用动静法求应力和变形 冲击韧性

--第 10-2节作业

第十一章 交变应力

- 11-1 交变应力、持久极限

--交变应力、持久极限

--第 11-1节作业

-11-2 影响持久极限的因素

--影响持久极限的因素

--第 11-2节作业

-11-3 疲劳强度

--疲劳强度

--第 11-3节作业

第十二章 能量法

-12-1 应变能

--应变能

--第 12-1节作业

-12-2 互换定理

--互换定理

--第 12-2节作业

-12-3 卡氏定理,应用

--卡氏定理,应用

--第 12-3节作业

- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法

--卡氏定理应用:虚构载荷法

--第 12-4节作业

- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--第 12-5节作业

-12-6 图乘法

--图乘法

--第12-6节作业

第十三章 静不定结构

- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)

--静不定结构、正则方程(一次静不定)

--第 13-1节作业

- 13-2 正则方程(高次静不定系统)

-- 正则方程(高次静不定系统)

--第 13-3 节作业

-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构

--利用对称性与反对称性分析静不定结构

--第 13-4节作业

静不定(超静定)系统(续)笔记与讨论

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