图乘法在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习图乘法

我们在介绍单位载荷法的时候得到了莫尔积分

用来进行你感兴趣的位置

感兴趣方向上的它的位移

如果这个时候构件它的拉压刚度

它的弯曲刚度以及它的扭转刚度都是常量的话

那么我们说莫尔积分

就可以是关于下面这种形式的一种积分

这里呢只写出来了以梁为例的情况

因为什么

这个弯曲刚度是常量它跟x无关

是可以提出去的那现在我们再来看

如果M和M*两者之一是线性变化的话

你比如说现在M*=xtgα

那这个时候我们说的这个积分可以看到

就应该等于tgα

它是一个常量

可以提到积分符号外边去

就变成了x与M(x)的什么

积分了在整个梁段上积分

那大家来看看这个积分

这个式子让我们想起了什么

对了

让我们想起形心的这个计算的公式

这个公式就相当于什么

它就相当于这个时候

M(x)曲线和x轴之间所包围的这块图形

它的面积和这块图形形心的x坐标的乘积

所以我们可以看到

它就可以写成tgαω乘上ω在乘上xC

这里的ω就是指的这M(x)曲线

和x轴所包围的这块面积

这块图形它的面积

XC呢就是这块图形它的形心的x坐标

我们又可以给它写成什么写成ωM*C

这里的M*C是什么

我们看到在M(x)曲线这个图形上面

它的形心对应下来这个时候这是什么

这是我们看到的M* (x)它对应的

这个C点的位置的它的值

我们把这个值就记成M*C

表示是在对应这个图形形心时候的相应的

x坐标位置的M* (x)曲线的这个值

所以这两个知道的话

那么我们就可以知道这个积分应该是多少了

这个图形的面积是很容易计算出来的

同时它的形心的位置

我们讲也是很方便能够确定的

下来做完这个图M* (x)对应的这个值是多少

也能从这个图上直接读出来

所以这个时候我们可以看到

这个积分很容易就能够得到

因此我们就可以得到这个时候

我们想要求的这个位移应该是多少了

它就应该等于可以看到ω乘以M*c与

梁的弯曲刚度的比值

这个就是我们所讲的图乘法

下面呢我们来看一下一些常见的

我们画弯矩图常见的一些图形

它的面积以及它的形心的位置

三角形我们大家都很熟悉了

我就不多说了

我们来看看这是一个什么

一个抛物线它是上凸的形状的

那它的面积是多少呢

我们可以看到ω=2/3底×高

底是什么从这儿到这儿

高呢是从这到这这是2/3的底乘高

而它的形心的位置我们也可以看到应该是什么

这边是什么5/8 L

这边是什么3/8 L是这样的

而后呢我们经常看到的这个弯矩图呢

它还有是这样的二次曲线

抛物线

这是一个下凸上凹的这样一个曲线

那它的面积呢

我们可以看到这边已经说2/3底×高

那这边就剩多少了1/3底×高可以看到

那它的形心的位置

这个时候我们可以看到应该是从这儿到这儿

是3/4 l也就3/4的底从这儿到这儿呢

是1/4的底1/4 l这边呢也是一种曲线

这个曲线呢我们说它是x的好比说n次曲线

x的n次曲线

那它的面积是怎样呢

我们在这儿也给出来了等于

可以看到底乘高注意除以是多少

除以n+1你看在这儿很对应的

这是什么抛物线二次曲线

所以除以n+1是谁啊

我们看到分母是3这个呢是线性的

是吧

那它的面积是1/2底乘高

是吧

线性n是1

所以那个除以的我们可以看到分母上它就是2

所以这就表示了这样的一条曲线

是x的n次曲线

那它的面积就是(底×高)/(n+1)

