梁的设计在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习有关梁截面设计

的有关内容

我们说如果这个梁横截面

它的弯距随着它的截面的位置变化的话

那么这个时候梁里边的最大的正应力

我们可以看到应该等于最大的

弯距所在的那个面上这个弯距与

这个面上的离中性轴最远的

那一点

除以这个横截面

关于中性轴的惯性矩应该这样来计算

那这个最大的弯距

比上W这个W我们可以看到

这应该等于惯性矩

关于中性轴的惯性矩与Ymax的比值

我们把它叫做什么

叫做截面的抗弯模量

我们上次也已经说过了

所以梁的强度的准则就是这个

最大的应力应该小于许用值

接下来我们通过一些例子

我们来练习练习

现在我们知道有两个立着的这个杆儿

底端都是固定的

上端有水平的力P作用

这时候力的大小12kN

它的这个杆的高度是2.5m

这杆材料

许可使用的应力是50MPa

让我们来确定

两种情况下所需要

的最小的外径尺寸

第一种情况

它是一个什么实心儿的圆柱

第二种情况

它是一个管状的

知道它的壁厚是1/8外径

我们对它的截面尺寸进行设计

首先我们需要确定的是

这个构件哪里出现了最大的弯矩

毫无疑问

我们可以看到这个固定端里面

固定的位置

它会有最大的弯距

等于P乘以力臂这么远h

我们可以算出来12乘以2.5

30 kN•m

我们首先来对实心儿圆柱的

横截面的尺寸进行设计

对于实心儿圆柱

它的抗弯截面模量

W1我们可以看到关于中性轴的

惯性矩与Ymax的比

Iz我们已经讨论过

圆截面

它等于64分之πD的4次方

而距离中心轴最远的地方

由于是圆截面

所以我们可以看到离中性轴最远

的地方就是半径

因此再除以D/2变成了

32分之πD的3次方

实心儿部分的这个直径尺寸

我们用下标1来标注

所以它就需要大于等于

最大弯矩与许用应力的比

把数据代进去

同时我们单位进行换算

千牛米变成了牛顿米

这里把兆帕变成帕

计算出来的结果等于0.0006m3

那我们按照这个式子

它再乘以32

再除以π再开三次方

所以我们就可以得到了

这个时候的

实心儿的这个部分它的直径

0.183m

也就是183mm

说这一部分

你要承受这么大的力的话

那你这个杆子的直径至少要183mm

接下来

我们要来看管状的

如果采用管状的话

注意壁厚是1/8的外径的话

那它的内径就应该是多少

壁厚

从这图我们可以看到这边是壁厚

这边也是壁厚

所以它的内径的尺寸

就应该是外径减去两倍的壁厚

那才是它的内径

两倍的1/8就1/4就是0.25

所以它的内径就是外径的0.75

这个时候我们需要来算

这个时候管状的它关于中性轴的惯性矩

64分之π外径的四次方减去内径的四次方

我们就可以

换算出来大概是0.03356外径的四次方

这个时候

它的截面的抗弯截面模量

我们也可以算出来惯性矩

中性轴的惯性矩除以

截面各个点到中性轴的最远距离

最远距离是什么

我们可以看到是1/2的外径

所以算出来等于0.06712d2的三次方

这个时候我们可以看到它就应该大于等于

最大的弯矩与许用应力的比值

那么我们可以看到这个比值

还是这么多

在这里边

我们把这个数除过来

而后开三次方

我们就可以得到了管状的时候

那么它的外径的尺寸208mm

内径

你可以看一下是多少

0.75d2是吧

那就应该是怎么样的152mm

下面大家回去算一下

它们的横截面积的比是多少

哪一种节省材料

这也就解释了我们为什么工程上可以看

比如说脚手架

我们很多都用的管子

那为什么要用管子

我们可以看到

它的分布距离中性轴是比较远的

所以它关于中性轴的惯性矩就大

对应相同载荷的时候

那么它的最大的应力就会降下来

它的强度就会比较好

回去大家自己做一下比较分析

这是我们看到的第一个例子

接下来我们再来看下面的这个例子

现在我们有一个这样T字形的

注意它是一个铸铁的梁

它的拉压强度明显不一样

可以看到许用的拉应力39.3MPa

许用的压应力是58.8 MPa

这个截面尺寸已经有了

关于中性轴的惯性矩也已经告诉我们

在这里

在这里

现在

它的受载的情况如何

我们可以看到

是简支的

但是它伸出去的这一段是有力的

所以它是一个外伸梁

载荷12kN

4.5 kN

尺寸1米 1米 1米

都已经有了

现在我们来校核这个梁的强度

在这样的场合使用的时候够不够

能不能使用

首先第一个我们要来看

到底哪个截面上它的弯矩是比较大的

对吧

那我们首先第一个

要对受到的所有的外力进行分析

求约束力

比如说对A点取矩

很快我们可以求得

这一点的约束力12.75 kN

对这一点取矩

我们可以得到这一点的约束力

3.75 kN

根据所有的外力

我们很快的可以画出它的弯矩图

这个时候我们可以看到这儿线性变化

到这儿

有一个峰值是多少3.75 kNm

而后这边对它取矩

我们可以看到4.5 kNm

只不过这边

我们比划一下就可以看到这边是什么

弯矩是负的

这边是向上的

可以看到弯矩是正的

弯矩图我们马上画出来了

哪里最危险

危险截面在哪里

有的同学就说

