当前课程知识点:材料力学 > 第二章 拉伸、压缩与剪切 > 2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力 > 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
各位同学大家好
今天我们来介绍第二章的内容
构件的拉 压和剪切
我们首先向大家介绍应力和应变的概念
我们大家都有这样的一个生活的经验
如果我们看到一个大人和一个小孩
他们都背着一个大大的包袱的话
那么我们可能就讲
你怎么让小孩子背这么大的包袱呢
太不合理了
其实我们已经从生活当中
学会了应力这样的概念
也就是说
当我们评价一个构件它的承载能力的时候
我们不是按照它所承载的力的总量
来对它进行评价
一种科学的评价应该是看它单位承受了多少力
那么这样的概念实际上就是应力的概念
那我们现在来看一下这个应力的情况
所谓的应力
我们来看看
我们用截面法把这个构件我们给它截开了
那么我们可以看到在这个截面上
有若干的内力作用在上面
那现在呢
我们就对截面上△A那么一个小面积上的力
我们要看看它应该有多大
我们把它放大来看到这个地方
那么这个时候这个地方的内力△P
我们就沿着它截面的法线方向
以及截面里面两个正交方向给它进行了分解
分别记成△Px △Py △Pz
我们看一下这个小面积上
x方向作用的力的平均值
显然就应该是(△Px)/(△A)
这是这一小块面积上的平均值
那么怎么是变成了一点的它的应力呢
那么我们就是要让这个小面积
趋于无限小 取极限
我们看到了
我们就把它定义为构件在这一点处的
x方向的它的应力
同样的
我们把下面的两个极限值
分别记成这一点在y方向
这一点在z方向的应力
我们都给它记成τxx τxy τxz
这里边我们说
沿着截面法线方向的这个应力的分量
我们管它叫做正应力
而沿着面的切线方向的
与截面平行的方向的应力分量
我们管它叫做剪应力或者叫做切应力
对于正应力
我们就不再按照这个τ的形式来表示
通常对于正应力
我们以σ来表示
下标也不再写两个
而是直接就写成一个下标
那么在这里面
τxyτxz
第一个下标表示的是什么样的方位的平面
好比说第一个下标
这个τxy
第一个下标的这个x就是表示的平面的方位
它是以x方向为法线方向的这样的一个截面
而这里的第二个下标y
就表示了这个应力的方向
那么就是这个面沿着y方向的应力的分量
这是我们所定义的一点的应力
它的单位
可以看到实际上就是每平方米有多少牛顿
那么我们给它记做Pa
在工程应用上
这个Pa的单位往往就觉着太小了
我们有kPa
kPa觉着还是不够大
我们通常用的是MPa
甚至我们要用到GPa
这个kPa大家知道是十的三次方Pa
MPa呢
就是million
就是十的六次方Pa
GPa就是十的九次方Pa
这是我们国际单位制里面
统一用到的这个应力的单位
接下来我们给大家介绍一个概念
就是所谓的等直杆的概念
等直杆就是指的具有相同的横截面的直杆
我们就管它叫做等直杆
我们再来看
对于一个受拉压的构件
那么它横截面上的内力是怎样的
就是所谓的轴力
以及我们要看这横截面上的这个轴力
在不同的位置处的它的变化的情况
我们画出这样的图就叫做轴力图
拉压构件的内力我们说叫轴力
就是截面上沿着构件的轴线方向的内力
就是轴力
我们下面以一个例题
来给大家介绍怎么样求
横截面上的轴力以及怎么样画出轴力图
大家来看
我们现在这儿有一个等直杆
在左端截面、右端截面
以及在中间这个B截面这个地方
分别作用了P1P2P3这样的外力
那么我们需要现在求出在1-1截面
和2-2截面的它的轴力应该是多少
这时候我们已经知道了
P1=15kN
P2=10kN
P3=5kN
好
我们在上一章已经给大家介绍过
求构件内力的方法就是用什么
对
截面法
好了那么我们就用一个假想的截面
沿着我们感兴趣的地方
