欧拉公式的适用范围，临界应力与长细比，经验公式 在线视频

各位同学大家好

各位同学大家好

各位同学大家好

今天我们开始学习

有关压杆稳定性欧拉公式的适用性问题

以及相关的例子

以及相关的例子

我们说只要材料它处于线弹性范围

欧拉公式就可以适用

欧拉公式就可以适用

因为我们这里边要讨论它具体的

线弹性范围之内也就是比例极限范围之内

线弹性范围之内也就是比例极限范围之内

所以我们要看一下所谓的临界应力

所以我们要看一下所谓的临界应力

所以我们要看一下所谓的临界应力

以及构件它到底是处于什么样的状态

它可能会有稳定性的问题

它可能会有稳定性的问题

这就是我们现在先看的

所谓的临界应力与长细比的一些概念

我们在前面一讲的时候

我们在前面一讲的时候

我们已经知道了

我们已经知道了

压杆的临界压力就应该等于π方 EI/Le的平方

压杆的临界压力就应该等于

压杆的临界压力就应该等于π方 EI/Le的平方

我们可以给它写成这样的形式

我们可以给它写成这样的形式

我们可以给它写成这样的形式

π方E Ai方/Le的平方

这里小写的i就应该等于根号I比上A的平方

这个I我们知道是截面关于中性轴的惯性矩

这个I我们知道是截面关于中性轴的惯性矩

这个I我们知道是截面关于中性轴的惯性矩

所以这个小写的i

它是我们这里一个人为的定义

它是我们这里一个人为的定义

它是我们这里一个人为的定义

我们管它叫做横截面的惯性半径

我们管它叫做横截面的惯性半径

显然它的单位应该是米

显然它的单位应该是m

这样一来我们就可以得到

这样一来我们就可以得到

这样一来我们就可以得到

这个压杆儿横截面上的它的应力了

临界压力除以横截面积

我们讲就是所谓的临界的应力

我们讲就是所谓的临界的应力

把这个关系带进来

把这个关系代进来

把这个关系带进来

我们可以得到它就应该等于π方 E/λ的平方

这里的λ的平方显然就应该等于

等效长度与惯性半径的比

我们把这个称之为这个杆的它的长细比

我们把这个称之为这个杆的它的长细比

也称为杆的柔度

也称为杆的柔度

也称为杆的柔度

它显然是一个无量纲的量

它显然是一个无量纲的量

它显然是一个无量纲的量

那么在这里我们就可以看到那它越细长

那么在这里我们就可以看到那它越细长

显然它的这个时候的临界的应力

应该是怎么样的

应该是怎么样的

应该是怎么样的

应该是越小的

应该是越小的

也就是说它达到这个值越容易

也就是说它达到这个值越容易

也就是说它达到这个值越容易

也就是越容易失稳

也就是越容易失稳

是这样的概念

是这样的概念

现在我们来看一下

现在我们来看一下

临界应力等于

临界应力等于π方E/λ平方

那现在这个临界的应力和λ平方

它们是这样的一个关系

它们是这样的一个关系

大家想一想这样的一个关系曲线

大家想一想这样的一个关系曲线

是一个什么曲线

是一个什么曲线

是一个什么曲线

那么显然它是一个双曲线

那么显然它是一个双曲线

那么显然它是一个双曲线

这里我们就画出来几种材料

这里我们就画出来几种材料

它的这个长细比与临界应力的关系曲线

它的这个长细比以临界应力的关系曲线

第一个曲线我们可以看到是一种钢材

第二种我们可以看到是铝合金

第二种我们可以看到是铝合金

第三种是榉木

它的适用范围我们刚才已经提到了

应该是材料处于线弹性范围

应该是材料处于线弹性的范围

也就是应力不要超过什么比例极限

也就是应力不要超过什么比例极限

也就是应力不要超过什么比例极限

也就是说欧拉公式

也就是说欧拉公式

实际上是代表了这边的实现的部分

实际上是代表了这边的实线的部分

实际上是代表了这边的实现的部分

由此我们可以得到

由此我们可以得到

想要找到的欧拉公式

想要找到的欧拉公式

能够适用的一个这个地方我们可以看到

能够适用的一个这个地方我们可以看到

