平面应力变换在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习有关应力变换的相关内容

我们来看看平面应力变换的情况

我们说目的就是想求得

某一个面上它的应力是怎样的

现在呢，我们来看原始的单元体的情况

这是x方向

这是y方向

当然第三个方向就是z方向

原始的应力单元体

看到了

在x为法线的面上

它的正应力是σx

剪应力是τxy

而在这个面上

以y为法线的这个面上的正应力我们说是σy

在这个面上的剪应力

注意这个面上是向下的

那这个面上肯定是什么样

就应该是向左的

我们记成什么

τyx

这是原始的单元体

我们现在对哪个面上的应力感兴趣啊

对这样的一个斜截面

这个面上的应力是多大

这是我们想要求的

这个面到底是什么样一个面啊

我们以它的法线方向来确定这个面的方位

它的法线方向和x之间的夹角

我们记成α

所以两个法线之间的夹角是α

也就意味着这个斜截面

和x面之间的夹角是多少呢

是α

为了一说α的正负

或者一说某一个截面上它的正应力的正负

它的剪应力的正负

你就知道是什么方向

什么样的方位面的话

因此我们在这里对于正应力

剪应力以及α的正负做了如下的规定

依然是以拉应力作为正

压应力为负

也就是说正应力以外法线方向为正

反之为负

这个跟以前都一样

但是要注意了

在我们进行应力变换的时候

这个剪应力的这个方向是什么样呢

我们来看这是指的某一个截面上它的剪应力

对于单元体里面任意一点取矩的话

像这个τxy

它对单元体里面任意一点取矩是顺时针的话

那么这个剪应力我们就规定为正的

反之取矩

看到了

对里面任意一点取矩

它是逆时针的

那么这个剪应力我们就规定为是负的

好

还有这个方位面这个α的正负的规定

从这个地方

x方向

逆时针旋转

这α我们就规定为正的

反之顺时针转过去就为负的

这是σ

τ以及α正负的规定

所以以后我们一看它的正负

我们就知道方位面是往哪边转了

这个面上正应力到底是拉的还是压的

剪应力是什么方向

我们就能够判断出来了

好

现在我们来求求这个斜截面上的

正应力和剪应力到底应该是多大

为此我们就沿着这个斜截面

从单元体上又把它截下来一块

好

放在这个地方

那这个面还是底下这个面

上面的应力我们可以看到是σy

τyx

这个面依然是左边这个面

上面的应力是σx

τxy

斜截面上的应力

我们按照正方向来假设

正应力

外法线方向σα

τα我们按照正方向来假设

看到了

它对体内任意一点的矩还是什么样呢

顺时针

所以画出这个方向

现在我们假设截出来的这一小块

这个斜截面它的面积我们记成dA

当然这个时候我们看到这个角度就是多少

就是α

所以这边的这个面的面积就是dAcosα

底下这个面的面积就变成dAsinα

接下来我们就要根据平衡条件

来求出σα和τα应该等于多少

它处于平衡

当然它的这个小的局部也依然处于平衡

所以我们按照平衡条件

比如说所有的力沿着σα的方向投影的

代数和等于0

也就是ΣFσ=0

我们来看这个斜截面上这个方向是有正应力的

和这个方向是一致的

应力呢是单位面积上的受力

现在这个面

面积是多大呢

是dA

所以σα×dA

这个斜截面上的剪应力跟这个方向是怎么样

垂直的

投影是零

而后我们看看

这边这个面上的它的应力的情况

我们来看这个剪应力τxy乘以面积应该是什么

dAcosα

它在这个方向的投影

我们来看一下应该是什么

这个方向我们可以看到应该是多少

可以看到应该乘以sinα

投影出来是沿着这个方向的

所以它是正的

而后我们看这个面上的正应力σx

那这个时候呢也是要乘上面积dAcosα

那这个时候我们可以看到

那它的这个投影我们也可以看到

应该再乘上一个什么

cosα

方向是往这边来了

所以是负的

我们再看底下这个面上的这个力

这个时候我们看到的是什么

这剪应力τyx它是向右的

这个时候我们可以看到

这个方向应该是什么样

投影过来

应该是往这边儿的

