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受扭转构件横截面上的剪应力在线视频

下一节:扭转变形

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受扭转构件横截面上的剪应力课程教案、知识点、字幕

各位同学大家好

今天我们继续学习材料力学第三章的

有关扭转之后横截面上的应力应该是怎样的

我们来看一下

现在我们为了要考察受扭转之后

这个轴的变形的情况

我们在这个圆截面轴的表面

画了很多的横向的圆圈

等距离的

而后又画了很多等距离的

纵向的与轴线平行的这些线

这个时候我们两端给它作用了扭矩

我们观察它变形的情况

通过观察

我们可以看到

这里的长方形变成了平行四边形

而且我们看到所有的这些环向线

距离没有发生变化

就好像整个横截面围绕着轴线怎么样

转了一定的角度一样

为什么

我们从这儿可以看到

它所有的纵向线和之前的这个

和轴线平行的时候

发生了什么

微微的倾斜

而且这些直线依然保持为直线

这是我们实际观测到这些现象

由这些观测到的现象

我们就要大胆地提出一些假设

这些假设是什么

由于环向线依然是保持一个

这样的环向的情况

每个环向线之间的距离也没有变化

所以我们大胆的假设

横截面在受扭转的时候

依然整体保持为一个平面

并没有发生横截面的翘曲

也就是说横截面不会有这样

依然是平的

这是所谓的平面假设

第二点

受扭转作用的圆轴

剪应变γ由中心轴线到表面

它是线性的变化的

而且在表面

它会达到了最大

这个时候由于整个横截面

我们说是整体的转了一定的角度

所以我们认为在这个面里的半径线

也依然保持为直线

跟着整个面转了一定的角度

那么我们就来看看

这个线性变化的剪应变

到底是怎样的

我们来解释一下

我们来看

现在这个就是受扭转的一个圆截面的圆轴

在开始的时候

我们过圆轴的轴线

截一个纵向的平面

就这个深颜色的这个截面

受扭转之后

两端加了等值的扭矩之后

它会扭转

扭转变形

这个时候我们来看看

它的这个纵向的这一条线

发生了倾斜

但还保持直线

到了这里

那这个横截面上的半径线

我们看到了

随着整个截面转

转到哪里啦转到这里

我们再来看

原来在这个纵向面的一条直线

这个AD

现在变到哪里了

由于D点随着横截面整体要转了一个角度

所以D点

就跑到了下面的D´点去了

那么我们来看看这个纵向线

这个AD

现在就跑到哪里啦

我们可以看到就跑到了什么

AD´去了

这个时候

这个地方的剪应变是多少啊

我们来看一下

本来这个地方

如果我们要在这个地方取单元体的话

那么这个时候呢

它应该是

和这个AD应该是怎么样

应该是垂直的

现在由于AD

我们可以看到

到了AD´了

那这个线

垂直于半径线的这条线还是这样

因此这个直角就变成了一个锐角

就是现在的这个锐角

那么直角的改变量是哪个角度啊

显然就是这个角度

这就是我们所说的

现在的距离这个圆心ρ的地方

那么它的这个剪应变是多少啊

就刚才我们画的就是这个角度

那我们再来看

它表面上的这个纵向线

现在变到哪里了

大家来看

横截面的转角整体转过了那么多角度

那表面上的这条纵向线

这一点呢

它就随着截面就转到哪里了

转转转

转到了这一点

那么它的这个直角的改变量变了多少呢

我们可以看到

在这个地方

那么如果在这个地方取一个单元体的话

那么这个垂直半径线的这个方向

和纵向线这本来没变形的时候

没有扭转的时候

它是一个直角

现在变成了锐角

直角的改变量是多少

显然就是这个角度

那么这个角度我们可以看到近似的是什么

近似的就应该等于这个长度

除以整个这一段圆轴的长度

而刚才的这个角度呢

它就近似的应该是什么

等于这个尺寸

是吧

DD´除以

谁呀

除以这个整个这一段轴段的长度

显然哪个大呀

显然这个角度是大的

所以呢

我们看到了啊

它就由轴线最里边

一直到最表面它的剪应变线性变化

从0到了最大

那么这个时候我们看到这里的这个

径向线依然是直线

整个随着截面转过了一个角度

这就是我们看到的这个剪应变这个变化的