能够适用的一个这个地方我们可以看到

应该是最小的长细比

应该是最小的长细比

应该是最小的长细比

当这个时候更小的时候

当这个时候更小的时候

我们讲这个应力我们可以看到

我们讲这个应力我们可以看到

就超过了比例极限

就超过了比例极限

它就不适用了

它就不适用了

所以必须要使得这个构件

所以必须要使得这个构件

也就是所谓的这个压杆

也就是所谓的这个压杆

它的长细比要大于对应的这个值

它的长细比要大于对应的这个值

它的长细比要大于对应的这个值

那现在我们就来计算计算这个值应该是多少

现在我们来看

一个钢制的压杆

它两端是铰接的

它两端是铰接的

它的横截面是60×100毫米

它的横截面是60×100mm

也就是所谓的巨型的截面

也就是所谓的矩形的截面

以及这个材料的它的弹性模量是200个G帕

已知这个材料的它的弹性模量是200GPa

它的比例极限是250兆帕

它的比例极限是250MPa

它的比例极限是250兆帕

要求欧拉公式能够使用的杆的最小的长度

要求欧拉公式能够使用的杆的最小的长度

按照我们之前所讲的

按照我们之前所讲的

那么临界压力它出现在什么时候呢

那么临界压力它出现在什么时候

也就是说屈曲它是出现在什么时候

也就是说屈曲它是出现在什么时候呢

显然是在它横截面什么

显然是在它横截面什么

最小的这个惯性距的那个方向

最小的这个惯性矩的那个方向

所以我们这个时候算的这个惯性距就应该是

所以我们这个时候算的这个惯性矩就应该是

十二分之一百乘以六十的三次方

12分之100乘以60的3次方

所以我们这里的算的这个

关于中性轴的惯性矩应该是截面最小的那一个

关于中性轴的惯性距应该是截面最小的那一个

应该是沿着这样的一个轴

应该是沿着这样的一个轴

它是屈曲的

它是曲曲的

好那么我们带进来这个公式

好那么我们代进来这个公式

我们可以算一下这个截面的

我们可以算一下这个截面的

它的最小的惯性半径

带到公式里边

带到公式里边

I最小比上A把相关的数据带进去

同时注意单位

我们可以得到根号3乘以10毫米

这是我们得到的这个惯性半径

因此这个时候它的这个柔度

我们也可以计算出来

我们也可以计算出来

我们也可以计算出来

λ的平方就等于π方E/σcr

那现在σcr是多少

那现在σcr是多少呢

最多可以达到多少

最多可以达到多少呢

可以达到了比例极限250

可以达到了比例极限250

可以达到了比例极限250

这个时候对应的λ

这个时候对应的λ

我们讲应该是最小的

我们讲应该是最小的

我们讲应该是最小的

我们讲应该是最小的是吧

因此可以算出来派方乘以200G帕

因此可以算出来π方乘以200GPa

变成兆帕10的3次方250兆帕

变成MPa10的3次方250MPa

所以我们算出来800π方

所以我们算出来800π的平方

那因此我们根据λ的这个公式

那因此我们根据λ的这个公式

那因此我们根据λ的这个公式

由于它是两端铰支的这个压杆

由于它是两端铰支的这个压杆

所以它的这个μ就应该取1

所以它的这个μ就应该取1

所以它的等效长度还是它本身杆的长度

所以它的等效长度还是它本身杆的长度

除以这个I我们可以看到就是σ等于88.9

除以这个i我们可以看到就是λ等于88.9

它开方88.9

它开方88.9

所以这个时候我们可以得到了这个杆

至少要多少

至少要多少

88.9根号3乘以10等于1540毫米

88.9根号3乘以10等于1540毫米

88.9根号3乘以10等于1540毫米

也就是说我们刚才画得的那个临界应力

也就是说我们刚才画得的那个临界应力

和长细比的那个曲线

双曲线

双曲线

对应的这个比力极限的时候

它对应的这个长细比应该是多少

它对应的这个长细比应该是多少

而后再代到这里边

我们可以求出这个时候杆

我们可以求出这个时候杆

到底是多长以后

