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关于两个主轴的弯曲在线视频

下一节:拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

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关于两个主轴的弯曲课程教案、知识点、字幕

各位同学

大家好

今天我们来学习组合变形

我们首先要给大家介绍的是有关

关于两个主轴弯曲的情况

我们先要来看看一般情况的一个

介绍

正如我们在第一章的时候

我们就跟大家看到了

一个简单

受力的一个构件

那可能在它的横截面上我们可以

看到这个内力

有可能是产生轴力的会产生拉压

还有可能会有什么有扭矩的

可能产生扭转

还有呢在这个面上还会有什么

还会有弯矩

让它产生弯曲变形

所以通常的情况下可能拉压扭转

与弯曲同时存在

我们不怕

为什么

只要构件处于线弹性的范围的

时候

我们说就可以利用什么叠加原理

来对它们进行分析

前面若干章我们已经对于拉压的问题

扭转的问题和弯曲的问题

单纯的拉压单纯的扭转

单纯的弯曲进行了分析讨论

现在就是要把它们怎么样

通过叠加原理合在一起

当它们共同有这样的作用的时候

那么它们单独作用的结果

就是它单独作用的结果的和就是

它们共同作用的结果

这就是叠加原理

我们也叫做力的独立作用原理

首先我们看到的一种组合形式

就是关于两个主轴的弯曲

那什么是主轴

我们来看一下

现在我们有一个截面

那截面里的两个正交轴

看到了一个Y轴

一个Z轴

我们就通过

一点的它的Y坐标和

Z坐标的乘积

在整个截面上进行积分

这个我们就定义为截面关于Y和

Z轴的惯性积

显然它的单位是米的四次方

我们以惯性积来定义主轴

当这个截面的惯性积等于0的时候

我们把这两个正交的轴称之为

这个截面的主轴

注意我们说了这两个轴是正交的

也就相互垂直的

大家在数学里边我们就学过

如果这两个轴有一个轴

是这个截面的对称轴的话

那么这个积分自然就是怎么样的

就是等于0的

所以以后你看到那截面有一个

对称轴

那这个轴就肯定是怎么样

是主轴

跟它垂直的那个也是主轴

这个很好判断

是吧

那现在我们就来看看

关于两个主轴的弯曲

我们以这个矩形截面的这样的

一个梁直梁来说明

现在由于我们来看看这个是

一个矩型的截面的话

所以这个对称轴这个对称轴

两个相互垂直毫无疑问是它的主轴

关于这两个

主轴的弯曲是怎么回事

我们先看这个载荷

它不是作用在这个纵向的对称面里了

它是跟纵向对称面是怎么样

有一定的倾斜了

这个角度是多少

我们记成α

它是这样斜着方向作用过来了

那么这个力这个载荷

我们给它分解一下

如果力是这个方向的话

那么我们在y方向和z方向都有分量

我们可以看到Y方向和Z方向都有分量

那么在Y方向我们可以看到它是

垂直于Z轴的

产生的弯矩就是怎么样

我们可以看到是什么

是关于z轴的弯曲

也就是说z轴是中性轴

那么还有一部分分量是这个力的分量

那么它就会产生什么

产生关于Y轴的弯矩

那中性轴就是谁了

就是Y轴了

那这个时候我们可以看到

它既有关于z轴的弯曲的情况

也有关于Y轴弯曲的情况

所以我们说这是关于两个主轴的

弯曲的情况

那这个时候横截面上一点的应力怎么来算

关于Z轴的我们也讨论过了

现在关于Y轴一样类似的

那现在它是一个线弹性的系统

当然我们可以利用叠加原理把它求到

我们来看载荷呢是这个方向

不是Y方向的了

是这样斜着有一个α角

显然这个时候

我们讲它这个载荷

我们看到垂直方向是弯矩的方向

这个弯矩是多少

我们看到两端是M

那么它在z方向的这个分量

也就是对于z轴的矩

在y轴方向的分量就是关于y轴的矩

分别应该等于什么

我们可以看到Mz

显然就应该等于M乘以cosα

而My就应该等于M乘以sinα

我们在弯曲时候

横截面上正应力的公式我们就已经算过了

是吧

σx=-Mzy/Iz

那如果现在弯曲是关于谁

关于y轴的话

我们讲类似的

那就把Mz换成谁呀

换成My