外表面是最大的

那接下来我们就要看

变形之后

扭转之后

那它的横截面上一点的

这个切应力到底是多少

我们从这个圆轴受扭转截出来dx这么一段

我们给它放大变成这样

而后呢

为了看清楚

我们又取了这样的一个楔形块

取出来

我们再放大来看

受扭转之后

显然

这个截面相对于这个截面

转过了一定的角度

转过的角度

我们给它记成什么

记成了dφ

一个很小的角度dφ

那这个时候我们来看看这个纵向线

这个纵向线是距离轴线多远的地方

是距离轴线ρ的地方

那么它就从和轴线平行的情况

就微微的倾斜到了这里

也就是从B到了B´

显然这个时候

这个角度就是对应了

这个位置的它的剪应变

我们记成什么

记成γρ

表示距离轴线ρ这个地方的

它的剪应变

那它等于多少呢

我们来算一下

根据它的几何的条件

我们可以看到BB´

它的这个长度如果在横截面上来看的话

那它就应该等于ρ乘以什么dφ

如果我们在纵向来看的话

那它就应该等于这个轴段的长度

乘以什么剪应变γρ

得到BB´

因此

γρ我们就可以写成

ρ乘上dφ dx

我们把它记成ρΘ

Θ是什么

Θ就是dφ dx

表征了什么意思啊

这是什么

这时我们可以看到啊

距离dx这么长

两个横截面相对转过的角度是dφ

所以dφ除以dx就表征了

受扭转之后的构件

那么它的扭转角

截面的扭转角

随着x轴

沿着x轴的它的变化率

那么这个时候我们可以看到

γρ就应该等于ρΘ

那么有了这个剪应变

我们根据剪切胡克定律

我们就可以得到了ρ这个位置的时候

它的切应力应该是多少

那么根据剪切胡克定律

剪应力就应该等于剪切模量与什么

与剪应变的乘积

所以就应该等于GρΘ

那么我们可以看到

它是跟这个ρ是怎么样的

是成正比的

也就是说

这个时候横截面上一点的切应力

它离圆心越远的话

离轴线越远的话

那么它这个切应力就是越大的

最大的时候当然就在外表面上的

如果这个圆轴它的半径是r的话

那么我们讲就是GRΘ就是最大值

这个时候我们来看看啊

它是跟ρ呈线性关系

所以我们能不能画出

这个横截面上的剪应力啊

线性关系呢

在ρ等于0的时候它是零

所以我们可以画出来

沿着半径方向

它的这个线性分布的情况

ρ从0到R

越来越大

线性分布

那大家想想

这个纵向面里面

它的切应力是怎样的

对了

我们想到了什么

想到了剪应力互等

所以纵向面跟这个头对头尾对尾

我们可以看到

它也是这样的线性分布

从0到表面是最大的

这是纵向面的切应力的分布

我们也可以看到这个图

这个时候它这样扭转

它发生了这样的扭转的变形

那么在横截面上

它的这个整个切应力的分布我们可以看到

随便画一条直径

过圆心直径

那么它的这个切应力都是什么

我们可以看到这样线性分布的

你再画一条直径

它也是这样子线性分布

这样线性分布从零到最大

任何一条半径线都是

那么它的指向我们可以看到

都是跟径线跟直径跟半径是什么样

是垂直的

往哪边指呢

由于这个横截面上的内力就是扭矩

那么扭矩是什么

整个横截面

对于轴线的矩

是这些切应力这些内力它的一个和

所以它的指向一定要和什么

扭矩的指向应该是一致的

是吧

你看

往这边指

那这扭矩是这样

为什么

这些应力要对它取矩

这些指向要一致

刚才呢我们看到了

说这个切应力是等于GρΘ

但这个Θ是多少呢

还不知道

没关系

我们继续来看

我们就利用刚才所讲的这个静力关系

这个扭矩是这些分布的这些应力的

在这个面上的和

是对O点的这个矩

那么我们就来求一下

比如说距离这个圆心为ρ的这个地方

我们取了一个微元

这个小的小面积

我们给它记成dA

由于面积足够小

所以在这个小面积上的切应力的分布

我们就认为是近似平均的

那因此这个面上的力是多少呢

我们就可以看到

应该是τρ乘以dA

是吧

变成这个小面积上的力

而后

它对于O点取矩的话

力臂是多少

由于面积很小

所以力臂都是近似是多少是ρ

所以呢

再乘上力臂

整个截面求和

求和意味着什么

在整个截面上积分

这就是什么

这就是我们得到了这个式子

