应力，轴力与轴力图，杆横截面上的正应力在线视频

各位同学大家好

今天我们来介绍第二章的内容

构件的拉 压和剪切

我们首先向大家介绍应力和应变的概念

我们大家都有这样的一个生活的经验

如果我们看到一个大人和一个小孩

他们都背着一个大大的包袱的话

那么我们可能就讲

你怎么让小孩子背这么大的包袱呢

太不合理了

其实我们已经从生活当中

学会了应力这样的概念

也就是说

当我们评价一个构件它的承载能力的时候

我们不是按照它所承载的力的总量

来对它进行评价

一种科学的评价应该是看它单位承受了多少力

那么这样的概念实际上就是应力的概念

那我们现在来看一下这个应力的情况

所谓的应力

我们来看看

我们用截面法把这个构件我们给它截开了

那么我们可以看到在这个截面上

有若干的内力作用在上面

那现在呢

我们就对截面上△A那么一个小面积上的力

我们要看看它应该有多大

我们把它放大来看到这个地方

那么这个时候这个地方的内力△P

我们就沿着它截面的法线方向

以及截面里面两个正交方向给它进行了分解

分别记成△Px △Py △Pz

我们看一下这个小面积上

x方向作用的力的平均值

显然就应该是(△Px)/(△A)

