正则方程（高次静不定系统）在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习静不定结构如何分析

刚才我们只是看到了这个正则方程

是一次静不定的那么很多情况下

静不定的次数是高于一的

现在我们来看看高次静不定系统

它的正则方程应该是怎样的

我们就以这个刚才的这个曲杆为例

现在呢

不仅是说这一端是固定的 A端是固定的

现在B端从一个辊动绞支座给它

变成了一个定铰支座

现在我们可以看到它的静不定次数就变成了二

我们还是以B端这个定铰支座作为多余约束

我们把它解除

代之以它的约束力两个方向

水平的记成X1竖直方向

嗯

水平的我们记成X2竖直方向我们记成X1

它就变成了在载荷P和X1

以及X2共同作用的一个结果

好

在这里我们要提醒大家注意这些个δ

相应的这些位移是什么意思

δij我们在这里看到的是有两个下标ij

第一个下标表示的是哪个方向的位移

第二个下标是表示的在哪个方向上作用单位力

清楚了

好

所以这里面我们要用到单位载荷法的话

我们想要求1方向上的位移

这个1呢就是我们讲的X1所指定的方向

1方向是铅垂向上的

所以在这里加了一个铅垂向上的单位力1

这个时候引起来的位移可以看到

在竖直方向也有量在水平方向也有量

竖直方向的这个位移呢按照刚才我们的定义

竖直方向的这个位移呢按照刚才我们的定义

δij就是什么j是什么1方向的力的作用

前面的1是指的1方向的位移

所以我们看到在这儿方向上的位移

竖直方向就记成δ11

而后在1方向作用单位力以后水平方向的

位移是什么呀就是δ21同样的在这边

我们要考察它水平方向的位移的话

我们在水平方向加了单位载荷1

这个时候在水平方向的位移就是多少啊

也是什么水平方向

载荷也是水平方向

水平方向是什么是2方向所以就是δ22

这个时候在2方向加单位力以后

我们看到在竖直方向它也是有位移的

力的方向是2位移的方向是1

所以它就是什么δ12

好

这些关系搞清楚了就方便啦

那么在这里我们看到

在P力作用下引起的竖直方向的位移就是谁啊

我们写成大写的△

这是竖直方向是1方向

哪个力引起来的P力引起的

所以第二个下标写成P在这里

P力引起的在B这个地方水平方向也有位移

水平方向是什么方向2方向

所以这个位移就记成了△2P

这些下标首先要明确搞清楚

下面我们就好进行分析了

我们来写一写变形协调条件

δ11是在截面B处竖直方向作用有单位力的时候

引起的竖直方向的位移

现在这个地方作用了多大的力呢

作用了X1这么大的力

所以它是单位力的X1倍

因此引起来的这个时候

1方向的位移就是δ11乘以X1

而后我们再来看

在2方向作用单位力的时候

同样在1方向也会有位移

这叫什么这叫δ12

而现在在2方向作用的力是多大呢是X2

所以就是单位力引起来的位移的X2倍

这就是δ12 X2除此之外还有谁作用

还有P作用

P作用引起来的竖直方向上的位移是多少呢

是△1P

所以三个力引起来的竖直方向的位移

它们三者的和

应该满足结构原来的在B那个地方的位移的状况

由于它是受到这个约束的限制

那里竖直方向位移是不允许的

所以这个时候竖直方向的位移的和就应该等于0

这就是第一个变形协调条件

也是边界条件之一同样的道理

我们看到由于B点是一个定铰支座

除了竖直方向不能动

水平方向也是不可以动的

那水平方向的位移△2我们讲就应该是什么

是0

我们来看看啊

它变成了在P力X1和X2共同作用的情况

那么在水平方向作用有单位力的时候

在水平方向的位移是δ22

现在水平方向的力是多少呢

我们可以看到是X2

因此可以看到是什么是这个δ22的X2倍

在1方向作用单位力的时候

引起的水平方向的位移是多少啊

是δ21

现在在1方向作用多大的力啊

我们可以看到是X1

所以是它的X1倍

还有这个时候

P力也会引起水平方向的位移是多少

是△2P

因此三者叠加水平方向的位移也应该是0

所以这是变形协调条件的第二个部分

水平方向的它的一个限制在这个里面

我们可以看到就形成了关于X1

和X2的一个二元一次方程组

我们对它进行求解

就可以求得X1和X2

这个呢就是二次静不定问题的正则方程

这个时候我们要求得这个方程的解

显然需要把这个方程里边所对应的

各个系数需要求出来

那么这些系数我们可以按照摩尔积分可以求得

比如说

这个时候我们来看一下δij表示的是什么意思呢

是指的它在什么地方啊

是在j这个地方作用了单位的力

也就说摩尔积分里的那个M就应该是谁呀

是在j这个地方作用力了

所以是Mj*

那么要求的呢是i方向的这个时候的它的位移

所以这个时候你要加的那个单位力的

那个载荷那个M*是谁呢

因为你要求i方向上的位移吗