那我们把这个τρ等于GρΘ代进去

所以这就有平方

我们注意到这个G是指的整个这个构件材料

它的剪切模量

所以跟你这个小面积是无关的

因此提出去

是常量

同时这个Θ呢

是指的整个截面转动的情况

所以呢

也和这小面积无关

也是常量提出去

那就变成了

GΘ ρ平方积分

那么我们记为什么

GΘIP

这个IP呢

我们讲就是指的这个是什么意思啊

我们可以看到ρ是指的截面上各个点

到轴线的距离

所以就是这个距离的平方

在整个面积上进行积分

那么对于这样的一个圆截面

我们可以看到

这个积分可以怎么样呢

它这个dA我们可以写成什么

应该是这个

dA等于2πρ乘以什么dρ

那么这个时候我们可以代进去

ρ是等于多少

0到二分之一d

所以积分出来

32分之πd的四次方

那么这个呢

我们就管它叫做整个截面

对于圆心的叫极惯性矩

直接可以看到

这是长度

它的量纲是长度的4次方

所以它的单位

要么是米的4次方

毫米的4次方等等

这是我们叫做截面关于圆心的极惯性矩

好啦

那么在这里面我们可以看到

如果构件确定

尺寸确定

所以IP就是一个定值

如果我们给它作用的这个扭矩

作用外力以后

这个截面上的扭矩

我们也能算出来是T的话

材料也确定的话

G也是已知的

所以这个Θ我们就可以确定了

好那么这个Θ是多少呢

我们可以看到

GΘ就等于T比上IP

代入这个刚才我们得到的

这个τ的表达式里面

因此这个时候

横截面上一点距离圆心为ρ的地方

那它的这个切应力的这个计算的公式

我们就得到了

显然这个时候

在外表面这个地方

它的这个切应力是最大的

是多少

ρ等于R的时候

大家来看一下

我们体会一下

如果我们对一个圆轴作用的这个

扭矩越大的话

那么显然这个应力越大

所以成正比

这个ρ越大

我们刚才已经讨论过了

那么它的这个切应力也是越大的

如果这个截面

它关于圆心的这个极惯性矩越大的话

比如说

我们有一个这么粗的

和这么粗的这个圆截面轴的话

那显然

你同样的力作用在上面的话

显然那个粗的是不容易变形的

为什么

32分之πd的四次方嘛

你d大这个值就大

还有我们看到呢

它是什么

它是指的圆截面上各个点

到圆心的距离的平方在整个面上的积分

你想想

如果我们这个圆截面上各个点

它的分布离圆心都比较远的话

那么显然这个IP值就是比较大的

所以我们工程上经常看到什么

比如说脚手架

大家想想

都是实心的圆棒吗

还是什么管状的

这就解释了为什么我们都喜欢用这个管状的

你听脚手架不是为了扔在地上

声音很清脆好听

这是我们看到的

这个切应力怎么算

说到管状的

那么我们就可以看到IP呢

就应该等于什么

32分之πdo的四次方减去

32分之πdi的四次方

这里的这个do di

就是指的这个圆管的它的外内径尺寸

这个呢

就是我们今天给大家介绍的

圆截面那么受扭转之后

它横截面上一点的这个切应力

应该怎么样来进行计算

显然它是沿着半径线性分布的

它的方向是和半径垂直的

指向要和扭矩方向要一致

这就是我们这个知识点的内容

谢谢大家

材料力学课程列表:

第一章 绪论

-1-1 材料力学的任务

--材料力学的任务

--第1-1节作业

-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形

--基本假设、内力、杆的基本变形

--第1-2节作业

-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--第1-3节思考题讨论

第二章 拉伸、压缩与剪切

-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

-- 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

--第2-1节作业

- 2-2 应变,杆斜截面上的应力

--应变,杆斜截面上的应力

--第2-2节作业

- 2-3-1 材料的力学性能(一)

--材料的力学性能(一)

--第 2-3-1作业

- 2-3-2 材料的力学性能(二)

--材料的力学性能(二)