所以乘以cosα

好

是正的

所以是加上

它的面积我们可以看到应该是什么

dAsinα

所以应力乘上面积而后投影

cosα又是正的所以加上

这个面上我们讲还有正应力

正应力σy

面积呢

我们看到是dAsinα

σydAsinα

它在这个方向上的投影

我们来看一下应该是什么

我们可以看一下

这个投影过去

可以看到应该是往这边来的

所以乘以sinα

是负的

所有这些力在这个方向投影代数和等于0

同样的道理

我们还可以把这上作用的所有力

沿着的τα的方向来做投影

它们投影的代数和也应该等于0

这就是我们得到的第二个式子

从第一个式子里边我们可以看到大家都会有谁啊

都有dA

是吧

都有dA

都可以怎么样

给它约掉了

那么整理一下

σα留在这一端

把其它所有项都移到等号的右端去

我们就可以得到了σα的表达式

第二个式子类似的

我们也可以得到了

但是这里边我们要注意有一点

根据剪应力互等

是吧

那么这个时候

看到了

τxy和τyx应该是相等的

我们把τyx=τxy代到前面两个式子里边

整理以后我们就可以得到了

σα=σxcosα的平方+σysinσ的平方-2τxysinαcosα

而后这里的τα=（σx-σy）/2×sin2α+τxycos2α

在这个里边这个式子

cosα的平方或者sinα的平方

我们应用一下倍角公式

就得到了什么

有关余弦的那个倍角公式

（1+cos2α）/2

（1-cos2α）/2这样的关系

因此上面这式子我们就可以得到这个关系

而这个呢

我们可以看到

这是sin2α

好那斜截面上

它的正应力计算公式我们就得到了

这里的sin2α和cos2α

也是类似上面这样的一个合成的结果

这个7-1式子就是我们所要求的任意的

以α来决定的斜截面上的它的正应力和剪应力

这个平面应力变换公式就得到了

就是什么

这个7-1式子

现在我们就想看什么啊

我们不是就是说

这样子坐标变换

变换来变换去

玩玩数学游戏

不是的

我们关心的是什么

哪些地方会出现这些极值

那现在我们就来求一求

首先我们求的是什么

正应力的极值

按照刚才σα的那个表达式

我们看到它是以α为参量的

所以我们就让它关于α来求导

得出哪一个式子

就是这个样子

让它等于0

为了取极值

一次导数等于0

大家来看方括号里这一项

是什么

对

它是什么

τα

所以我们可以看到

就意味着什么

这个等于0

就意味着τα怎么样

等于0

也就是说

斜截面正应力取极值的时候

那个面上的剪应力是多少啊

是0

好

我们在这里整理一下

可以看到啊

这个sin2α除以cos2α就应该等于什么

移项移过去我们可以看到

就等于-2τxy/（σx-σy）

sin2α cos2α不就是tg2α

所以这就决定了你这个最大或最小的

正应力到底在哪个斜截面上出现

就在这个α1所决定的那个斜截面上

在这个斜截面上的它的剪应力是多少呢

可以看到应该是等于0的

那么我们知道

正切函数它的周期是多少

是π

是吧

所以呢，这个时候我们可以得到了

两个这样的α1的值

你2α周期是π

所以这个时候我们得到的这个α1

就相差了多少呢

两个值是 90°

其中一个是什么

对应了最大的正应力

另外一个90度

相差90度的那个面就对应了一个什么

最小的正应力

至于到底是这两个方位面哪个是对应了它

是吧

那么我们需要把这个α1带到那7-1公式里边

去代一代

那么我们就可以知道到底哪个是对应了哪一个

好

那现在呢，我们把这α1代到7-1公式里边

我们可以得到所谓的

这个最大的它的这个正应力

或者讲最小的正应力应该是多少

我们可以看到应该等于

（σx+σy）/2±根号

（σx-σy/2）的平方+τxy的平方

这个公式就告诉我们怎么样来计算

这个最大和最小的正应力

在这样的面上

我们看到剪应力它是为0的

那这样的斜截面我们就称之为什么

叫主平面

这个面上的正应力

我们就称之为主应力

这个主应力的方向我们就称之为主方向