所以这个就是Mi*而后刚度EI

沿着整个长度积分

啊

这就是我们所说的δij显然对两个顺序换一下

那就是谁呀那就是δji

它们两者是

怎样的是一样所以δij=δji

它是一样的△1P呢毫无疑问

这就是载荷作用的时候它的弯矩

还有呢这个时候要求哪个方向的啊

好比说i方向的它的这个位移的话

那么在i方向加上单位载荷形成的它的内力

我们记成Mi*

因此△iP就可以按照摩尔积分求出来了

这些系数刚才我们所说的那个方程里

的各个系数

我们通过摩尔积分全都可以算出来

对吧那这个时候正则方程

我们可以看到就是一个线性的方程组

我们刚才的那个例子曲杆的例子

它是一个二次静不定的

显然这个方程我们可以推广到n次静不定

我们可以给它写成

这样的矩阵的这样的一个表达

这里这个[δij]这个矩阵显然n次静不定

它就是一个n×n阶的一个方阵{X}呢

就是各个方向所加的这个解除多余约束以后

加的多余约束力

它就是一个什么我们可以看到是n×1阶的

当然了

这个{△p}呢也是一个n×1阶一个的列向量

等于{0}

当然了也是一个列向量n×1阶的

好

那这个时候我们可以看到

这个就是我们一般意义上的正则方程

是这样的一个关于X1 X2……

Xn这n个多余约束力的一个线性方程组

求解这样的一个线性方程组

我们就能够求得这n个多余约束力

而且有关它的运算大家知道

已经学过线性代数了所以有关它的求解

已经学过线性代数了所以有关它的求解

对于大家来说不是问题

也可以进行计算机编程运算

通过矩阵的运算来求出来

好

下面呢

我们就来看一个高次静不定问题的一个例子

大家来看

现在呢我们看到了这么一个梁

这个A端呢是固定端约束

B端呢也是固定端约束

对于这样的一个直角的这样的一个杆

竖直段AC段是由均布的向右的一个载荷作用

CB段没有载荷

各段的长度呢都是a各段的弯曲刚度一样

是一个常数让我来求约束反力

显然

这是一个三次的静不定问题我们想一想

觉得解除什么地方的约束运算起来

求解起来比较简便呢

你觉得A还是B

如果我们解除A端的约束的话

我们来求载荷引起的弯矩的话

可以看到AC是有弯矩的

CB段呢也是有弯矩的

是吧

如果我们换过来说A不变

解除B端的约束的话

那载荷引起来的内力这个弯矩

显然可以看到BC段是多少是0

AC段有弯矩所以这么稍微一想的话

觉着哪个求解比较方便呢

那显然是解除B端约束计算是比较方便的

我们就把B作为多余约束解除

代之以它的约束力

那么竖直方向作为1方向

水平方向作为2方向

而后这个时候截面的转动我们作为了3方向

三个多余约束力分别记成X1 X2和X3

就变成了这样的一个静定的一个直角杆

一端固定一端自由

在载荷均布力作用在AC段

以及在X1 X2和X3作用下的一个情况

那么它们共同作用的结果是什么呢

是B点上下不能动左右不能动

也不能围绕那里转动

所以约束条件我们就可以看到

这个 这个 这个位移全都是多少应该是0

那不就变形协调条件吗

就边界条件是吧

好

这是我们对它的这个分析

具体的计算我们可以看到

叠加呢就是首先载荷作用的时候的情况

而后叠加上X1作用

叠加上X2的作用

再叠加上X3的作用

现在我们就来对这些个这个各个力作用的时候

引起的B处的三个方向的位移

应该分别是多少

首先我们来看看这个只在载荷作用的时候

它的弯矩的表达式

这个时候我们可以看到

由于它是一个直角的

我们选择了第一个坐标是从B为原点

开始向左作为X1的正方向

如果我们用截面法这样截下来的话

研究右半段可以看到没有外力

所以这一点这一段的弯矩就都是0

这一段积分我们就不用算了

而后呢那我们来从C开始

向下方向建立了X2坐标

这个时候我们用截面法截一下的话

研究上半段

我们可以看到这个截面上的弯矩就应该是多少呢

是1/2 qx2平方

代到摩尔积分里面去

MP是1/2 qx2平方

那这个时候我们可以看到

如果这样看的话

我们可以看到它是让它这样往AC的内侧去弯的

我们把这个方向作为负方向

向外侧呢那么这个呢是正的

所以这个向内侧弯呢我们就给它定义为负的

弯矩是-1/2 qx2平方而后这是EI

这里面呢我们还要看什么还要看M*

先求的是1方向上的位移

也就铅垂向上的位移

这个时候我们可以看到

在单位载荷1作用的时候

那么在X2截面处的弯矩应该是多少呢

我们可以看到

1对它取矩力臂是a

这个时候让它是怎么样

是使AC向外侧弯曲的

所以这个弯矩就应该是正的是a

代进去至于这个第一段

虽然单位载荷引起来的弯矩不为0

但是它和MP相乘呢

这不是0吗

所以那段也是不用考虑的

那积分我们看到CA段就是

从0到a积分结果出来了-(qa^4)/6EI

这就是△1P类似的

我们来分析由于载荷引起来的