刚才我们不是说要找

最大的弯矩作用的地方吗

但是别忘了

我们现在遇到的是什么

是这样的一个T字型的截面

同样的弯矩的作用下

那么两端的正应力显然是不一样的

而我们现在这个梁又是一个什么样的梁

我们可以看到它是一个铸铁的梁

拉压强度又不一样

所以这个时候我们要仔细的分析一下

要全面的进行考虑

比如说在这个截面上

弯矩值是比较大

它是负的它应该是这样弯的

这样弯的话我们可以看到

上侧就受拉下侧是受压的

那么再注意一下

中性轴到两端的距离是怎么样的

也是不一样的

拉压应力不一样

那么我们再来看这个截面

这个截面它的弯矩是正的

弯矩是正的话

那么它的上侧

就应该受到什么受压了

底侧就要受拉

比如说拉应力

在这个截面上

弯矩是4.5

但是它是上侧受了拉

我们来看它到中性轴的距离是比较小的

弯矩大

到中间轴的距离是小的而在这个截面

弯矩小但它是底侧受拉

到中性轴的距离是比较大的

你说

哪个位置危险

是不是一下不好判断

好像都比较大

所以

危险截面的位置

两个都应该考虑

在这个地方

我们可以看到它横截面上应力的分布

这个时候弯矩是负的

所以这边拉这边压

这边到中性轴的距离是比较小的

而1点到中性轴的距离是比较大的

在这个截面

这个截面的话

那么弯矩是正的

那么这边到中性轴的距离可以看一下

两边是不一样的

这边是压这边拉

所以这边儿到中性轴的距离比较大

你说这个

这一点3点

和这一点2点

你能一下判断出哪里的拉应力最大

是吧 所以两个点

两个位置我们都要进行考虑

好那接下来我们就要

两个截面

分别来进行分析计算

比如说在这个B截面

弯矩是这样的是负的

那么底下是受压

底下到中性轴的距离又比较远

所以我们可以看到1点受到压应力

所以弯矩乘以到中性轴这个距离

除以整个截面关于中性轴的惯性矩

我们把具体的数值代进去

4.5kN×10^3

而后这个距离我们可以看到是88mm

变成m

10^-3

整个截面关于中性轴的惯性矩

7.65×10^6mm^4

我们给它变换成这个m^4

这个时候我们可以看到乘了10^-6

算出来结果是多少

51.8MPa

它是受压的

而最大的许用的压应力

我们刚才看到是55.8

所以小于许可值

没问题

这点儿是安全的

那么我们要来看

B截面2点的拉应力应该是多少

弯矩还是这么大

但是从这儿到这儿的这个尺寸

我们可以看到

从整个的尺寸减去这个88

得到了是52

那么这是整个截面关于中性轴的惯性矩

代进去以后进行计算

得到是多少30.6 MPa

小于最大的许用的拉应力

许用拉应力是39.3 MPa

所以B截面是安全的

我们来看一下D截面

在这个D截面

我们看到弯矩是正的

那就是4这个位置是什么

这个截面上的最大的压应力

而3这个位置是这个截面的最大的拉应力

对于最大的压应力

弯矩小3.75小于4.5

同时它到中性轴的距离是多少

是52

小于这边的88

所以它的压应力肯定是小于1点的

都不用算

那没问题

它的压的强度是够的

那么我们就要看3点拉的强度够不够

在这个地方弯矩是3.75kNm

然后它到中性轴的距离

我们可以看到

应该是这个尺寸

应该是88mm变成m

底下整个截面关于中性轴的惯性矩代进去

进行计算

结果是什么

我们可以看到43.1 MPa

而许用的数值是多少

我们刚才已经看到了

是多少

许用的拉应力是39.3

明显得超过了许可数值

所以它是不安全的

不安全的

这个就告诉我们

对于像这种材料拉压强度不等

同时截面到中性轴的距离也不一样的话

我们要综合的全面的来对它进行分析

这样才能够保证分析的正确

那现在问题来了

同样的这个梁

我们有没有什么样的办法

能够让它满足使用的要求

也就说它要这儿受这么大的载荷

这里要受这么大的载荷

有的同学说

那我们把这个梁T字形的我们给它换过来

这个边儿在底下

完了以后这个

小的这边窄的放到上面行不行

那大家来看一下

如果换过来的话

那就变成了什么

在B截面的这个

我们可以看到B截面的上部

就是这个地方

那么我们讲它的这个拉应力不是更大了吗

所以

不行

这个调过来是一种很好的想法

但是你这么一想的话

那这个拉的强度更不行

那怎么办

所以我们说还是要通过什么

通过这个公式正应力的计算公式

来进行分析

我们来看Iz都是一样的

不用考虑了

截面是不会变化的

那我们要考虑的是什么

就是这两点

刚才那我们是把它这个布置梁这样

这样180这样调个个

发现这个y

在这里面在这个地方

那它的拉应力会更大

那个拉的强度更不好

那这个思考

毙掉了

接下来我们只能来看Mz

Mz是什么

就是这个受力之后看它各个截面

弯矩的情况

能不能想办法把它降低了

那载荷这个位置这么大

那是不能变的

你必须要完成这样的任务

所以我们考虑的就考虑成谁

就考虑支座的影响

比如说

我们能不能把这个梁移一移

整个的这个往那边移一移

移完了以后

大家来看这个Mz

相应的

你去画画它的这个弯矩图

看能不能把这个Mz给它降下来

今天有关梁截面尺寸的设计

以及梁的强度校核的知识点的内容

就介绍到这里

谢谢大家