那它的形心的位置我们可以看到

从这边到这边是(n+1)/(n+2)的什么底

这边呢就是1/(n+2) 的底

这是我们常见到的一些弯矩图

它的图形面积怎么算

它的形心对应的位置应该在哪里

接下来我们来看一个例子

这个例子呢是我们之前所讲的用单位载荷法

通过积分计算得到这个时候自由端的

它的挠度和它的转角

现在呢我们利用图乘法重新把这个题求解一遍

大家可以体会一下

现在图乘法是不是求解起来更方便

这个呢我们讲呢就是一个悬臂梁

而后从A到C这么长

a这么长一段上作用了均布向下的这个载荷

整个梁的长度是L

它的抗弯刚度是EI是一个常量

我们很快的可以画出它的弯矩图

我们也知道这个弯矩图是什么样呢

它是一个二次曲线那这边是0

这样的一个可以看到上凸的

好

这个地方的它的弯矩的最大值

我们可以看到是负的二分之qa方

我们要求这个B截面的它的挠度的话

按照单位载荷法

我们在这里加一个单位的载荷

对应的它的内力图

我们可以看到就是负的线性的变化

从0到-L

如果我们还想求这个截面的转角的话

那么我们在这里加一个单位的弯矩

对应的它的弯矩图

我们可以看到单位载荷的弯矩图就是什么

就是-1

那现在呢我们按照刚才所说的这个图乘法

它就应该等于

这点的挠度就应该等于(ωM*C)/EI

ω是什么

ω是说的是这个载荷作用时候的

实际载荷作用的时候弯矩图和

x轴之间所包围的这个图形它的面积

按照刚才所介绍的等于多少

还记得吧

这个图形的面积还记得吧

很容易我们可以看到是吧

好

那还有一个是什么

我们需要确定的是什么

是这个图形的它的形心的位置

它下来对应的M* (x)图上的这个值

这就是M*C我们从这个图是二次曲线

我们就可以看到它的这个面积就应该是什么

1/3的什么底乘以高1/3底是什么

我们看到从这儿到这儿是什么是a

高呢我们可以看到是负的二分之一qa方

所以ω=1/3 a乘上负二分之一qa方

这是什么这是它的面积

那它的位置在哪里

我们讲是从这儿到这儿应该是什么

1/4的这块图形的底从这到这是a1/4

所以从这儿到这儿就是1/4 a

下来x=1/4 a的时候M* (x)这个值是多少

我们可以看到整个长度是L的时候

对应的它的这个M* (x)是-L

所以从这儿到这儿就应该是多少

是L-1/4 a

因此这对应的值就是多少

这个长度是L-1/4 a那么

方向呢我们可以看到这个弯矩是负的

所以它是-(L-1/4 a)

