图解法-莫尔圆 广义胡克定律在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习材料力学

有关应力变换的图解法和广义胡克定律

首先我们来看看二向应力状态分析的图解法

在上一个知识点的时候

我们已经得到了斜截面上的应力

由这个7-1式子来表示

这个时候我们讲的斜截面的位置呢

它是和原始的以x轴为法线的

那个截面开始算起的逆时针方向

转α角度的那个斜截面的位置

这个时候我们看到这个公式里面都是什么

2α

也就是说这个时候

应力变换结果它是以2α为参量的

现在我们做一点小小的变换

我们把所有与α有关的项

我们依然留在等号的右端

和α无关的项我们可以移到左端去

这个时候我们来看看

就得到了下面的两个式子

大家注意一下这一项和这一项

以及这一项和这一项的关系

有人就想到了

说那么我们来做一个运算

也就是说第一个式子求平方

第二个式子两端也做平方的运算

那大家看看这一项平方和

这一项平方和是什么

这一项和这一项呢

还有这两项两倍的乘积

这时候一减一加一负一正

所以我们可以看到

就得到了下面的这个结果

那这个时候我们再来看看这个σα τα

这个呢，我们看到是什么

对于一个确定的应力状态

我们说这个时候σx σy

以及τxy相应来讲它就是一个确定的量

那这个时候σα和τα呢

就是随着α在变化的

它是一个变量

因此这个式子就表征了

在σα和τα为平面的上面的一个什么

对了

它是一个圆

是吧

那么这个时候你任何一个斜截面上的正应力

剪应力都是这个圆上的一个点

那么这个圆我们可以看到

它的半径的平方的呢就是等号右端的这个值

而它的圆心的位置

从这里我们可以看到应该是什么

（（σx+σy）/2 ,0）

那么我们把这样的一个圆就称为应力莫尔圆

显然

我们根据刚才的那7-1那式子

可以看到它就是以2α为参变量的

换句通俗的话来讲

就是说

如果我们想求得斜截面它这个位置

是在单元体上是由α角来确定的话

那么这个时候它在应力圆上

相应的这个位置就应该变了多少呢

变了2α

这个2α是指的什么

是指的圆它的半径线转了多少角度

那么也就是说对应的是圆心角变化了多少

好

接下来我们就来画一画这个应力圆

这是初始的单元体

我们可以看到σx σy以及τxy已经知道了

那么显然这个

它也是应该在应力圆上的一个点

那么我们就把这个面上这个面作为初始的位置

它的坐标值（σx ,τxy）

就是应力圆上的一个点

所以我们建莫尔圆的时候就方便了

首先

我们就要选择一个合适的一个图幅

用合适的比例尺建立σ-τ坐标系

好

那第二步呢

就是要确定A点的位置

就是这个（σx,τxy）

还有我们刚才已经得到了

这应力圆的圆心在哪里呢

((σx+σy)/2,0)