这是这一小块面积上的平均值

那么怎么是变成了一点的它的应力呢

那么我们就是要让这个小面积

趋于无限小 取极限

我们看到了

我们就把它定义为构件在这一点处的

x方向的它的应力

同样的

我们把下面的两个极限值

分别记成这一点在y方向

这一点在z方向的应力

我们都给它记成τxx τxy τxz

这里边我们说

沿着截面法线方向的这个应力的分量

我们管它叫做正应力

而沿着面的切线方向的

与截面平行的方向的应力分量

我们管它叫做剪应力或者叫做切应力

对于正应力

我们就不再按照这个τ的形式来表示

通常对于正应力

我们以σ来表示

下标也不再写两个

而是直接就写成一个下标

那么在这里面

τxyτxz

第一个下标表示的是什么样的方位的平面

好比说第一个下标

这个τxy

第一个下标的这个x就是表示的平面的方位

它是以x方向为法线方向的这样的一个截面

而这里的第二个下标y

就表示了这个应力的方向

那么就是这个面沿着y方向的应力的分量

这是我们所定义的一点的应力

它的单位

可以看到实际上就是每平方米有多少牛顿

那么我们给它记做Pa

在工程应用上

这个Pa的单位往往就觉着太小了

我们有kPa

kPa觉着还是不够大

我们通常用的是MPa

甚至我们要用到GPa

这个kPa大家知道是十的三次方Pa

MPa呢

就是million

就是十的六次方Pa

GPa就是十的九次方Pa

这是我们国际单位制里面

统一用到的这个应力的单位

接下来我们给大家介绍一个概念

就是所谓的等直杆的概念

等直杆就是指的具有相同的横截面的直杆

我们就管它叫做等直杆

我们再来看

对于一个受拉压的构件

那么它横截面上的内力是怎样的

就是所谓的轴力

以及我们要看这横截面上的这个轴力

在不同的位置处的它的变化的情况

我们画出这样的图就叫做轴力图

拉压构件的内力我们说叫轴力

就是截面上沿着构件的轴线方向的内力

就是轴力

我们下面以一个例题

来给大家介绍怎么样求

横截面上的轴力以及怎么样画出轴力图

大家来看

我们现在这儿有一个等直杆

在左端截面、右端截面

以及在中间这个B截面这个地方

分别作用了P1P2P3这样的外力

那么我们需要现在求出在1-1截面

和2-2截面的它的轴力应该是多少

这时候我们已经知道了

P1=15kN

P2=10kN

P3=5kN

好

我们在上一章已经给大家介绍过

求构件内力的方法就是用什么

对

截面法

好了那么我们就用一个假想的截面

沿着我们感兴趣的地方

1-1截面位置

把整个构件需要给它一分为二

那么我们比如说现在我们研究截出来的左半段

从这儿我们可以看到

外力就是左端面作用有P1

那么在这个1-1截面上

那它的轴力我们假设成是什么

是向外法线方向的F1

这个时候我们可以根据平衡方程

求出F1应该是多少？那么根据平衡方程

沿着轴线方向所有力投影的代数和应该等于零

因此我们可以看到F1+P1=0

得出来F1=-P1=-15kN

好啦

那这时候你要跟别人去解释

说这个轴力是什么方向

得出来-15kN是什么意思

我们知道它意味着

我们假设的这个F1的方向

和实际的方向是反的

也就是说

它是沿着内法线方向的

这时候我们要跟大家解释说

你如果沿着1-1截面截了这个构件

你研究它的左半段

这个时候在这个截面上它的轴力呢

是沿着内法线方向

是指向这个构件的

你觉得这样啰嗦不啰嗦

所以我们就对这个轴力的正负有了一种规定

也就是说

如果这个轴力

它是沿着截面外法线方向的话

那么我们就把这个轴力规定为正

反之沿着内法线方向

我们就把这个轴力规定为负

所以我们得出来这里-15kN

那么人家大家其他人就一下就都知道了

这个轴力它是内法线方向的

也就意味着构件在这个地方它是受什么

对了是受压的

有的同学说老师那

那我们这个时候研究左半段的话

我们习惯是怎样的

我们习惯是这样根据它的这个平衡的状态

说这边是有外力P1

那按照平衡的感觉

那这个截面它又是怎么样呢

这个受力就应该向内法线方向啊

那如果我们按照平衡方程

这个时候求出来这个力的大小是多少

显然就是什么

15kN

不就直接求出来了吗

但是这个时候我们一定要注意

这时候求出来的它是什么

它是沿着内法线方向的

按照我们在这儿轴力的正负的规定

你还需要进行二次判断

它是负的

所以我们给大家的建议是什么呢

我们在求这个截面轴力的时候

我们就按照它的正方向来假设

那这个时候我们求出来是正

它就是正

是负就是负

是负就意味着它是受压的

这是给大家的建议

这样可以省去我们的二次判断

好

那么接下来我们还要看什么

看2-2截面上的它的轴力是多少

我们依然用截面法截出来

好比说我们还是要研究它的左半段

那这个时候除了左端有P1作用

这时候B截面上还有向左方向的P2作用

我们看到在

右边这个截面上按照正方向来假设它的轴力

根据平衡方程

所有的力沿着轴线方向

投影的代数和等于零

所以我们可以看到

F2+ P1- P2=0

所以把数值带进去以后

我们很快可以得出来F2=-5kN

那也就是说

它这个地方实际的方向它是什么

是内发法线方向的

它这个地方应该是受压的

所以我们一下就可以看出来

它的实际的状况是怎样的

好啦