我们把这两者带到这个公式里边去

图乘法

马上就可以得到了这个时候它截面在B这个地方的

它的挠度应该是多少

我们可以看到EI分之一

这是面积这是什么M*C

这是面积这是什么M*C

整理一下出来的结果可以看到就这么多

同样的这个面积已经算完了我们不用再算了

我们现在说要求一求B截面的它的转角

用到的M* (x)的图就是这个

是-1这个

对应下来它的这个M*C是多少

整个都是-1当然对应这一点呢还是-1

带到这个公式里边去

我们就可以得到了这个B截面的它的转角

θB我们就可以看到1/EI

这是什么

这块是面积

它对应的这个M*C是多少

是-1

所以整理一下出来的结果就是它

这里边我们看到跟积分的这个积出来的结果

是完全一样的这个呢我们看到它是大于0的

这个呢也是大于0的

说明B点的挠度跟我们假设的

这个单位载荷的方向都是一样的

这个呢就是我们看到的

第一个用图乘法我们进行了求解

我们这个时候看看就加加减减乘乘除除就完事了

没有通过再去什么进行积分的运算

所以它是比较简便的

下面我们再来看一个例子

现在呢有一个外伸梁

这个时候在BC这一段均布向下的载荷作用

在A有一个集中力向下作用

梁弯曲刚度EI是一个常量

来求一求现在这个A截面的

它的转角应该是多少

我们说首先要建立这个梁的它的弯矩图

我们这样分开来建立

首先我们来看看这个集中力作用的时候

产生的弯矩是多少

很容易

很快的啊我们可以看到

它是一个这样的像一个山形分布的

或者讲三角形分布的

那这个时候对应的弯矩的最大值

我们可以看到P乘以这力臂是多少

是a

所以我们可以看到这个呢是怎么样

弯矩是这样子的所以它是负的

要注意这是-Pa

我们来考虑只在均布载荷作用的时候

我们讲它产生的弯矩只在哪里呢

只在BC段上有

它的弯矩图我们也可以画出来它是正的

中间呢是有最大值八分之一qa方

好

这是弯矩图两个叠加起来

就是梁整个各个地方的它的弯矩的情况

下面我们来看一下

要求这一点的截面的转角

所以按照单位载荷法

我们需要在A截面这个地方加一个单位的力偶

我们假设这个截面它是这样子的顺时针方向转动

所以在这个地方我们加了顺时针方向的

一个单位的弯矩

我们画出来它的这个M* (x)图

可以看到的确是从A到B的时候是线性的

从B到C的时候它也是线性变化的

是吧

所以我们说可以用图乘法没有问题

但是现在我们要跟大家提一个问题

我们得出来的那个图乘法的那个公式

前提是什么

那个时候我们得出来的

是说的整个的M* (x)那条线

那条线呢直线变化

是吧

线性变化它是一个斜率的是tanα

所以整个提出了这个积分的外边去

但是现在呢

我们可以看到它是怎样的在AB段

它是一个斜率tanα=0是水平线

从B到C呢tanα又是另外一个值

所以我们需要把这个地方用图乘法的时候

需要进行分段的处理

也就是说要考虑tanα的话

我们必须要分段进行计算

AB是一段而后BC是一段

那这样一来的话

我们可以看到这个时候它的弯矩图的情况

我们可以根据分块积分的原理

可以算算什么

这个时候q单独作用的这一部分

然后再叠加上P集中力作用的这一部分

再考虑到这个tanα的这个变化

所以呢我们需要把这个弯矩图应该分成几块

分成三块来进行处理

第一块就是q作用的这个弯矩的情况

第二块是什么

是这个三角形到最大值的时候

还有一块是什么是这个三角形

我们把这三块呢分别记作

这个三角形我们记作是ω1

底下这个三角形我们记成ω2

而后这个抛物线的这个部分

我们记成ω3

它各自对应的形心的位置

我们分别记成C1 C2和C3

现在我们就应该分这三块来进行处理

进行计算

好

那这个时候我们来看看θA分成了三部分的话

那就应该是第一个部分ω1 M1*

第二个部分ω2 M*2

第三部分ω3 M*3

我们来看看每一个部分它的面积是多少

第一个部分面积1/2底乘高

那么底是a高呢是-Pa

所以我们可以看到这是第一部分的面积

它的形心三角形嘛

我们可以看到应该从这儿到这儿是2/3

从这边到这边是1/3所以对应过来它水平线

所以呢还是1乘上这个M*1就是1

第二块的面积我们可以看到

是这个三角形的面积

底呢

是l高呢-Pa

所以它的面积是-1/2 Pal

它对应的形心的位置

我们讲从这边到这边是什么

1/3

从这儿到这儿是2/3

所以下来对应的它的这个M*2

我们可以看到就应该是多少

从这儿到这儿是1这边是什么1/3

这边2/3所以这个值是2/3

而后我们再来看这个上凸的

这个抛物线的它的图形的面积

应该是2/3底乘高底是l高八分之一ql的平方

它的形心显然由于对称性

就应该在中点l/2的这个位置

所以我们可以看到M*3就是多少就是1/2

好

各部分的值都已经有我们把它经过计算

整理一下得到最后的结果

这个呢就是我们看到了由于这个tanα

也就是说M* (x)这条曲线它的斜率不一致

所以我们需要进行分段的处理

另外呢

这个弯矩我们也可以利用分块积分的道理

给它分别进行计算

而后再进行叠加

这个呢就是我们讲的图乘法的第二个例子

下面我们再来看看下面一个例子

现在呢这个简支梁整个梁段

受有向下的均布载荷q作用

梁的弯曲刚度是一个常量

现在要求一求这个梁中点的挠度应该是多少

我们很快可以画出它的弯矩图依然是什么

这样的一个上凸的一个抛物线

最大值八分之一ql的平方

为了要求中间截面它的挠度的话

那我们用单位载荷法的话

就让这个梁只在中间截面作用一个向下的

一个单位力这样的一个作用

在单位载荷作用下

我们也很快可以画出它的这个弯矩图

就是我们所说的M* (x)这个曲线

现在我们可以看到它是一个什么

山字形的

也就是说从A到中间这个截面C

这个地方它的斜率我们可以看到是大于0的

但是从C到B截面的时候

我们可以看到它的斜率是这样子的方向

斜率发生了变化

尽管这个时候弯矩图它是一个这样的规律

这样一个抛物线

但是呢由于这个时候tanα发生了变化

所以我们必须要进行分段的处理

因此我们把上面这个抛物线的

这个图形从中间一分为二

一分为二这边记成第一块

这边右边记成第二块对应的

当然了它这边也是一样

这个时候我们可以看到分成两块之后

那它的这个tanα就一样了

我们就可以直接用这个图乘法的公式

来进行计算了

如果大家注意到这一块的面积

这一块的抛物线的面积

和这边右边的这个是一样的话

同时它的形心对应下来的这个M*C

两边也是一样的话

那么我们讲这计算就是计算一块

而后给它double一下就可以了

是吧

所以这个时候我们可以得到的是什么

可以看到两部分的这个计算实际上

就一部分的什么

二倍的关系所以2/EI double一下

那么这一块抛物线上凸的它的面积是多少

我们讲2/3底乘高

2/3底l/2高八分之一ql的平方

所以这是它的面积

那它的形心对应的从这里到这里应该是5/8的底

5/8的底是多少再乘上l/2

所以5/8对应的是在这个地方

那5/8的这个地方对应过来是多少呢

这时候我们可以看到它的最大值在这

线性最大值是l/4对应5/8的地方

那就5/8乘以l/4

所以这个就是我们所说的这个M*C

乘完了以后

结果我们可以看到(5ql4)/384EI

跟我们查表的结果

跟我们积分的结果是完全一样的

好

这个呢就是我们今天给大家介绍的图乘法

提醒大家注意的是

我们运用图乘法的时候一定要看一看

这个弯矩图这个曲线和单位载荷作用的时候

这个弯矩图曲线它的变化的规律

若两者任意规律发生变化的话

我们都应该分段进行处理

分段之后我们可以运用叠加原理

进行求和就得到结果

今天有关图乘法的内容就介绍到这里

谢谢大家！