在这个地方

那么我们可以确定这个圆上的两个点

这是A点

这是C点

那么A点我们讲呢就是这个面上的应力

肯定也是应力圆上的一个点

而这个

((σx+σy)/2,0）

是吧

是C点

就是应力圆的圆心

显然

C到A就是这个圆的半径

我们就以C为圆心

以CA为半径

我们可以把这个圆画出来

画出来有什么好处

我们在这个图上其实可以读到很多的信息

可以读到

我们可以看到

这点是什么

它的这一点的坐标就是(σ1,0）

也就是说这个位置对应的

那个截面上的它的剪应力是得0的

那就是说这个应力

你在这个圆上也可以看到

是什么

正应力的最大值

所以它是主应力

我们把这个主应力

是最大值

记成σ1

同样的

这边这个

它的坐标值的剪应力也是零

所以代表的这个面上的

它的应力只有正应力σ2

所以它也是主应力

显然我们看到它是什么

正应力的最小值

我们讲通常给它记成σ2

在这个圆上我们还可以看到哪里呢

还可以看到这一点和这一点

对应的是什么

剪应力的最大

剪应力的最小

在这个圆上我们全都把这些信息读出来了

是吧

读读坐标值就Ok

那现在有的同学就说了

说那这个时候这个主平面的位置在哪里啊

我们说这个应力变换的式子

刚刚已经说了是以2α为参量的

也就意味着这个时候

在单元体上所对应的是α关系的话

到应力圆上就是应力圆上的圆心角

对应了2α的关系

所以我们可以画出从起始位置圆心角

到这个第一主应力

也就是这个主平面的它的方位关系

是吧

我们在这儿

圆心角可以看到是2α1

所以在斜截面上就跟原始的

这个截面位置差了多少

就差了α1的角度

那么我们还可以证明出来

在这个地方开始到了这个主平面的位置

圆心角

应力圆上圆心角

它是转了 可以看到

顺时针的2α1

那么在单元体上也是一样

这个关系也应该是顺时针方向转了多少呢

转了α1

因此我们就可以得出来

这个时候主平面的它的位置了

我们可以看到

那么这个面儿和这个面之间的夹角

我们可以看到差了多少

差了α1

是什么方向

也是相对顺时针转过了这样的角度

方向是一致的

这个是可以证明出来的

没有问题

很容易证明

好

那现在我们就可以看到

这个主平面和最大剪应力面

我们在上个知识点的时候知道

它们之间是相差多少

45°

你看在应力圆上圆心角差了多少

double的关系

是吧

90°

没有错

这个关系都是一样的

现在我们可能就关心了

说如果我们想求任意一个斜截面

看看这个上面的应力是多大呀

比如说这个斜截面的位置是什么

可以看到它的法线方向和x方向之间

看到逆时针正方向转了α角度

所决定的这个斜截面上的应力是多少

对了

那么我们就要从起始位置这个A

就代表了这个面儿的应力

从它开始

CA起始位置

圆心角怎么样

相应的方向

这是什么

逆时针方向α角

在这儿相应的方向圆心角要转多少

要转两倍的α角

所以我们就得到了

这个时候对应的应力圆上的坐标值

那么我们把这一点的坐标值读出来

（σα τα）

我们说就是这个斜截面上的正应力和剪应力

你看用这个应力圆

那么我们讲求解这些问题是非常方便的

关键是什么

应力圆你怎么画出来

是吧

圆心的位置

起始位置

是吧

根据的是什么

根据原始单元体它的σx σy

以及τxy的值来确定的

所以这一点是很重要的

好

接下来我们可能就要来看一看

三向应力状态是怎么样的

相应的应力圆我们怎么样来画

我们可以两两方向

这样子按照平面的应力的变化

来求出它的对应的两个主应力

比如说我们求出来的某一个应力状态

它的三个主应力如图所示

那我们能不能两两画出平面的那个应力圆

我们说没有问题

如果我们假设σ1>σ2>σ3>0

也就是说三个主应力从1到3

是从大到小这样排列的话

而且都是大于零的话

那么我们可以看到σ1和σ2之间

我们可以看到它应该能够做一个应力圆

为什么呢

因为这一点

它是主应力