而后到中性轴的距离就不是y了

就是谁

到中性轴的距离好比说这一点

到这的距离是多少

显然是什么

是z坐标

而后关于中性轴的惯性矩就不是Iz了

就是关于y轴的

所以它就换成Iy就可以了

那么线性系统两者叠加起来就Ok

所以我们得到了这个公式

那注意一下

这里负的意思是什么

我们可以看到弯矩Mz是正的话

弧箭头冲上

那么在上半部分

也就是说y坐标大于0的地方

它是受压的

所以它大于0它也大于0

那么它受压的话

所以我们前面要有一个负号

轴向应力是负的表明是压应力

那对于这个My

我们来看My是正的话

是吧

右手法则握一下

是这样

说明什么

说明什么大家可以看一下

说明什么

它是向后这样掰它了

所以前面这会前突

也就意味着

在z小于0的地方它是受压的

而在z大于0的这半个面上

它是怎么样

它是受拉的是正的

所以我们可以看到那这个时候

它是正的它是正的它就应该正的

所以应该取正号

所以这两个式子叠加起来

应该是这样的一个情况

这就是关于两个主轴弯曲的时候

横截面上一点的正应力的计算公式

接下来

我们来分析一个例子

现在我们有一个矩形截面的一个梁

上面有均布的载荷

这些载荷的整体是多少

是4000N

它们的和是4000N

让我们来求一求

中间截面上的最大弯曲正应力

忽略梁的重量

我们说这个均布载荷并不是

y方向这样作用的

而是跟它成了一定的角度

多少是30°

也就是刚才我们讲得那个α等于30°

那么我们来看看中间截面

它的最大的正应力是多少

我们先来求一求中间截面上的

弯矩应该是多少

对于均布载荷作用的话

如果它的载荷集度是q的话

我们讲中间截面上的最大的弯矩

我们以前讨论过很多回啦

就应该等于什么

1/8ql²对吧

这是简支梁均布载荷作用

中间截面上有最大弯矩

等于这个

所以q是什么

是载荷集度

那么q乘以L是什么

我们讲的就是什么

就是它整个均布载荷它的和

也就我们现在的什么这个W

那么还有一个L

当然就还是它的长

所以等于这个

把刚才我们得到那个数据

整个W是4

L长是3

所以4×3/8=1.5kN·m

算出来了

好这个弯矩有了

那么我们来看看

Mz是多少

My是多少

一个cos30°

一个sin30°

所以我们也可以算出来

那么算这个正应力的话

那么Mz的话

我们需要算出截面关于z轴的惯性矩

如果算My引起的正应力

我们需要算出截面关于y轴的惯性矩

所以我们还需要计算出Iz和Iy

一个是bh³/12

关于y轴的12分之什么

这个h就变成宽了高就变成b了

所以调过来

我们算出来的结果在这里了

这些值已经有了

接下来我们就给它带到刚才的

那个公式里面要进行计算了

现在我们来看一下

这个结果应该是怎样的

大家来看一下

我们得到的Mz是这个方向的是吧

那么也就是说弯矩关于z轴的弯矩是正的

是正的话我们讲

底侧这个AB边是最大的拉应力

然后上侧这个边

DC边就是最大的压应力

那么最大的拉应力等于什么

我们可以看到在这里来算一下A点的

所以Mz乘以这个坐标所以是负的这个值

负的75是吧

好啦

我们带进去可以算出来这一项代进去

-75代进去

那么这个时候还有谁呀

我们别忘了还有一个正的My

正的My的话那么这一侧它是受拉

这一侧是受压的

这一个A点的它的z坐标是正的

是多少是50

所以正的50带进去

算出来

+3.47加上3一共是6.47

也就这一点它是受拉的值是6.47

好啦我们刚才

说你既可以按照这个坐标的正负带进去

按照这个公式来进行计算

对吧

我们也可以按照什么

刚才所说的用这个弯矩

哪边受拉哪边受压直接把它的值带进去

拉压的判断来确定它的应力的正负也可以

都可以

那么这个时候我们需要算B点的应力

在Mz作用下

我们可以看到这边是受拉的

所以这个3.47也应该是正的

然后我们可以来看My的话

这边出来这边进去

所以这半侧受拉这半侧受压

所以这一点是受压的

所以这个地方的3就应该是负的

等于0.47MPa

类似的我们来算一下C点的

Mz下边受拉上侧是受压

所以这一点的3.47就应该是负的

这一侧在My作用下它是受压的