--第 2-3-2作业

-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比

--胡克定律、轴向变形和泊桑比

--第 2-4-1作业

-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷

--安全系数,许用应力,许用载荷

--第 2-4-2作业

-2-5-1 静不定(超静定)系统

--静不定(超静定)系统

--第 2-5-1作业

-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)

--静不定(超静定)系统(续)

--第 2-5-2节作业

-2-6 热应力和变形

--热应力和变形

--第 2-6节作业

-2-7 剪切和挤压

--剪切和挤压

--第 2-7节作业

第三章 扭转

-3-1 扭转,扭矩

--扭转,扭矩

--第 3-1节作业

- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--第 3-2节作业

-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力

--受扭转构件横截面上的剪应力

--第 3-3节作业

- 3-4 扭转变形

--扭转变形

--第 3-4节作业

-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定

--扭转构件的设计 扭转静不定

--第 3-5节作业

第4章 弯曲内力

-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

--梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律

--剪力图和弯矩图(一)

--剪力图和弯矩图(二)

--第 4-2节作业

-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--第 4-3 节作业

第五章 弯曲应力

-5-1 弯曲正应力

--弯曲正应力

--第 5-1节作业

-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩

--横截面关于中性轴的惯性矩

--第 5-2节作业

-5-3 梁的设计

--梁的设计

--第 5-3节作业

-5-4 弯曲剪应力

--弯曲剪应力

--第 5-4节作业

第六章 弯曲变形

- 6-1 挠曲微分方程,边界条件

--挠曲微分方程,边界条件

--第 6-1节作业

-6-2 积分法

--积分法

--第 6-2节作业

-6-3 静不定

--静不定

--第 6-3 节作业

-6-4 叠加法

--叠加法

--第 6-4节作业

-6-5 简单静不定梁

--简单静不定梁

--第 6-5节作业

第七章 应力状态分析及强度理论

- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--第 7-1节作业

-7-2 平面应力变换

--平面应力变换

--7-2 节作业

- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--第 7-3节作业

-7-4 强度理论概述 断裂准则

--强度理论概述 断裂准则

--第 7-4节作业

-7-5 屈服准则

--屈服准则

--第 7-5节作业

-7-6 莫尔强度理论

--莫尔强度理论

--第 7-6节作业

第八章 组合变形

- 8-1 关于两个主轴的弯曲

--关于两个主轴的弯曲

--第 8-1节作业

-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--第 8-2节作业

-8-3 弹性设计

--弹性设计

--第 8-3节作业

-8-4 梁的弹性设计

--梁的弹性设计

--第 8-4节作业

-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)

--轴的强度设计

--第 8-5节作业

-8-6 提高梁抗弯能力的措施

--提高梁抗弯能力的措施

--第 8-6节作业

第九章 压杆稳定

-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力

--屈曲 细长压杆的临界压力

--第 9-1节作业

-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--第 9-2节作业

-9-3 提高压杆稳定性的措施

--提高压杆稳定性的措施

--第 9-3节作业

第十章 动载荷

-10-1. 冲击,动荷系数

--冲击,动荷系数

--第 10-1节作业

-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性

--用动静法求应力和变形 冲击韧性

--第 10-2节作业

第十一章 交变应力

- 11-1 交变应力、持久极限

--交变应力、持久极限

--第 11-1节作业

-11-2 影响持久极限的因素

--影响持久极限的因素

--第 11-2节作业

-11-3 疲劳强度

--疲劳强度

--第 11-3节作业

第十二章 能量法

-12-1 应变能

--应变能

--第 12-1节作业

-12-2 互换定理

--互换定理

--第 12-2节作业

-12-3 卡氏定理,应用

--卡氏定理,应用

--第 12-3节作业

- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法

--卡氏定理应用:虚构载荷法

--第 12-4节作业

- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--第 12-5节作业

-12-6 图乘法

--图乘法

--第12-6节作业

第十三章 静不定结构

- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)

--静不定结构、正则方程(一次静不定)

--第 13-1节作业

- 13-2 正则方程(高次静不定系统)

-- 正则方程(高次静不定系统)

--第 13-3 节作业

-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构

--利用对称性与反对称性分析静不定结构

--第 13-4节作业

受扭转构件横截面上的剪应力笔记与讨论

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