剪应力为零

所以它在这个σ轴上

同样的σ2呢

它也是主应力

也在这个σ轴上

这两个应力我们可以看到

显然是在应力圆的直径线上

因此我们看到这就是直径

所以画出应力圆

而后这个是σ2和σ3

也在直径线上

我们也可以画出一个应力圆

同样的σ1和σ3也在直径线上的两个点

我们也可以画出应力圆来

那有的同学说

老师怎么是在直径线上

你想想这个主应力这个面

你可以看到它是怎么样呢

两个面是垂直的

那么它们之间的夹角

面的夹角是90度的话

那你在应力圆上不就差了多少

180度

那不就直径线上

所以没有问题

好了

那你来看看最大剪应力是哪一个

如果你只看到这个应力圆的话

说最大剪应力是这儿吗

如果你看到这个应力圆的话

对吧

那最大剪应力是在这儿吗

显然都不是

而是什么

由那个最大的那个主应力

和最小的主应力构成的这个应力圆

在这儿

我们看到这个半径值

是真正的最大的剪应力的值

那它在哪个面上呢

是吧

我们来看一下

我们可以看到

这是什么

我们可以看到σ3

这是什么

σ1

这个方向看过去

这个方向我们可以看到这是什么

σ2

中间应力

这个呢

我们可以看到是哪个方向看过去

我们看到这是什么

σ1

这是σ3

这是σ2

这个呢

σ1 σ2

这个方向是σ3

显然

刚才我们通过两两的应力圆画的结果可以看到

应该是最大剪应力应该是等于最大的主应力

和最小的主应力差的一半

那个最大剪应力应该是跟主平面呈45度方向

是吧

所以我们可以看到

如果你这样来看的话

两两应力圆可以看到

45度方向

真正出现最大的剪应力的面儿是谁呀

是由σ1和σ3所决定的那个45度斜截面

看到有两个

就是这个和这个方向

这个是你只有这两个主应力的话

那第三个主应力没有的话

所决定的45度斜截面

如果全体考虑三个方向都有主应力的话

一定是什么

一定是这个决定的45度的斜截面

接下来我们给大家介绍一下广义的胡克定律

大家来看下面的例子

如果我们对一个单元体

只沿着x方向作用了这样的正应力的话

那么我们可以看到它处于单向的拉应力状态

所以我们可以运用胡克定律

来求出x方向上的它的正应变应该是多少

是吧

按照胡克定律

εx等于σx比上弹性模量E

好

现在我们说这个单元体上

是在哪个方向作用了应力啊

只在y方向作用了拉应力

它也是单向的应力状态

我们现在关心的不是这个方向的应变是多少

依然关心的是什么

x方向的应变

我们在前边拉压问题的时候

我们就已经讨论过了

这个方向如果伸长的话

那它的横向是怎么样的

横向是收缩的

对

有泊桑效应

所以这个方向的应变我们可以看到

就应该这个方向的应变

再乘上一个泊桑系数

这个方向是伸长的话

当然这个方向就怎么样

就缩短了

所以有一个负号

这是泊桑效应

同样的

如果我们只在z方向上作用

有这样的拉应力的话

在x方向上的它的正应变和这儿是类似的

结果也有一个泊桑效应

那么我们可以看到它引起的x方向的应变

现在

如果说在x方向 y方向 z方向

同时作用了这样的拉应力的话

那x方向上的正应变是多少

我们来看看

首先我们来看它需要有一个前提

是什么

我们假设这个材料

第一

线弹性的

第二各向同性的

那么我们就可以应用叠加原理了

把三者怎么样呢

直接叠加起来就Ok了

所以我们可以看到

εx就应该等于σx/E-vσy/E-VσZ/E

同样的

这种情况

大家想想

在y方向和z方向的这个正应变就变成多少

所以同理我们可以得到了下面这两个式子

是吧

同样的道理

好

那么如果我们再考虑到

它受了剪应力之后

还会产生剪应变的话

我们还有如下的三个式子

不同方向的剪应变

那么上述的一共加起来六个式子

我们称之为广义胡克定律

全面的描述了一点的应力和应变之间的关系

由广义胡克定律我们可以看到是什么

只要一点的应力状态它不是单向应力状态

比如说二向 三向

那么这个时候它的应力和应变关系