到底是多长以后

那么它才能够是用欧拉公式

那么它才能够适用欧拉公式

那么它才能够是用欧拉公式

来进行临界应力或者讲临界压力的计算

来进行临界应力或者讲临界压力的计算

由此我们可以得到了这L至少要多少

我们可以看到1540毫米

我们可以看到1540毫米

那么这个才能用欧拉公式来进行这个杆

那么这个才能用欧拉公式来进行这个杆

它的临界压力或者讲临界应力的计算

它的临界压力或者讲临界应力的计算

这个就是我们讲的这个例子

这种情况下

这种情况下

横截面上的应力是不会超过比例极限的

横截面上的应力是不会超过比例极限的

那么长度超过它

也就意味着这个压杆会以屈曲的形式失效

也就意味着这个压杆会屈曲的形式失效

也就是说丧失稳定性来失效

也就是说丧失稳定性来失效

接下来我们再来看所谓的这个经验公式

接下来我们再来看所谓的这个经验公式

我们来看这是那条

我们来看这是那条

刚才我们说的那条双曲线的公式

刚才我们说的那条双曲线的公式

如果要用欧拉公式的话

如果要用欧拉公式的话

应该是处于这个范围

应该是处于这个范围

它所对应的应力应该是什么

材料的比例极限

材料的比例极限

材料的比例极限

这个时候我们看到它是线性的

左边这个图我们讲了可以看到

左边这个图我们讲了可以看到啊

这就是材料的拉伸曲线

这就是材料的拉伸曲线

超过它它就不是直线了

它开始什么变成曲线了

这样的一个情况

这样的一个情况

这样的一个情况

这是我们所说的在这个范围的时候

是欧拉公式适用的情况

是欧拉公式适用的情况

那么我们看到了这个时候

它所对应的λ的最小值

是吧

那么我们可以来算一下这个λ最小值应该是多少

欧拉公式是适用的

欧拉公式是适用的

欧拉公式是适用的

那么σcr等于π方E/λ平方

这个时候对应的应该是临界应力应该是怎样的

这个时候对应的应该是临界应力应该是怎样的

应该对应了比例极限

所以这个时候λ

我们可以看到它至少应该是π方E比上什么

我们可以看到它至少应该是派的平方E比上什么

比例极限

比例极限

比例极限

那这个对应的这个λ

我们记成λ1

我们记成λ1

我们记成λ1

如果我们说一个实际构件

如果我们说一个实际构件

我们讲它的λ

等于

λ=Le/i

等于

λ=Le/i

也可以认为是什么

也可以认为是什么

也可以认为是什么

μL/i

如果我们算出来一个实际的这个压杆的

如果我们算出来一个实际的这个压杆的

它的这个柔度的话

它的这个柔度的话

它的这个柔度的话

我们就去来跟这个最小值λ1来进行比较

我们就去来跟这个最小值λ1来进行比较

如果它是大于λ1的话

如果它是大于λ1的话

也就说这个位置的话

也就说这个位置的话

也就说这个位置的话

那么在这个范围里边我们看到

那么在这个范围里边我们看到

显然欧拉公式是适用的

显然欧拉公式是适用的

我们就可以用欧拉公式来计算

我们就可以用欧拉公式来计算

临界的压力或者讲临界的应力

临界的压力或者讲临界的应力

现在我们要看的是什么

现在我们要看的是什么

说如果现在我们算出来实际构件它的柔度

说如果现在我们算出来实际构件它的柔度

是小于刚才欧拉公式所适用的那个最小的那个λ

也就λ1的时候

也就λ1的时候

是在这个范围的话

是在这个范围的话

是在这个范围的话

那这时候怎么办

那这时候怎么办

那这时候怎么办

那这个时候我们说如果杆子

那这个时候我们说如果感知

它的λ是小于这个λ1的话

那么我们讲这个杆我们管它叫做中长杆

那么我们讲这个杆我们管它叫做中长杆

这个时候它的临界应力的计算的公式

这个时候它的临界应力的计算的公式

我们可以看到σcr等于π方Et/λ平方

我们可以看到

我们可以看到σcr等于π方Et/λ平方

那这个Et是什么意思

我们来看这个地方

这个时候就是已经超过了比例极限了

这个时候就是已经超过了比例极限了