1-1截面位置
把整个构件需要给它一分为二
那么我们比如说现在我们研究截出来的左半段
从这儿我们可以看到
外力就是左端面作用有P1
那么在这个1-1截面上
那它的轴力我们假设成是什么
是向外法线方向的F1
这个时候我们可以根据平衡方程
求出F1应该是多少?那么根据平衡方程
沿着轴线方向所有力投影的代数和应该等于零
因此我们可以看到F1+P1=0
得出来F1=-P1=-15kN
好啦
那这时候你要跟别人去解释
说这个轴力是什么方向
得出来-15kN是什么意思
我们知道它意味着
我们假设的这个F1的方向
和实际的方向是反的
也就是说
它是沿着内法线方向的
这时候我们要跟大家解释说
你如果沿着1-1截面截了这个构件
你研究它的左半段
这个时候在这个截面上它的轴力呢
是沿着内法线方向
是指向这个构件的
你觉得这样啰嗦不啰嗦
所以我们就对这个轴力的正负有了一种规定
也就是说
如果这个轴力
它是沿着截面外法线方向的话
那么我们就把这个轴力规定为正
反之沿着内法线方向
我们就把这个轴力规定为负
所以我们得出来这里-15kN
那么人家大家其他人就一下就都知道了
这个轴力它是内法线方向的
也就意味着构件在这个地方它是受什么
对了是受压的
有的同学说老师那
那我们这个时候研究左半段的话
我们习惯是怎样的
我们习惯是这样根据它的这个平衡的状态
说这边是有外力P1
那按照平衡的感觉
那这个截面它又是怎么样呢
这个受力就应该向内法线方向啊
那如果我们按照平衡方程
这个时候求出来这个力的大小是多少
显然就是什么
15kN
不就直接求出来了吗
但是这个时候我们一定要注意
这时候求出来的它是什么
它是沿着内法线方向的
按照我们在这儿轴力的正负的规定
你还需要进行二次判断
它是负的
所以我们给大家的建议是什么呢
我们在求这个截面轴力的时候
我们就按照它的正方向来假设
那这个时候我们求出来是正
它就是正
是负就是负
是负就意味着它是受压的
这是给大家的建议
这样可以省去我们的二次判断
好
那么接下来我们还要看什么
看2-2截面上的它的轴力是多少
我们依然用截面法截出来
好比说我们还是要研究它的左半段
那这个时候除了左端有P1作用
这时候B截面上还有向左方向的P2作用
我们看到在
右边这个截面上按照正方向来假设它的轴力
根据平衡方程
所有的力沿着轴线方向
投影的代数和等于零
所以我们可以看到
F2+ P1- P2=0
所以把数值带进去以后
我们很快可以得出来F2=-5kN
那也就是说
它这个地方实际的方向它是什么
是内发法线方向的
它这个地方应该是受压的
所以我们一下就可以看出来
它的实际的状况是怎样的
好啦
题目要求我们
不仅要求1-1截面2-2截面的轴力
我们还要画出它的轴力图
也就是轴力沿着杆件横截面变化的情况
大家想
在A截面和B截面之间没有其它的外力了
那么因此呢
你这个1-1截面是在这儿也好
在这儿也好
那得出的结果都应该是相同的
所以在AB之间的轴力就是
我们刚才求出的F1
而后呢同样的道理
从B到右端这个截面之间也没有
外力作用在上面
所以我们2-2截面截出来
是在这截还是在这截
那么得出来的内力也都是一样的
都是多少
都是-5kN
因此我们可以画出它的内力图
我们在这个平面上
我们选择一定的比例建立了这样的坐标系
横坐标表示轴线的方向
纵坐标就是轴力的大小
然后我们把每一段的轴力是多少画出来
那么把值标上去
同时把正负指示出来
那么这个
一个漂亮的轴力图我们就画完了
当然啦
我们在研究的时候也可以研究什么
研究右半段
毫无疑问
那么这个轴力的正负的规定
也是符合作用与反作用关系的
所以我们研究右半段的话
那它的结果也都是一样的
现在再次强调
给大家的建议
就是以外法线方向
以拉的方向来假设截面上的轴力
这样
分析计算的过程
我们可以省去二次判断
比较简洁
接下来
我们来看一下
内力求完了
那么这个杆横截面上的
它的应力到底应该是多少
