当前课程知识点:材料力学 > 第二章 拉伸、压缩与剪切 > 2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比 > 胡克定律、轴向变形和泊桑比
各位同学大家好
接下来我们来继续学习
材料力学第二章里面的内容
有关泊桑比的概念
有关胡克定律
并由此推导出计算拉压构件变形量的方法
我们在做实验的时候我们已经看到
当构件拉伸实验的时候
我们看到它的纵向是伸长的
我们也看到了它的截面是收缩的
那么我们来看一下它们之间有什么样的关系
类似于我们所介绍的
构件的纵向的这个线性应变
我们说它截面横向会有收缩
如果受力以后
它截面的
原始的这个直径尺寸是d0
收缩以后现在的直径尺寸是d的话
这个截面的收缩量
比上原始的横截面的直径尺寸的话
这个比值我们叫做这个构件的横向的应变
横向应变它也是一个无量纲的量
那么通过实验我们发现
如果构件材料处于线弹性范围的话
也就是说应力在比例极限范围之内的话
应力应变是线性关系的话
那么我们发现
这个纵向应变和横向应变有确定的比例关系
这个现象是由谁总结出来的
是由泊桑先生总结出来的
所以我们就把它叫做泊桑比
那么我们看到了横向应变
ε'与纵向应变它的绝对值
比值的绝对值我们就定义为泊桑比记成ν
如果我们把这个绝对值去掉
显然这个纵向的应变是伸长的话
是大于零的话
那么横向它就是收缩的
所以绝对值去掉的话
那么这里就应该加一个负号
这就是泊桑比
那么我们把这种现象也叫做泊桑现象
泊桑效应
好 我们在做材料的力学性能实验的时候
我们可以看到
当材料的应力在比例极限范围之内的时候
我们说它的应力和应变是呈线性关系的
我们可以把这种线性的比例关系
记成一个数值记成E
这个E我们就叫做这个材料的它的弹性模量
或者我们称之为杨氏模量
young这个外国人的姓氏
是有这个young这个姓氏的
由他总结出来
所以我们也管它叫做杨氏模量
那么这个关系我们就管它叫做什么呢
叫做胡克定律
胡克定律
显然这里的这个弹性模量E
它的物理意义是什么σ=E·ε
那么E显然就应该等于σ/ε
那就说明的是什么
这是变形这是应力
单位变形所需要施加的力
所以这个时候我们再换一种写法
那这时候应变应该等于
可以看到应力比上弹性模量
所以更加清晰的可以看出来
弹性模量的物理意义就是什么
抵抗变形的能力
由于应变是一个无量纲的量
所以弹性模量
它的单位就跟应力的单位是一样的
比如说Pa MPa GPa这样的单位
我们书上我们教材上列出了一些
常见材料的弹性模量
还有泊桑比应该是多少
像我们一般说的低碳钢
那么这种材料它的这个弹性模量
可能就应该是200个GPa左右
那泊桑比可能从0.25到0.3左右
应该是这个范围
有了胡克定律
我们说我们就可以来计算杆的变形量了
首先我们来看等直杆
这个等直杆我们可以看到
好比说它的长度是l它的横截面积是A
两端受有拉力
那么这个时候我们来看一下
它的应力我们可以算出来是F与面积之比
对吧与A之比
应变呢我们讲它就是受拉以后它的变形量
好比说我们记成△l比上它原来的长度l
这就是应变
我们把应力和应变带到胡克定律里面去
因此我们可以得到这样的一个关系
应力等于弹性模量乘以应变
带进来就有这样的关系
因此我们可以得出来这个等直杆它的变形量
我们可以看到就可以算出来△l=Fl/EA
啊就这样可以计算出来了
那么我们来看一下
大家感受一下
对于这个等直杆
如果我们给它的拉力越大的话
显然它的那个伸长量应该是越大的是吧
所以跟这个拉力是成正比的
如果它的长度长的话
大家想一想如果给你一个皮筋
一个皮筋是这么长的
一个皮筋是这么长的
你就是这么轻轻的一个力作用上面
你说哪个伸长量大
没错
长度大的伸长量较大
是吧那么如果这个材料非常好
那么也就是弹性模量比较大
因此那你受同样力的话
那它的变形
肯定就比较小
所以它在分母上
如果这杆
它不是很细
它比较粗的话
那么我们讲也不容易
你作用力以后也不容易让它变形
所以它在分母上
所以这种感受
跟我们这个公式完全是一致的
那么我们在力学上
有的时候我们可以看到了
这个EA要增加的话
那同样的力
