当前课程知识点:材料力学 > 第五章 弯曲应力 > 5-3 梁的设计 > 梁的设计
各位同学大家好
今天我们来学习有关梁截面设计
的有关内容
我们说如果这个梁横截面
它的弯距随着它的截面的位置变化的话
那么这个时候梁里边的最大的正应力
我们可以看到应该等于最大的
弯距所在的那个面上这个弯距与
这个面上的离中性轴最远的
那一点
除以这个横截面
关于中性轴的惯性矩应该这样来计算
那这个最大的弯距
比上W这个W我们可以看到
这应该等于惯性矩
关于中性轴的惯性矩与Ymax的比值
我们把它叫做什么
叫做截面的抗弯模量
我们上次也已经说过了
所以梁的强度的准则就是这个
最大的应力应该小于许用值
接下来我们通过一些例子
我们来练习练习
现在我们知道有两个立着的这个杆儿
底端都是固定的
上端有水平的力P作用
这时候力的大小12kN
它的这个杆的高度是2.5m
这杆材料
许可使用的应力是50MPa
让我们来确定
两种情况下所需要
的最小的外径尺寸
第一种情况
它是一个什么实心儿的圆柱
第二种情况
它是一个管状的
知道它的壁厚是1/8外径
我们对它的截面尺寸进行设计
首先我们需要确定的是
这个构件哪里出现了最大的弯矩
毫无疑问
我们可以看到这个固定端里面
固定的位置
它会有最大的弯距
等于P乘以力臂这么远h
我们可以算出来12乘以2.5
30 kN•m
我们首先来对实心儿圆柱的
横截面的尺寸进行设计
对于实心儿圆柱
它的抗弯截面模量
W1我们可以看到关于中性轴的
惯性矩与Ymax的比
Iz我们已经讨论过
圆截面
它等于64分之πD的4次方
而距离中心轴最远的地方
由于是圆截面
所以我们可以看到离中性轴最远
的地方就是半径
因此再除以D/2变成了
32分之πD的3次方
实心儿部分的这个直径尺寸
我们用下标1来标注
所以它就需要大于等于
最大弯矩与许用应力的比
把数据代进去
同时我们单位进行换算
千牛米变成了牛顿米
这里把兆帕变成帕
计算出来的结果等于0.0006m3
那我们按照这个式子
它再乘以32
再除以π再开三次方
所以我们就可以得到了
这个时候的
实心儿的这个部分它的直径
0.183m
也就是183mm
说这一部分
你要承受这么大的力的话
那你这个杆子的直径至少要183mm
接下来
我们要来看管状的
如果采用管状的话
注意壁厚是1/8的外径的话
那它的内径就应该是多少
壁厚
从这图我们可以看到这边是壁厚
这边也是壁厚
所以它的内径的尺寸
就应该是外径减去两倍的壁厚
那才是它的内径
两倍的1/8就1/4就是0.25
所以它的内径就是外径的0.75
这个时候我们需要来算
这个时候管状的它关于中性轴的惯性矩
64分之π外径的四次方减去内径的四次方
我们就可以
换算出来大概是0.03356外径的四次方
这个时候
它的截面的抗弯截面模量
我们也可以算出来惯性矩
中性轴的惯性矩除以
截面各个点到中性轴的最远距离
最远距离是什么
我们可以看到是1/2的外径
所以算出来等于0.06712d2的三次方
这个时候我们可以看到它就应该大于等于
最大的弯矩与许用应力的比值
那么我们可以看到这个比值
还是这么多
在这里边
我们把这个数除过来
而后开三次方
我们就可以得到了管状的时候
那么它的外径的尺寸208mm
内径
你可以看一下是多少
0.75d2是吧
那就应该是怎么样的152mm
下面大家回去算一下
它们的横截面积的比是多少
哪一种节省材料
这也就解释了我们为什么工程上可以看
比如说脚手架
我们很多都用的管子
那为什么要用管子
我们可以看到
它的分布距离中性轴是比较远的
所以它关于中性轴的惯性矩就大
对应相同载荷的时候
那么它的最大的应力就会降下来
它的强度就会比较好
回去大家自己做一下比较分析
这是我们看到的第一个例子
接下来我们再来看下面的这个例子
现在我们有一个这样T字形的
注意它是一个铸铁的梁
它的拉压强度明显不一样
可以看到许用的拉应力39.3MPa
许用的压应力是58.8 MPa
这个截面尺寸已经有了
关于中性轴的惯性矩也已经告诉我们
在这里
在这里
现在
它的受载的情况如何
我们可以看到
是简支的
但是它伸出去的这一段是有力的
所以它是一个外伸梁
载荷12kN
4.5 kN
尺寸1米 1米 1米
都已经有了
现在我们来校核这个梁的强度
在这样的场合使用的时候够不够
能不能使用
首先第一个我们要来看
到底哪个截面上它的弯矩是比较大的
对吧
那我们首先第一个
要对受到的所有的外力进行分析
求约束力
比如说对A点取矩
很快我们可以求得
这一点的约束力12.75 kN
对这一点取矩
我们可以得到这一点的约束力
3.75 kN
根据所有的外力
我们很快的可以画出它的弯矩图
这个时候我们可以看到这儿线性变化
到这儿
有一个峰值是多少3.75 kNm
而后这边对它取矩
我们可以看到4.5 kNm
只不过这边
我们比划一下就可以看到这边是什么
弯矩是负的
这边是向上的
可以看到弯矩是正的
弯矩图我们马上画出来了
哪里最危险
危险截面在哪里
有的同学就说
刚才我们不是说要找
最大的弯矩作用的地方吗