所以以后你看到了

说某一个面上它的剪应力为0

那就说它只有主应力了

对不对

那它只有正应力了

那就是主应力

不用多想

这个截面上的剪应力为0

那这个面就是主平面

这个面上的正应力就是主应力

是这样的一个结果

好

那这是正应力取极值的情况

那我们来看看剪应力取极值应该是怎样的

我们来看看最大的剪应力

所以τα关于α求导得到这个关系

让它等于0

取极值

这时候我们来看看它等于什么

它除以cos2α应该等于什么

我们可以看到

（σx-σy）/2τxy

刚好跟tg2α1是怎么样

差一负号

互为倒数，互为倒数

是吧

所以这个时候我们按照三角函数的这个关系

那它俩的关系就应该是怎样的

α1与α2

我们看到就是相互的垂直的

是2α1和2α2

所以α1和α2之间就差了多少

一半嘛

就差了多少

差了45度

或者这边45度

或者这边45度

那这两个面上那就是有一个最大的剪应力

有一个最小的剪应力

那我们把这α2代到7-1的

τα的那个公式里边去的话

那么我们可以算出

最大的剪应力应该是多少

看到了就是

根号 正负

最大最小

那么这里的正负实际上是指的剪应力指向问题

那值呢？我们看到是一样的

所以以后我们就计算最大剪应力就可以了

大家有没有注意到这个根号是什么

是刚才我们算的两个主应力

前面是σx/2+σy/2

后边就是什么

加减根号这一项

是吧

所以你把那个记住了

那么这个呢，也就记住了

这是我们讲的最大的这个剪应力

主应力面上只有正应力而没有剪应力

那这个时候最大剪应力面上

是不是正应力也为0呢

我们来看一下

把这个α2代到7-1式子里边

我们说这时候发现

这个面上的正应力未必是0

最大剪应力面上的它的正应力等于σx+σy/2

不一定是等于0

这点要注意

好

那我们来看一下

如果现在σx

σy就是主应力

也就是说τxy等于0的

是吧

那这个时候我们就可以看到

它的最大的剪应力就是（σx-σy）/2

σx

σy又是主应力

所以就是σ1减去σ2

就是两个主应力差的一半

就是最大剪应力

这个我们就得到了

好

现在我们来看一个例子

现在

原始的单元体给我们了

这个方向3MPa

这方向是什么

1MPa

而后剪应力

剪应力2MPa

原始单元体

对于这样的原始的应力状态

求一个斜截面

α是哪个斜截面

-22.5度的那个斜截面上它的应力是多少

而后对于这样的应力状态

我们要求一下主应力

并且表示在适当的单元体上

也就是说你要把主单元体画出来

而且要确定它

适当单元体嘛

你要确定它的方位面是怎样的

第三

求最大的剪应力

也是给它表示于适当的单元体上

第一步

我们来看看这个

α等于-22.5度的时候那个斜截面

-22. 5度就是指的什么

那个面相对于x面是怎么样

应该是怎么样

顺时针转了多少

22.5度

也就是斜截面是这个地方

看到了22.5度

我们来看这个面上的它的正应力

和剪应力是多少

公式7-1已经在那儿了

那问题是你看看这个原始单元体

你能不能正确地写出σx

σy以及τxy

很简单

我们看到这是什么

拉

是吧

这个呢，也是拉应力

σx等于+3

σy等于+1

好办

那这τxy呢

想想τxy的正是怎么规定的

我们说剪应力对于体内任意一点取矩的话

它顺时针为正

那你看这是什么

所以这个剪应力应该是什么

可以看到应该是负的2MPa

这点千万别弄错了

这弄错了

你再往公式里代

那都是错误的结果

好啦

这个有啦

那么我们代到应力变换的公式里边去

我们就可以求得这个22.5度斜截面上

它的这个正应力和剪应力了

（σx+σy）+（σx-σy）/2×cos2α-τxysin2α

代进去

算算算算

等于多少

1.29MPa

而后代到这个τα里边去

（σx-σy）/2×sin2α+τxycos2α

这个时候我们代进去值算出来是多少

-2.12MPa

因此我们就可以画出

这个斜截面上的这个应力了

那么这个是什么

是正的