题目要求我们

不仅要求1-1截面2-2截面的轴力

我们还要画出它的轴力图

也就是轴力沿着杆件横截面变化的情况

大家想

在A截面和B截面之间没有其它的外力了

那么因此呢

你这个1-1截面是在这儿也好

在这儿也好

那得出的结果都应该是相同的

所以在AB之间的轴力就是

我们刚才求出的F1

而后呢同样的道理

从B到右端这个截面之间也没有

外力作用在上面

所以我们2-2截面截出来

是在这截还是在这截

那么得出来的内力也都是一样的

都是多少

都是-5kN

因此我们可以画出它的内力图

我们在这个平面上

我们选择一定的比例建立了这样的坐标系

横坐标表示轴线的方向

纵坐标就是轴力的大小

然后我们把每一段的轴力是多少画出来

那么把值标上去

同时把正负指示出来

那么这个

一个漂亮的轴力图我们就画完了

当然啦

我们在研究的时候也可以研究什么

研究右半段

毫无疑问

那么这个轴力的正负的规定

也是符合作用与反作用关系的

所以我们研究右半段的话

那它的结果也都是一样的

现在再次强调

给大家的建议

就是以外法线方向

以拉的方向来假设截面上的轴力

这样

分析计算的过程

我们可以省去二次判断

比较简洁

接下来

我们来看一下

内力求完了

那么这个杆横截面上的

它的应力到底应该是多少

这就是我们接下来要介绍的

直杆横截面上的正应力

首先我们来看一下

这个直杆的例子

我们这是一个等直杆

为了观察它受拉以后

它变形的状况

我们在它的表面上

大家可以看到环向的

这样也就是沿着横截面的位置

我们画了很多的这样横向的这样的线

同时我们沿着轴线方向的平行方向

也画了很多的这样的纵向的线

在表面形成了这么样的

很多的这样的网格线

当两端作用有拉力的时候

我们观察到的结果是怎样呢

大家可以对比一下可以看到

我们发现这些横截面方向的

这些环向的这些线

还是怎么样呢

跟以前它的方位还是一样

还是这样子的

只不过是什么

只不过它每一段

每一段之间它的距离

比这个时候的距离变得稍稍地伸长了

而这些纵向线还一直和轴线是怎么样呢

平行的

根据我们实际的实验观测到的现象

我们可以大胆地猜测

在这样受拉情况下

这个构件的横截面

它的内部的各个点

可能跟外表面上这些点是类似的

是整体的可能随着横截面一起运动了

这个就是我们著名的所谓的平面假设

横截面受拉或受压之后

它依然保持为这样的一个整体的一个面

它整体的一起这样地运动

这就是平面假设

下面我们来看看这个等直杆横截面上的应力

由于它整个面依然保持为平面

所以我们就大胆地就认为

整个面上的应力它应该是平均分布的

均匀分布的

所以横截面上的这个正应力σ

就应该等于轴力与横截面积之比

这样的平均的值

那么我们再来看看

说现在不是一个等直杆了

变成什么样了变成一个变截面的直杆

下面我们看到作用的

这个外力也是随时在变化的

这时候我们可以看到这个外力呢

是这样的分布这样作用的

好啦

那么我们来看看x位置的横截面上

它的应力应该是多少

还是按照平均值来算

x截面上的它的轴力F（x）

x位置的横截面的面积A（x）

所以两者之比就是x位置处的截面上的正应力

这是变截面的这个时候的应力的情况

我们都是按照平均值来对它进行计算

接下来

我们就来看一个例子

可以看到这是一个什么三角架

这个地方

这个地方和墙壁是铰接的

两个杆儿之间也是铰链连接的

这个时候我们知道杆AB是圆截面

它的直径是20mm

这个时候在B端节点处

作用有一个集中力Q是15kN

我们就要来求一求这个时候AB

这个杆横截面上的应力应该是多少

在静力学的时候我们已经知道

这实际上是一个什么

是一个最最简单的桁架

那么我们要求杆的这个受力的话

采用的要么是截面法要么是节点法

现在呢我们就来分析一下B节点

依然认为这个杆都是受拉的

这个时候我们看到AB杆受拉

这个时候BC杆受拉

好

这个时候载荷Q作用在这里

对于这个节点B

我们说整体平衡

当然节点也是平衡的

我们利用平衡方程

很快就可以把这个AB杆的内力就能够求出来

所有的力在竖直方向投影代数和应该等于零

因此

我们可以得到了

这个时候P=Q/sinα

我们就可以得到了这个P力

很简单

这个时候sinα

我们可以通过这个三角架的尺寸

很容易可以算出来0.388

带进去以后

得出来这个时候轴力是38.7kN

平均值就是横截面上的应力

而横截面的面积是多少圆截面

所以很快我们可以计算出来

这个时候横截面上的应力应该是多少

轴力除以横截面积

38.7kN

十的三次方

1/4πd2

毫米变成米

所以这有十的负三次方

平方

算出来

123乘以106Pa

可以看到Pa这个单位的确比较小

实际上就是123MPa

这个三角架AB杆横截面上的正应力

我们就求出来了

好

这就是我们今天介绍的知识点的内容

我们对截面上一点的应力做了定义

我们看到截面上一点的应力

有正应力和切应力之分

也就是截面法线方向的应力分量叫做正应力

和截面平行的应力的分量

我们称之为切应力

同时我们介绍了拉压构件横截面上

正应力的计算方法

它就等于轴力与横截面积之比

就是按照平均值来进行计算

这就是我们今天知识点所介绍的内容

谢谢大家