当前课程知识点:材料力学 > 第八章 组合变形 > 8-1 关于两个主轴的弯曲 > 关于两个主轴的弯曲
各位同学
大家好
今天我们来学习组合变形
我们首先要给大家介绍的是有关
关于两个主轴弯曲的情况
我们先要来看看一般情况的一个
介绍
正如我们在第一章的时候
我们就跟大家看到了
一个简单
受力的一个构件
那可能在它的横截面上我们可以
看到这个内力
有可能是产生轴力的会产生拉压
还有可能会有什么有扭矩的
可能产生扭转
还有呢在这个面上还会有什么
还会有弯矩
让它产生弯曲变形
所以通常的情况下可能拉压扭转
与弯曲同时存在
我们不怕
为什么
只要构件处于线弹性的范围的
时候
我们说就可以利用什么叠加原理
来对它们进行分析
前面若干章我们已经对于拉压的问题
扭转的问题和弯曲的问题
单纯的拉压单纯的扭转
单纯的弯曲进行了分析讨论
现在就是要把它们怎么样
通过叠加原理合在一起
当它们共同有这样的作用的时候
那么它们单独作用的结果
就是它单独作用的结果的和就是
它们共同作用的结果
这就是叠加原理
我们也叫做力的独立作用原理
首先我们看到的一种组合形式
就是关于两个主轴的弯曲
那什么是主轴
我们来看一下
现在我们有一个截面
那截面里的两个正交轴
看到了一个Y轴
一个Z轴
我们就通过
一点的它的Y坐标和
Z坐标的乘积
在整个截面上进行积分
这个我们就定义为截面关于Y和
Z轴的惯性积
显然它的单位是米的四次方
我们以惯性积来定义主轴
当这个截面的惯性积等于0的时候
我们把这两个正交的轴称之为
这个截面的主轴
注意我们说了这两个轴是正交的
也就相互垂直的
大家在数学里边我们就学过
如果这两个轴有一个轴
是这个截面的对称轴的话
那么这个积分自然就是怎么样的
就是等于0的
所以以后你看到那截面有一个
对称轴
那这个轴就肯定是怎么样
是主轴
跟它垂直的那个也是主轴
这个很好判断
是吧
那现在我们就来看看
关于两个主轴的弯曲
我们以这个矩形截面的这样的
一个梁直梁来说明
现在由于我们来看看这个是
一个矩型的截面的话
所以这个对称轴这个对称轴
两个相互垂直毫无疑问是它的主轴
关于这两个
主轴的弯曲是怎么回事
我们先看这个载荷
它不是作用在这个纵向的对称面里了
它是跟纵向对称面是怎么样
有一定的倾斜了
这个角度是多少
我们记成α
它是这样斜着方向作用过来了
那么这个力这个载荷
我们给它分解一下
如果力是这个方向的话
那么我们在y方向和z方向都有分量
我们可以看到Y方向和Z方向都有分量
那么在Y方向我们可以看到它是
垂直于Z轴的
产生的弯矩就是怎么样
我们可以看到是什么
是关于z轴的弯曲
也就是说z轴是中性轴
那么还有一部分分量是这个力的分量
那么它就会产生什么
产生关于Y轴的弯矩
那中性轴就是谁了
就是Y轴了
那这个时候我们可以看到
它既有关于z轴的弯曲的情况
也有关于Y轴弯曲的情况
所以我们说这是关于两个主轴的
弯曲的情况
那这个时候横截面上一点的应力怎么来算
关于Z轴的我们也讨论过了
现在关于Y轴一样类似的
那现在它是一个线弹性的系统
当然我们可以利用叠加原理把它求到
我们来看载荷呢是这个方向
不是Y方向的了
是这样斜着有一个α角
显然这个时候
我们讲它这个载荷
我们看到垂直方向是弯矩的方向
这个弯矩是多少
我们看到两端是M
那么它在z方向的这个分量
也就是对于z轴的矩
在y轴方向的分量就是关于y轴的矩
分别应该等于什么
我们可以看到Mz
显然就应该等于M乘以cosα
而My就应该等于M乘以sinα
我们在弯曲时候
横截面上正应力的公式我们就已经算过了
是吧
σx=-Mzy/Iz
那如果现在弯曲是关于谁
关于y轴的话