那这个时候的ET就是指的它的这个

那这个时候的Et就是指的它的这个

那这个时候的ET就是指的它的这个

拉伸曲线的这个切线方向的对应的值

那么那个切线方向对应的值

我们管它叫做什么叫做切向模量

我们管它叫做什么叫做切向模量

就所谓的dσ/dε

我们把它记成Et

这个时候我们得出来的这个临界应力的这个曲线

到这里就变成这样的一种状况

显然它是一个什么上突的一个曲线

在实际计算的时候

由于涉及到这个Et的问题

这是一条曲线

计算比较麻烦

所以在工程上我们会对它进行一个简化

就是所谓的经验公式

这个简化是怎么样

我们把这个曲线两端从这个地方到这个地方

我们以一个直线来近似的代替这条上凸的曲线

这样的处理我们讲它是偏于安全的

偏于保守的为什么

我们来看看这个地方

如果某一点的应力说是达到了这么大的话

在这个位置的话

那么我们就可以看到

实际上它还没有达到临界应力

但是如果我们按照经验的这条直线来看的话

说不行

它已经达到临界值了

已经要失效了不可以

所以这是一个什么

偏于保守的处理的方式

我们把它变成直线以后

那就好办了这就是一个什么

和λ是成线性关系了

那这个公式是什么样我们可以看到

临界应力就应该=a-bλ

它跟λ是一个线性的关系了

那这里的a和b我们说

是可以通过相应的这个手册查出来的

它是由实验所确定的

那么这个时候我们看到了

所谓的λ小于λ1大于λ2的时候

它是一个中长杆

要用这个经验公式来进行临界应力的计算

我们注意到这个时候

在这个位置的时候是λ1的时候

对应的是什么

是比例极限

而到了λ2的时候对应的应力是什么

要么是屈服应力

要么是它的强度极限

要看材料它是韧性的还是脆性的

所以这个时候我们就可以求得这个

相应的这个λ2应该是多少了

那么我们可以看到

对于λ2这一点

它对应的应力要么是σs

要么是σb

所以λ2我们也可以求出来了

那么这个是σs的时候

我们看到就对应了韧性材料

是σb的时候我们看到就对应的是脆性材料

那还有说这时候λ如果甚至连λ2都没有达到

比λ2还要小

我们说这种情况下

就是一个纯粹的强度问题

不会出现失稳

那这个时候我们看到杆件受压的时候

它的临界的应力就是对应的强度的这个条件

要么是韧性材料它对应了屈服应力

要么是脆性材料它对应了什么强度极限

所以我们可以看到

对于受压的这个杆我们首先是怎么样

我们首先要判断它到底是一个细长的杆

还是一个中长的杆

还是一个短粗的杆

是吧

就是计算

这个压杆的它的柔度到底是大于等于λ1

那么这个时候我们讲就用欧拉公式

如果是大于λ2

而小于λ1的话

那么我们讲它是中长杆

就用刚才的那个经验公式

如果它连λ2都达不到小于λ2的话我们说

不会出现失稳就是强度问题

这个大家以后计算注意

只要杆受压的时候

你就首先要想到它会不会有稳定性的问题

到底用哪个来进行临界应力的计算

要有一个λ的一个界定

我们下面来看一个实例

现在我们有一个木头的一个柱子

可以看到它受了压

这个木柱的横截面矩形的120乘200

支撑的情况也就是说两端的约束情况

我们看它在xy面里边

两端可以认为是铰支的

但是另外一个面90度方向

另外一个面我们看到两端是什么

是固定的

这个时候这个木材的它的弹性模量是10GPa

已经知道它的λ1

就是要小于100

我们来求一求这个木材制成的这个压杆

它的临界应力与临界载荷应该是多少

那现在我们就来看看有的同学说

唉好奇怪怎么会在这个面里边弯曲的时候

它就两端铰支

而在这个面里边弯曲的时候两端

怎么就变成固定的了

我们来看一个小小的例子

比如说这是一个什么

这是一个柴油机的一个连杆

这边和轴连接在一起

这是它的横截面积我们可以不用管它

好了大家想想

它和轴连在一起

它相对于轴是可以转动的

是吧

所以如果我们在这个方向来看的话