所以这3是负的得出来-6.47

D点我们可以看到Mz是正的话

上面是受压所以这个3.47是负的

然后在My作用下这一侧是受拉

所以这一点就应该是正的3

出来结果是这样

好了

那么按照这个弯矩引起来的

截面上的这个正因力的分布的话

比如说Mz

我们看到它是跟y是成正比的

所以这一点是正的6.47的话

这一点是什么

我们可以看到D点是-0.47

所以这一边线性的关系

应力线性变化是怎么样

我们可以看到这边受拉6.47

然后这边是受压的

所以应该是往这边来的

那这个时候它们的应力的分布

就应该是什么

就应该是这样的对吧

这边同样的我们也可以画出它的

应力的这个分布的情况

那么我们可以看到这边是受压

这边是受拉线性分布

同样的道理这边是什么C点是受压-6.47

而这一点B点是受拉正的0.47

我们讲它也是沿着y方向线性分布的

那现在我问大家

能不能确定中性轴的位置

中性轴在哪里呀

载荷是跟y方向倾斜了30°作用的

那这个时候

中性轴的方向

是不是跟载荷的方向是垂直的

我们来看一下

我们看到这是正应力为0的点

同时我们看到这一点也是正应力为0的点

它对应了我们横截面上的什么

这边是对应的这一点

这边就对应了这条边的这一点

这是两个正应力为0的点

显然这两个点是在中性轴上

是拉压的分界点

那么中性轴中性轴它是一条直线

这两点在这条直线上

所以我们可以看到中性轴就是这条线

中性轴找到了

那么这个时候和以前的z轴这个时候的夹角是多少

我们把它记成β

那这个β是不是等于30°

我们来看一下

按照刚才我们所说的σx的表达式

等于-Mzy/Iz+Myz/Iy

那么对于中性轴上的各个点我们说

这正应力都应该是多少

等于0

拉压应力的分界点吗

所以从这我们可以看到

就能够找出y和z的关系了

我们可以看到

tgβ就是什么y/z

从这我们可以看到就是MyIz/MzIy

My/Mz是tgα

所以又乘上Iz/Iy

那你来看看这个α和β相不相等

取决于什么

取决于Iz和Iy相不相等

对于矩形的截面而言

明显的 Iz和Iy是不相等的

所以这个β和这个α也是不相等的

那这种弯曲我们管它叫做什么

就叫做斜弯曲

但是我们看到对于圆截面或者正方形

或者是正多边形的话

那么我们可以看到这个Iz和Iy总是怎么样

相等的

所以这个时候这个β和α就是相同的

也就是说你这个力作用的方向

那就是和中性轴是怎么样的是垂直的

如果Iy和Iz不相等的话

那么这个时候你这样斜着作用的话

那么它的这个中性轴和这个力的方向

不垂直

所以斜出去了

那么这个就叫做什么

就叫做斜弯曲

那么这是今天我们给大家讨论的

组合变形关于两个主轴弯曲的情况

另外给大家介绍了什么叫做斜弯曲

关于截面是圆或者正方形

或者正多边形的话

那么我们看到它的Iy和Iz总是相等的

所以它不会出现斜弯曲

那么这个时候

求它弯曲正应力的时候

就可以按照两个方向的

它的弯矩的这个正交合成两个分量

关于两个主轴的

两个弯矩分量平方和开方

这个弯矩来进行分析就可以

好这就是今天我们给大家介绍的

关于两个主轴弯曲的情况

谢谢大家

材料力学课程列表:

第一章 绪论

-1-1 材料力学的任务

--材料力学的任务

--第1-1节作业

-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形

--基本假设、内力、杆的基本变形

--第1-2节作业

-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--第1-3节思考题讨论

第二章 拉伸、压缩与剪切

-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

-- 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

--第2-1节作业

- 2-2 应变,杆斜截面上的应力

--应变,杆斜截面上的应力

--第2-2节作业

- 2-3-1 材料的力学性能(一)

--材料的力学性能(一)

--第 2-3-1作业

- 2-3-2 材料的力学性能(二)