但是别忘了
我们现在遇到的是什么
是这样的一个T字型的截面
同样的弯矩的作用下
那么两端的正应力显然是不一样的
而我们现在这个梁又是一个什么样的梁
我们可以看到它是一个铸铁的梁
拉压强度又不一样
所以这个时候我们要仔细的分析一下
要全面的进行考虑
比如说在这个截面上
弯矩值是比较大
它是负的它应该是这样弯的
这样弯的话我们可以看到
上侧就受拉下侧是受压的
那么再注意一下
中性轴到两端的距离是怎么样的
也是不一样的
拉压应力不一样
那么我们再来看这个截面
这个截面它的弯矩是正的
弯矩是正的话
那么它的上侧
就应该受到什么受压了
底侧就要受拉
比如说拉应力
在这个截面上
弯矩是4.5
但是它是上侧受了拉
我们来看它到中性轴的距离是比较小的
弯矩大
到中间轴的距离是小的而在这个截面
弯矩小但它是底侧受拉
到中性轴的距离是比较大的
你说
哪个位置危险
是不是一下不好判断
好像都比较大
所以
危险截面的位置
两个都应该考虑
在这个地方
我们可以看到它横截面上应力的分布
这个时候弯矩是负的
所以这边拉这边压
这边到中性轴的距离是比较小的
而1点到中性轴的距离是比较大的
在这个截面
这个截面的话
那么弯矩是正的
那么这边到中性轴的距离可以看一下
两边是不一样的
这边是压这边拉
所以这边儿到中性轴的距离比较大
你说这个
这一点3点
和这一点2点
你能一下判断出哪里的拉应力最大
是吧 所以两个点
两个位置我们都要进行考虑
好那接下来我们就要
两个截面
分别来进行分析计算
比如说在这个B截面
弯矩是这样的是负的
那么底下是受压
底下到中性轴的距离又比较远
所以我们可以看到1点受到压应力
所以弯矩乘以到中性轴这个距离
除以整个截面关于中性轴的惯性矩
我们把具体的数值代进去
4.5kN×10^3
而后这个距离我们可以看到是88mm
变成m
10^-3
整个截面关于中性轴的惯性矩
7.65×10^6mm^4
我们给它变换成这个m^4
这个时候我们可以看到乘了10^-6
算出来结果是多少
51.8MPa
它是受压的
而最大的许用的压应力
我们刚才看到是55.8
所以小于许可值
没问题
这点儿是安全的
那么我们要来看
B截面2点的拉应力应该是多少
弯矩还是这么大
但是从这儿到这儿的这个尺寸
我们可以看到
从整个的尺寸减去这个88
得到了是52
那么这是整个截面关于中性轴的惯性矩
代进去以后进行计算
得到是多少30.6 MPa
小于最大的许用的拉应力
许用拉应力是39.3 MPa
所以B截面是安全的
我们来看一下D截面
在这个D截面
我们看到弯矩是正的
那就是4这个位置是什么
这个截面上的最大的压应力
而3这个位置是这个截面的最大的拉应力
对于最大的压应力
弯矩小3.75小于4.5
同时它到中性轴的距离是多少
是52
小于这边的88
所以它的压应力肯定是小于1点的
都不用算
那没问题
它的压的强度是够的
那么我们就要看3点拉的强度够不够
在这个地方弯矩是3.75kNm
然后它到中性轴的距离
我们可以看到
应该是这个尺寸
应该是88mm变成m
底下整个截面关于中性轴的惯性矩代进去
进行计算
结果是什么
我们可以看到43.1 MPa
而许用的数值是多少
我们刚才已经看到了
是多少
许用的拉应力是39.3
明显得超过了许可数值
所以它是不安全的
不安全的
这个就告诉我们
对于像这种材料拉压强度不等
同时截面到中性轴的距离也不一样的话
我们要综合的全面的来对它进行分析
这样才能够保证分析的正确
那现在问题来了
同样的这个梁
我们有没有什么样的办法
能够让它满足使用的要求
也就说它要这儿受这么大的载荷
这里要受这么大的载荷
有的同学说
那我们把这个梁T字形的我们给它换过来
这个边儿在底下
完了以后这个
小的这边窄的放到上面行不行
那大家来看一下
如果换过来的话
那就变成了什么
在B截面的这个
我们可以看到B截面的上部
就是这个地方
那么我们讲它的这个拉应力不是更大了吗
所以
不行
这个调过来是一种很好的想法
但是你这么一想的话
那这个拉的强度更不行
那怎么办
所以我们说还是要通过什么
通过这个公式正应力的计算公式
来进行分析
我们来看Iz都是一样的
不用考虑了
截面是不会变化的
那我们要考虑的是什么
就是这两点
刚才那我们是把它这个布置梁这样
这样180这样调个个
发现这个y
在这里面在这个地方
那它的拉应力会更大
那个拉的强度更不好
那这个思考
毙掉了
接下来我们只能来看Mz
Mz是什么
就是这个受力之后看它各个截面
弯矩的情况
能不能想办法把它降低了
那载荷这个位置这么大
那是不能变的
你必须要完成这样的任务
所以我们考虑的就考虑成谁
就考虑支座的影响
比如说
我们能不能把这个梁移一移
整个的这个往那边移一移
移完了以后
大家来看这个Mz
相应的
你去画画它的这个弯矩图
看能不能把这个Mz给它降下来
今天有关梁截面尺寸的设计
以及梁的强度校核的知识点的内容
就介绍到这里
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业