如果我们给它施加了压力的话

那显然这个轴这个地方可以关于这个轴是怎么样

是可以转动的

这个地方也是一样

所以在这个面来看的话

它如果要失稳的话它应该是怎样的

是不是这样的

失稳弯曲

那么这两端我们看到它是怎么样是铰接的

但是我们知道这个连杆它并不是一个薄薄的片

它是怎么样有足够的厚度的

如果有足够的厚度好比说这是那个轴

这是连杆的上端

它有足够的厚度的话

有足够的厚度的话大家想

我这个连杆能关于这个轴这样转动吗

显然转动不了

那这时候就相当于什么

那不就是我们所说的固定端的约束嘛

所以工程实际里边是有这种现象存在的

所以这点不用疑惑

现在的问题是什么

它到底是在这个面里这样子屈曲

还是在这个面里边

这样子屈曲

也就是说它是关于z轴弯曲

这个是关于y轴弯曲到底是在哪个面里边

是吧

那么这个首先得要确定出来

那么因为什么因为它是矩形的截面

关于两个中性轴的惯性矩它是不一样的

两端的约束也是不一样的

所以它在两个面里的它的柔度是不一样的

所以我们要判断一下

到底是在这个面里柔度大

还是在这个面里的柔度大

你一下能判断出来吗

判断不出来为什么

说这个约束强的话

但是它什么弱你想想它的中性轴是这个方向

对吧

它的高比较小它的宽比较大

是吧

所以关于中性轴的惯性矩又是小的

而在这个面里弯曲的时候

它虽然两端铰接约束弱了

但是你看关于中性轴这个轴

它的惯性矩又是大的

所以我们一下没办法判断出来在哪个面里的

它的柔度是比较大的

所以我们老老实实地算一算来做一个比较

那就是两个平面里边的它的柔度的计算

在xy面里边我们看到两端铰支

所以μ就应该是1没有问题

那么这个时候中性轴是哪个

我们可以看到中性轴就是y轴对吧

大家可以看得很清楚

这个方向尺寸比较小

这个方向尺寸比较大

也就是说这边是120这边是多少200

所以我们可以看到关于z轴的惯性矩

可以看到12分之bh的三次方

那么计算出来是多少

80乘10的-6次方米的4次方

我们来算一下惯性半径

这个时候我们可以看到Iz比上横截面积

代进去变成了米

所以120毫米0.12米

200毫米0.2米算出来

57.7×10的-3次方米

我们来算

这个面里的柔度

或者讲长细比λz=μL/iz

μL/iz

等于1乘7 除以57.7乘以1 0的-3次方算出来是多少

121

好这是我们说它在这个面里弯曲的时候

关于z轴弯曲的时候的情况

那我们还要看一下它在xz面里边的情况

在xz面儿里的时候我们看到两端是固定的

所以它的μ就应该等于0.5

而Iy就变成1/12

应该这是宽200毫米这是宽了

变成米0.2

而后高是0.12米

三次方

算出来结果是它

代到这个惯性半径的计算公式里边

我们可以看到根号Iy除以A

出来结果34.6乘以10的-3次方

我们再代到柔度的计算公式里边

λy=μL/iy

惯性半径

等于μ是0.5长是7米

这个时候我们看到

34.6乘以10的-3次方算出来是多少

101

显然这个时候λz是大于λy的

所以失稳是在xy面里边失稳

那这个时候失稳它是细长杆

还是中长杆还是短粗杆呢

已知条件已经告诉我们了它的λ1是小于100的

所以我们可以看到在这个面里边失稳的话

那λz是多少121

显然大于λ1

所以我们可以看到它就是一个什么

就是一个细长杆

直接可以就用的欧拉公式来进行计算了

所以临界的应力就应该等于π方E/λz的平方

我们把相关的数据代进去以后

同时注意单位这个E是10GPa所以10的9次方Pa

算出来结果是多少

我们可以看到6.73乘以10的6次方Pa

是6.73MPa

这是临界应力

如果换算成载荷的话

换算成压力的话

所以应力乘以横截面积

结果是什么我们可以看到是161kN

也就是对于一个大概是120×200

这样的矩形截面的这个柱子的话

那么那样的约束那个面是什么