我们讲类似的
那就把Mz换成谁呀
换成My
而后到中性轴的距离就不是y了
就是谁
到中性轴的距离好比说这一点
到这的距离是多少
显然是什么
是z坐标
而后关于中性轴的惯性矩就不是Iz了
就是关于y轴的
所以它就换成Iy就可以了
那么线性系统两者叠加起来就Ok
所以我们得到了这个公式
那注意一下
这里负的意思是什么
我们可以看到弯矩Mz是正的话
弧箭头冲上
那么在上半部分
也就是说y坐标大于0的地方
它是受压的
所以它大于0它也大于0
那么它受压的话
所以我们前面要有一个负号
轴向应力是负的表明是压应力
那对于这个My
我们来看My是正的话
是吧
右手法则握一下
是这样
说明什么
说明什么大家可以看一下
说明什么
它是向后这样掰它了
所以前面这会前突
也就意味着
在z小于0的地方它是受压的
而在z大于0的这半个面上
它是怎么样
它是受拉的是正的
所以我们可以看到那这个时候
它是正的它是正的它就应该正的
所以应该取正号
所以这两个式子叠加起来
应该是这样的一个情况
这就是关于两个主轴弯曲的时候
横截面上一点的正应力的计算公式
接下来
我们来分析一个例子
现在我们有一个矩形截面的一个梁
上面有均布的载荷
这些载荷的整体是多少
是4000N
它们的和是4000N
让我们来求一求
中间截面上的最大弯曲正应力
忽略梁的重量
我们说这个均布载荷并不是
y方向这样作用的
而是跟它成了一定的角度
多少是30°
也就是刚才我们讲得那个α等于30°
那么我们来看看中间截面
它的最大的正应力是多少
我们先来求一求中间截面上的
弯矩应该是多少
对于均布载荷作用的话
如果它的载荷集度是q的话
我们讲中间截面上的最大的弯矩
我们以前讨论过很多回啦
就应该等于什么
1/8ql²对吧
这是简支梁均布载荷作用
中间截面上有最大弯矩
等于这个
所以q是什么
是载荷集度
那么q乘以L是什么
我们讲的就是什么
就是它整个均布载荷它的和
也就我们现在的什么这个W
那么还有一个L
当然就还是它的长
所以等于这个
把刚才我们得到那个数据
整个W是4
L长是3
所以4×3/8=1.5kN·m
算出来了
好这个弯矩有了
那么我们来看看
Mz是多少
My是多少
一个cos30°
一个sin30°
所以我们也可以算出来
那么算这个正应力的话
那么Mz的话
我们需要算出截面关于z轴的惯性矩
如果算My引起的正应力
我们需要算出截面关于y轴的惯性矩
所以我们还需要计算出Iz和Iy
一个是bh³/12
关于y轴的12分之什么
这个h就变成宽了高就变成b了
所以调过来
我们算出来的结果在这里了
这些值已经有了
接下来我们就给它带到刚才的
那个公式里面要进行计算了
现在我们来看一下
这个结果应该是怎样的
好
大家来看一下
我们得到的Mz是这个方向的是吧
那么也就是说弯矩关于z轴的弯矩是正的
是正的话我们讲
底侧这个AB边是最大的拉应力
然后上侧这个边
DC边就是最大的压应力
那么最大的拉应力等于什么
我们可以看到在这里来算一下A点的
所以Mz乘以这个坐标所以是负的这个值
负的75是吧
好啦
我们带进去可以算出来这一项代进去
-75代进去
那么这个时候还有谁呀
我们别忘了还有一个正的My
正的My的话那么这一侧它是受拉
这一侧是受压的
这一个A点的它的z坐标是正的
是多少是50
所以正的50带进去
好
算出来
+3.47加上3一共是6.47
也就这一点它是受拉的值是6.47
好啦我们刚才
说你既可以按照这个坐标的正负带进去
按照这个公式来进行计算
对吧
我们也可以按照什么
刚才所说的用这个弯矩
哪边受拉哪边受压直接把它的值带进去
拉压的判断来确定它的应力的正负也可以