--材料的力学性能(二)

--第 2-3-2作业

-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比

--胡克定律、轴向变形和泊桑比

--第 2-4-1作业

-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷

--安全系数,许用应力,许用载荷

--第 2-4-2作业

-2-5-1 静不定(超静定)系统

--静不定(超静定)系统

--第 2-5-1作业

-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)

--静不定(超静定)系统(续)

--第 2-5-2节作业

-2-6 热应力和变形

--热应力和变形

--第 2-6节作业

-2-7 剪切和挤压

--剪切和挤压

--第 2-7节作业

第三章 扭转

-3-1 扭转,扭矩

--扭转,扭矩

--第 3-1节作业

- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--第 3-2节作业

-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力

--受扭转构件横截面上的剪应力

--第 3-3节作业

- 3-4 扭转变形

--扭转变形

--第 3-4节作业

-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定

--扭转构件的设计 扭转静不定

--第 3-5节作业

第4章 弯曲内力

-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

--梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律

--剪力图和弯矩图(一)

--剪力图和弯矩图(二)

--第 4-2节作业

-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--第 4-3 节作业

第五章 弯曲应力

-5-1 弯曲正应力

--弯曲正应力

--第 5-1节作业

-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩

--横截面关于中性轴的惯性矩

--第 5-2节作业

-5-3 梁的设计

--梁的设计

--第 5-3节作业

-5-4 弯曲剪应力

--弯曲剪应力

--第 5-4节作业

第六章 弯曲变形

- 6-1 挠曲微分方程,边界条件

--挠曲微分方程,边界条件

--第 6-1节作业

-6-2 积分法

--积分法

--第 6-2节作业

-6-3 静不定

--静不定

--第 6-3 节作业

-6-4 叠加法

--叠加法

--第 6-4节作业

-6-5 简单静不定梁

--简单静不定梁

--第 6-5节作业

第七章 应力状态分析及强度理论

- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--第 7-1节作业

-7-2 平面应力变换

--平面应力变换

--7-2 节作业

- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--第 7-3节作业

-7-4 强度理论概述 断裂准则

--强度理论概述 断裂准则

--第 7-4节作业

-7-5 屈服准则

--屈服准则

--第 7-5节作业

-7-6 莫尔强度理论

--莫尔强度理论

--第 7-6节作业

第八章 组合变形

- 8-1 关于两个主轴的弯曲

--关于两个主轴的弯曲

--第 8-1节作业

-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--第 8-2节作业

-8-3 弹性设计

--弹性设计

--第 8-3节作业

-8-4 梁的弹性设计

--梁的弹性设计

--第 8-4节作业

-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)

--轴的强度设计

--第 8-5节作业

-8-6 提高梁抗弯能力的措施

--提高梁抗弯能力的措施

--第 8-6节作业

第九章 压杆稳定

-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力

--屈曲 细长压杆的临界压力

--第 9-1节作业

-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--第 9-2节作业

-9-3 提高压杆稳定性的措施

--提高压杆稳定性的措施

--第 9-3节作业

第十章 动载荷

-10-1. 冲击,动荷系数

--冲击,动荷系数

--第 10-1节作业

-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性

--用动静法求应力和变形 冲击韧性

--第 10-2节作业

第十一章 交变应力

- 11-1 交变应力、持久极限

--交变应力、持久极限

--第 11-1节作业

-11-2 影响持久极限的因素

--影响持久极限的因素

--第 11-2节作业

-11-3 疲劳强度

--疲劳强度

--第 11-3节作业

第十二章 能量法

-12-1 应变能

--应变能

--第 12-1节作业

-12-2 互换定理

--互换定理

--第 12-2节作业

-12-3 卡氏定理,应用

--卡氏定理,应用

--第 12-3节作业

- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法

--卡氏定理应用:虚构载荷法

--第 12-4节作业

- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--第 12-5节作业

-12-6 图乘法

--图乘法

--第12-6节作业

第十三章 静不定结构

- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)

--静不定结构、正则方程(一次静不定)

--第 13-1节作业

- 13-2 正则方程(高次静不定系统)

-- 正则方程(高次静不定系统)

--第 13-3 节作业

-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构

--利用对称性与反对称性分析静不定结构

--第 13-4节作业

关于两个主轴的弯曲笔记与讨论

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