两端固定的换一个方向看

两端铰支的话

这样的一个高七米的这样一个柱子

它要受到161kN的压力的时候

那它可能就会怎么样

就会丧失稳定性的

所以我们对它施加的压力一定要怎么样

要比它小

161kN大概就是多少

大概不到16吨这样的一个力

这个就是我们利用欧拉公式

进行的一个临界压力的计算的一个例子

下面我们再来看一个例子

说现在有空气压缩机

它的活塞杆是由45号钢来制成的

它的两端可以看作是饺支的

已经知道屈服应力

比例极限

弹性模量

还知道了经验公式

那个a和b分别是多少

还知道了这个活塞杆它的长度0.8m

它的直径42mm

最大的工作压力是42 kN

许用的安全系数是8

让我们来校核一下它的稳定性怎么样

就是这样的一个情况

有的同学可能就说了

说唉呀这个安全系数居然取了8为什么

别忘了这是什么我们看到了是什么

压缩机

压缩机的那个活塞你想想

如果这个活塞杆它要失效的话

那那个活塞就变成什么样了

里边是有压力的

它是不是就像炮弹一样就飞出去了

所以这种情况下是比较危险的

像炮弹一样飞出去打到谁

那不受伤甚至会怎么样命都没了

所以我们取的安全系数可以看到是比较大的

那现在我们来进行相关的计算

我们来看看这个活塞杆

它的柔度是多少

它到底是细长杆

还是一个中长杆还是短粗杆

是吧

我们再来进行相关的计算

首先计算它的柔度

那么计算柔度的话

那么我们要判断刚才说了是细长中长还是短粗

所以这个时候我们要根据已知的这些个它的什么

比例

极限

等等我们来确定这个λ1应该是多少

λ1就应该等于π方E/σp开方

那么我们把这个E=210GPa代进去

变成Pa 10的9次方

σp=280MPa所以10的6次方算出来是多少

是86

如果我们算的这个活塞杆

它的λ如果是大于λ1大于86的话

那它就是细长杆

是吧

那么我们来看一下

再来看这个λ2

a-σs/b

45号钢嘛它是韧性材料

所以把相关的数据代进去

得出来是多少62.5

所以实际的这个活塞杆

它的柔度如果是小于λ2的话

那它是什么呀那它就是短粗杆了

是吧

如果介于两者之间它就是什么中长杆

这是我们判断它是哪种杆的依据

那现在我们就来看这个活塞杆

它的惯性半径应该是多少

看到圆截面

它的关于中性轴的惯性矩

我们可以看到64分之πd的4次方

它的横截面积当然4分之πd的平方

算出来4分之d是多少4分之42

10.5毫米

这时候我们可以算出它的柔度

两端铰支嘛μ是1所以就是L比上小i应该等于

它的长度比上这个惯性半径10.5 76.2

显然这个时候我们可以看到这个活塞杆

它是属于中长杆

是吧

它是小于86的对吧

但是大于什么λ2的

所以它是一个中长杆

计算它的临界应力

我们就要用到那个经验公式了

它就应该等于a减去bλ

把a和b代进来

同时把λ也代进去

算出来是多少265.3MPa

那对应的加在上面的这个力是多少

我们可以看到最多可以加的压力是多少

就是临界的压力

是吧

临界应力乘以面积算出来

把面积代进去算一下

结果是什么367.6kN

而现在它工作的时候这个压力实际的值是多少

刚才已经给我们了

是吧

那么我们看看这个稳定性够不够

极限值是367.6

而我们现在所使用的这个工作的这个力是多少

是42

这安全的余量有多少

所以实际的安全系数两者之比

我们可以看到等于8.75

而允许使用的这个值是多少呢

规定的就是说是8

你达到了8那就OK了是吧

所以我们可以看到已经超过了8

所以我们说稳定性没有问题

它不会失稳

而且它还有足够的安全的余量

这个就是我们看到一个活塞杆受压以后

那么它的这个稳定性的一个校核

这里边涉及到它是一个什么

是一个中长杆的

我们用经验公式来对它进行的分析计算

各位同学

今天我们介绍的欧拉公式的适用范围

就给大家介绍到这里

谢谢大家