这就是我们接下来要介绍的
直杆横截面上的正应力
首先我们来看一下
这个直杆的例子
我们这是一个等直杆
为了观察它受拉以后
它变形的状况
我们在它的表面上
大家可以看到环向的
这样也就是沿着横截面的位置
我们画了很多的这样横向的这样的线
同时我们沿着轴线方向的平行方向
也画了很多的这样的纵向的线
在表面形成了这么样的
很多的这样的网格线
当两端作用有拉力的时候
我们观察到的结果是怎样呢
大家可以对比一下可以看到
我们发现这些横截面方向的
这些环向的这些线
还是怎么样呢
跟以前它的方位还是一样
还是这样子的
只不过是什么
只不过它每一段
每一段之间它的距离
比这个时候的距离变得稍稍地伸长了
而这些纵向线还一直和轴线是怎么样呢
平行的
根据我们实际的实验观测到的现象
我们可以大胆地猜测
在这样受拉情况下
这个构件的横截面
它的内部的各个点
可能跟外表面上这些点是类似的
是整体的可能随着横截面一起运动了
这个就是我们著名的所谓的平面假设
横截面受拉或受压之后
它依然保持为这样的一个整体的一个面
它整体的一起这样地运动
这就是平面假设
下面我们来看看这个等直杆横截面上的应力
由于它整个面依然保持为平面
所以我们就大胆地就认为
整个面上的应力它应该是平均分布的
均匀分布的
所以横截面上的这个正应力σ
就应该等于轴力与横截面积之比
这样的平均的值
那么我们再来看看
说现在不是一个等直杆了
变成什么样了变成一个变截面的直杆
下面我们看到作用的
这个外力也是随时在变化的
这时候我们可以看到这个外力呢
是这样的分布这样作用的
好啦
那么我们来看看x位置的横截面上
它的应力应该是多少
还是按照平均值来算
x截面上的它的轴力F(x)
x位置的横截面的面积A(x)
所以两者之比就是x位置处的截面上的正应力
这是变截面的这个时候的应力的情况
我们都是按照平均值来对它进行计算
接下来
我们就来看一个例子
可以看到这是一个什么三角架
这个地方
这个地方和墙壁是铰接的
两个杆儿之间也是铰链连接的
这个时候我们知道杆AB是圆截面
它的直径是20mm
这个时候在B端节点处
作用有一个集中力Q是15kN
我们就要来求一求这个时候AB
这个杆横截面上的应力应该是多少
在静力学的时候我们已经知道
这实际上是一个什么
是一个最最简单的桁架
那么我们要求杆的这个受力的话
采用的要么是截面法要么是节点法
现在呢我们就来分析一下B节点
依然认为这个杆都是受拉的
这个时候我们看到AB杆受拉
这个时候BC杆受拉
好
这个时候载荷Q作用在这里
对于这个节点B
我们说整体平衡
当然节点也是平衡的
我们利用平衡方程
很快就可以把这个AB杆的内力就能够求出来
所有的力在竖直方向投影代数和应该等于零
因此
我们可以得到了
这个时候P=Q/sinα
我们就可以得到了这个P力
很简单
这个时候sinα
我们可以通过这个三角架的尺寸
很容易可以算出来0.388
带进去以后
得出来这个时候轴力是38.7kN
平均值就是横截面上的应力
而横截面的面积是多少圆截面
所以很快我们可以计算出来
这个时候横截面上的应力应该是多少
轴力除以横截面积
38.7kN
十的三次方
1/4πd2
毫米变成米
所以这有十的负三次方
平方
算出来
123乘以106Pa
可以看到Pa这个单位的确比较小
实际上就是123MPa
这个三角架AB杆横截面上的正应力
我们就求出来了
好
这就是我们今天介绍的知识点的内容
我们对截面上一点的应力做了定义
我们看到截面上一点的应力
有正应力和切应力之分
也就是截面法线方向的应力分量叫做正应力
和截面平行的应力的分量
我们称之为切应力
同时我们介绍了拉压构件横截面上
正应力的计算方法
它就等于轴力与横截面积之比
就是按照平均值来进行计算
这就是我们今天知识点所介绍的内容
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业