都可以
那么这个时候我们需要算B点的应力
在Mz作用下
我们可以看到这边是受拉的
所以这个3.47也应该是正的
然后我们可以来看My的话
这边出来这边进去
所以这半侧受拉这半侧受压
所以这一点是受压的
所以这个地方的3就应该是负的
等于0.47MPa
类似的我们来算一下C点的
Mz下边受拉上侧是受压
所以这一点的3.47就应该是负的
这一侧在My作用下它是受压的
所以这3是负的得出来-6.47
D点我们可以看到Mz是正的话
上面是受压所以这个3.47是负的
然后在My作用下这一侧是受拉
所以这一点就应该是正的3
出来结果是这样
好了
那么按照这个弯矩引起来的
截面上的这个正因力的分布的话
比如说Mz
我们看到它是跟y是成正比的
所以这一点是正的6.47的话
这一点是什么
我们可以看到D点是-0.47
所以这一边线性的关系
应力线性变化是怎么样
我们可以看到这边受拉6.47
然后这边是受压的
所以应该是往这边来的
那这个时候它们的应力的分布
就应该是什么
就应该是这样的对吧
这边同样的我们也可以画出它的
应力的这个分布的情况
那么我们可以看到这边是受压
这边是受拉线性分布
同样的道理这边是什么C点是受压-6.47
而这一点B点是受拉正的0.47
我们讲它也是沿着y方向线性分布的
那现在我问大家
能不能确定中性轴的位置
中性轴在哪里呀
载荷是跟y方向倾斜了30°作用的
那这个时候
中性轴的方向
是不是跟载荷的方向是垂直的
我们来看一下
我们看到这是正应力为0的点
同时我们看到这一点也是正应力为0的点
它对应了我们横截面上的什么
这边是对应的这一点
这边就对应了这条边的这一点
这是两个正应力为0的点
显然这两个点是在中性轴上
是拉压的分界点
那么中性轴中性轴它是一条直线
这两点在这条直线上
所以我们可以看到中性轴就是这条线
中性轴找到了
那么这个时候和以前的z轴这个时候的夹角是多少
我们把它记成β
那这个β是不是等于30°
我们来看一下
按照刚才我们所说的σx的表达式
等于-Mzy/Iz+Myz/Iy
那么对于中性轴上的各个点我们说
这正应力都应该是多少
等于0
拉压应力的分界点吗
所以从这我们可以看到
就能够找出y和z的关系了
我们可以看到
tgβ就是什么y/z
从这我们可以看到就是MyIz/MzIy
My/Mz是tgα
所以又乘上Iz/Iy
那你来看看这个α和β相不相等
取决于什么
取决于Iz和Iy相不相等
对于矩形的截面而言
明显的 Iz和Iy是不相等的
所以这个β和这个α也是不相等的
那这种弯曲我们管它叫做什么
就叫做斜弯曲
但是我们看到对于圆截面或者正方形
或者是正多边形的话
那么我们可以看到这个Iz和Iy总是怎么样
相等的
所以这个时候这个β和α就是相同的
也就是说你这个力作用的方向
那就是和中性轴是怎么样的是垂直的
如果Iy和Iz不相等的话
那么这个时候你这样斜着作用的话
那么它的这个中性轴和这个力的方向
不垂直
所以斜出去了
那么这个就叫做什么
就叫做斜弯曲
那么这是今天我们给大家讨论的
组合变形关于两个主轴弯曲的情况
另外给大家介绍了什么叫做斜弯曲
关于截面是圆或者正方形
或者正多边形的话
那么我们看到它的Iy和Iz总是相等的
所以它不会出现斜弯曲
那么这个时候
求它弯曲正应力的时候
就可以按照两个方向的
它的弯矩的这个正交合成两个分量
关于两个主轴的
两个弯矩分量平方和开方
这个弯矩来进行分析就可以
好这就是今天我们给大家介绍的
关于两个主轴弯曲的情况
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业