说明它是什么样的

是受拉的

剪应力是负

说明它对体内一点取矩的话

就应该是什么

逆时针的

所以剪应力是这个方向

那么你截开这边这个面上

类似的

我们看到作用与反作用的这个关系

这是一样的

这是-22.5度斜截面上的它的应力情况

第二问我们要求什么

主应力了

根据主应力的表达式

（σx+σy）/2±根号（σx-σy）/2的平方+τxy的平方

这不是-2吗

没关系平方跟+2是一样的

算出来是多少

2±2.24

也就是说一个

第一主应力是4.24

小的那个主应力就是-0.24

是吧

求出来了

那这个时候它在哪个面上

对吧

主平面在哪里呢

所以我们还要算一下α1的位置，是吧

代到公式里边去

算出来等于2

我们就可以求出来这2α1是多少

arctg2

它的一半就是我们要求的那个α1

另外一个呢跟它相差了90度

到底是4.24在这个面上

还是-0.24在这个面上

不着急

我们把这个角度代到7-1式子里边去算一把

代进去算了以后出来结果是多少

4.24

也就是说这个斜截面上它是有最大的正应力

这个主应力

那跟它垂直的那个面

差90度那个面

那就是什么

有第二个主应力

就是多少呢

最小主应力

就是-0.24的那个主应力

所以现在我们就可以把这个斜截面就画出来了

31°43′

是从这儿开始

正方向转

应该是怎么样

x面正方向转

逆时针转多少

31°43′

这个斜截面上会有多少

4.24

跟它垂直的面上是多少

-0.24

所以我们可以画出来

这个只有主应力没有剪应力

是吧

主平面

这个呢，跟它垂直的这个面上

也是只有主应力

没有剪应力

这个主平面上

-0.24是什么意思呢

那就是受压了

看到了

我们已经画的压的话

说明负号已经用掉了

那这里我们只写出它的

具体的值的大小就可以了

这一点请大家一定要注意

好啦

我们把它合成起来

我们可以画出什么

主单元体来

主单元体就是这样

接下来我们来看看要求一求最大的剪应力

其实剪应力那一项

最大剪应力就根号那一项我们刚才已经算了

是等于2.24MPa

那它的这个面

我们讲了又跟刚才的主平面差了45度

是吧

差了45度

加45度

再加45度

那到底哪个是那个正的那个最大的剪应力

哪个是那个最小的那个负的剪应力呢

我们也不妨把这个代到

7-1那个公式里边算一下

看到了啊

所以76°43′

这个代进去算出来

2.24

也就是说这个面上剪应力是正的

也就是方向是怎么样

取矩是怎么样

顺时针的

另外一个呢

就是负的

是吧

头对头 尾对尾

因此我们也可以画出它的对应的单元体

但是呢，我们还要算这个对应单元体

这个面上正应力应该是多少

是吧

（σx+σy）/2

所以就等于2MPa

那是拉应力

我们可以看到从这个面

转转了多少啊

转过去

我们可以看到是什么

是76°43′的这个斜截面上

另外一个跟它垂直

合在一起

可以看到这个单元体

那么我们看到这个面上有最大的剪应力

按照这个题目的要求

我们把那个结果都已经算出来了

相应的图也画出来了

那如果我们用张量来表示

我们刚才画出这些单元体呢

那我们可以看到

是吧

这时候原始的那个单元体

表示出来是这样

而后这是什么

这是主单元体的情况

这是什么

最大剪应力的时候的情况

都是那一点的应力状态

只不过我们选取的坐标不同

所以应力张量的形式不一样

但是它们是等效的

你想想我们线性代数

一开始做什么

矩阵初等变换

这个变换实际上跟我们这变换是类似的

都是在进行什么

在进行坐标变换

好

我们这也是坐标变换出来的结果

是这样

它们是等效的

这是多说了一点

希望能对你相关的线性代数的

这个知识的理解有所帮助

好

今天有关平面应力变换的内容

我们就介绍到这里

提醒大家注意的是斜截面上

它的剪应力正负的规定

初始的那个单元体

那个截面上的剪应力

正负你一定要判断准确了

否则后续的这个计算全部没有用

好

今天的内容就介绍到这里

谢谢大家