就应该由广义胡克定律来决定

除非是单向应力状态

就是胡克定律

应力等于什么

等于弹性模量乘上应变

或者讲应变等于应力比上弹性模量

那是单向应力状态

只要非单向应力状态

一定是广义胡克定律所决定的这应力应变关系

所以为什么我要让大家画单元体

就是让你来判断

那么它处于什么样的应力状态

对它进行相应的分析的时候

到底是用胡克定律还是广义胡克定律

好

这就是我们介绍的广义胡克定律

接下来我们就利用它来求解一个问题

我们来看这个例题

还是我们之前讨论的

那个薄壁的圆筒的压力容器

材料还是相同的

内压也是一样的

尺寸也是一样

只不过现在告诉我们还有这个泊桑系数

是0.25

要求一求这个压力容器在那样的内压的作用下

这个容器它的直径改变了多少

在那个例子的时候我们已经看到了它会有什么

有环向的应力

还有什么

轴向的应力

是吧

处于二向的应力状态

所以这个时候应力应变的关系

就应该用广义的胡克定律来决定

那么我们来看一下直接把上次我们求得的

两个主应力直接拿过来用就行了

现在我们看

说要求直径的改变

那你想直径的改变是什么

显然应该是什么

肯定是环向的尺寸改变了

所以直径怎么样

会发生变化

是吧

那么这个就跟环向的应变是怎么样呢

是有关系的

所以我们来求一求环向的应变应该是多少

由于是二向应力状态

所以我们用广义胡克定律来求求环向的应变

环向是什么方向啊

就是1的方向

那么我们用广义胡克定律

ε1就应该等于σ1/E-vσ2/E

第三个方向我们说了

只有内壁那个地方会有内压

而且还是比较小的

所以我们那个都是忽略不计

按照二向应力状态来处理

所以第三个方向那个不用算了

应力是0

把这些数据

已知的这些数据代进去

同时注意单位的一致性

那么我们可以算出来它等于0.35×10^(-3)

因为它是应变

当然了你可以认为它是米对米

毫米对毫米

都是可以的

这是这个应变

应变有了那怎么去看它的直径的改变

我们按着应变的定义来看看

假如说它的半径的变化是△的话

之前的它的半径我们讲是R

那现在半径变成多少了

应该是r+△

是吧

我们假设半径的改变是△的话

那现在半径的尺寸就变成什么

r+△

现在的半径变成这样的话

那你说它的周长现在是多少

显然就是要乘上2π

对吧

之前不受内压的话

那时候就应该是原长

是吧

原长多少

这一个周长2πr

因此这个周长改变了多少呢

所以我们讲就改变了这么多

再比上它原来的长度

这就是什么

这不就是环向的它的应变吗

长度的改变比上原长

这不就应变的概念嘛

所以等于什么

这就是我们所说的环向的应变

环向应变是多少这不已经求出来了吗

代进去就可以求得谁

就可以求得这个半径的改变是多少了

是吧

那么这时候△我们就可以算出来了

应变乘以半径

半径是多少呢

我们前面那个例子已经有了

说是1m

也就是一千个毫米

所以代进去求出来这是多少

0.35

单位也是毫米

是吧

毫米对毫米

那不就应变嘛

那半径改变了这么多

题目让我们求的是什么

直径的改变

不就double一下就完事儿了吗

这个时候我们可以看到

它的直径的改变就求出来了

直径变化了0.7个mm

就那么一点点

是吧

在这样的内压作用下这样的一个压力容器

这么大的一个压力容器

那么它的直径的改变

改变了0.7个mm

这个就是我们用广义胡克定律对它进行的分析

好

今天我们介绍了如何用图解法来进行应力变换

如何来画应力莫尔圆

在这个应力莫尔圆上面

我们可以读到很多重要的信息

主应力 最大的剪应力

对应的方位面在什么地方

都很容易得到

而后我们又分析了三向应力状态

最大剪应力那个面儿到底和这些主应力面之间

是哪个45度斜截面

而后我们介绍了描述一点的所有的

它的应力和应变关系的广义胡克定律

对于非单向应力状态

如果分析应变的话

那么我们必须要依据广义胡克定律

这些内容就介绍到这里

谢谢大家