同样长度的话
那么这个时候变形量是小的
我们在力学上就把这个EA叫做拉压杆的刚度
拉压杆的刚度
是这样子的
好了
我们再做一些讨论
那么我们把刚才那个公式我们换一种方式来写
F=EA/l·△l
大家想想
物理学里边
如我们碰到弹簧
那这个弹簧变形以后这弹性力怎么算的
那等于弹簧的它的劲度系数
和这个弹簧的变形量的乘积
我们把这两个式子做下比较的话
同样这是变形量
这是变形量
那么显然弹簧劲度系数
那么对于我们拉压构件而言是什么
EA/l
这就是类似于弹簧的那个弹性系数
那么我们在静力学也好理论力学也好
我们看过那么多的说各种这种弹簧
但是在工程实际里边
到处都是这样的弹簧吗
我们说不是的
工程实际里面可能看到都是各种的这种杆类
那么我们怎么转化成这样的一个弹簧的
转换成弹簧模型
那么这个时候就相当于弹簧的劲度系数是什么
对了
就是这个EA/l
工程上没那么多到处是弹簧
一定是这样的杆类的东西
那么它的弹性系数
就是EA/l
可以看到材料也好
横截面积越大的话
那么它的刚度是越好的
那么它越长的话
它的刚度是越低的
是这样的一个情况
好 这样一比较的话
那么我们可以看到了
k=EA/l
那么我们就称之为杆的刚度
杆的刚度
显然是什么
它是这个杆单位变形所需要施加的力
单位变形所需要施加的力
这样的物理意义
那我们反过来来看
它的倒数
刚度倒数
我们定义为这个杆的柔度
我们记成f
就是l/EA
也就是(△l)/f
大家来看它的物理意义是什么
就是单位力所引起的变形是多少
它越柔软的话
那这个变形肯定就是越大的
那么这就是我们讲的拉压杆的刚度
和它的柔度应该是怎样的
如果我们看到的这个等直杆
它是由不同的材料连接而成的
比如说这一段
它的弹性模量是E1
这一段它弹性模量E2
这一段弹性模量是E3
那这样的一个杆
那它的这个整体的变形量应该怎么算
这时候我们也可以看到外力在这儿有
在这儿作用
在这儿作用
每一段的轴力
它也是不一样的
但是如果我们
就看每一段每一段每一段的话
那么跟刚才我们分析的结果是一样的
所以整个杆的这个伸长量
就应该是什么
每一段每一段每一段
它的这个变形量的一个累加
因为是线性系统
当然我们可以叠加起来
我们来看一下
第一段的变形
加上第二段的变形
加上第三段的变形
等于整个构件的它的变形量
每一段轴力Fi
长度li
弹性模量Ei
当然了大家的这个横截面积都是一样的
是A
所以把每一段的计算出来
叠加起来就可以了
那这还是一个等直的情况
如果我们碰到的这个杆子是一个什么
是个变截面的直杆的话
大家来看
这样的一个变截面的直杆
那么它的载荷
也是这样的一个分布的一个状况
我们怎么来算
别忘了我们学高等数学
我们学到的最大的本事是什么
对 就是微元法
我们这个时候呢
就在x位置的时候
我们取这样一个dx这么长的一个微元
我们把这个微元拿出来
由于dx足够小
所以它的横截面积
我们认为基本上这一段来讲都是一样的
都认为是A(x)
那么这一小段的话
就可以认为是一个等直杆了是吗
那么这个等直杆
那它的轴力是多少
我们认为就都可以是F(x)
是吧那么对于这一小段而言
按照我们刚才的那个公式
怎么来算它的变形
我们可以看到它的轴力是F(x)
是吧乘以它的长度
这段长度是多少
是dx
除以弹性模量
除以横截面积
好了
那这个是
伸长量是代表得多长的杆段的伸长量
是dx这么长的
所以这个伸长量是什么呢
我们可以看到应该是什么
是整体的△l吗
显然不是
它也是一个什么
小量微量
d(△l)
所以对于这样的一个连续变化截面的
这样的一个直杆
那么它的整个的伸长是多少
显然就是要怎么样
沿着整个杆给它怎么样
每个微段的变形的什么
要进行求和
求和数学上是什么意思
积分
因此我们可以看到
这是d(△l)
因此我们可以得出来
△l=∫ 0 l (F(x))/(EA(x)) dx沿着整个杆进行积分
就可以算出来了
这就是我们今天介绍的知识点的内容
泊桑比的概念
胡克定律
以及由胡克定理推导出来
拉压杆的变形量的计算公式
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业