B截面的水平的位移

还是要分析AC段

AC段的这个MP呢我们已经求出来了

-1/2 qx2平方

好

不用再写了

那这个时候由水平力引起的这个时候

AC段的它的弯矩

我们用截面法截出来

研究上半段的话可以看到这个弯矩是多少呢

是向外侧弯的是吧

1乘以力臂是x2所以是正的x2

我们可以看到

这积分出来的结果是-(qa4次方)/8EI

接下来

我们再来看看

载荷引起来的这个时候B截面的转角是多少

我们在B截面加了一个单位的力偶

我们来看由于它是力偶

所以我们从x2截面这个地方把这个直角杆给它截开

研究上半段由于它是力偶

力偶和力偶直接平衡

所以我们可以看到就是多少呢

就是正的1带到摩尔积分里边去

因此我们就可以得到了这个结果

-(qx2平方)/2而后乘以1

EI是常量可以提出去

沿着整个这一段进行积分

dx2从0到a

结果是-(qa3次方)/6EI

负的意思就是说在q的作用下引起的B截面

它的转角和我们刚才假定的这个单位的力偶的

方向应该是相反的

△1P △2P △3P我们求出来了

接下来我们要求那些δij这些系数

好

我们先来看看δ11

δ11我们可以看到在x1这一段

x1截面这个地方

我们截下来研究右半段的话

可以看到这个弯矩是多少呢

我们可以看到1乘上力臂是x1

对于x2这一段也就是说AC段

它的弯矩我们在这个地方

x2位置处给它截开研究上半段的话

这个时候我们可以看到1对它取矩的话

让它向外弯

所以力臂是多少可以看到力臂就是A

所以这一段它就是一个正的a

那么在第一段上我们可以看到这是x1×x1

第二段都是a

a×a两段积分都是从0到a

从0到a积分的结果在这里

(4a3次方)/3EIδ11算出来了

下面呢

我们还要算其它的系数比如说δ22

δ22呢就是指的2位置作用单位力

2方向这个位移是多少

我们看到啊在B这个地方

水平方向作用单位力的话

显然第一段弯矩是多少

是0

只有第二段有弯矩

我们用截面法可以看到力臂是多少

点到作用线的垂直距离

力臂就是x2向外弯是正的

所以就是x2只在第二段上有值

所以0到a

在第二段上(x2 x2 〖dx〗2)/EI积分

结果是a3次方/3EI

我们还要来计算δ33

δ33就是指的在B截面作用单位力偶的

时候的情况

那这个时候不管是截哪一段

力偶和力偶平衡我们可以看到

BC段弯矩是1AC段也是1

所以可以看到两段积分

1乘以1除以EI 0到a积分

这一段也是一样结果是2a/EI

还要算δ12 δ21那么δ12

我们可以看到

这个时候在竖直方向作用有单位力的时候

第一段它的弯矩是有值的

但是呢

我们还需要算什么还是要乘上M2*

但是M2*在这一段是0

所以这一段不用积分

所积分的只是AC段需要进行积分

在AC段刚才说了

这个水平的单位力作用的时候

这点的弯矩是x2

而在这儿作用竖直方向单位力的时候

那么引起来的这个第二段截面上的弯矩是什么

我们刚才已经求出来了就是a

因此我们可以看到

(ax_2)/EI在整个AC段进行积分

0到a结果是a^3/(2EI)

我们还要来算一算这个时候δ13 δ31

好吧

这个时候竖直方向有力的话

第一段的弯矩我们可以看到是x1

在3方向作用单位力的时候它的弯矩是多少呢

我们可以看到就是1

所以在BC段就是1乘上x1

除以EI进行积分而后在BC段上

这个时候

M3*我们讲还是1而后M1*是多少

是a

所以呢

这个时候我们可以看到a乘以1除以EI

第二段进行积分

结果是3a^2/(2EI)还需要算δ23 δ32

是吧

它们也是相等的我们可以看到

这个M*在两段上

M3*在两段上都是多少

都是1

是正的

这个时候我们看到M2*在第一段上弯矩是0

在第二段弯矩是x2

所以我们只在第二段上进行积分就可以了

0到a

可以看到x2乘以1除以EI

结果是a^2/(2EI)

这个时候我们方程

正则方程里边各个系数我们全部算出来了

代到正则方程里面去

注意到大家都有什么 都有EI

多少多少

代到正则方程里面去

我们整理一下

得到了方程是怎么样的

是下面的这个方程

这是关于X1 X2 X3的一个三元一次方程组

我们可以很快算出它的这个结果

当然现在呢

就是说我们可能不需要我们自己编程

比如说我们用matlab把这个系数输进去

很快这个线性方程组就可以给求解出来了

好

那得出来的结果列在这里

X1 X2 X3

在X1 X2 X3求出来之后

我们再来分析这个时候A处的这个约束反力的话

我们通过平衡方程就可以求出来了

后面这部分的这个求解很简单

我就不再做介绍了

留待大家课后去练习

这个就是一个高次静不定的一个例子

关键是各个系数的一个求解

我们在求解这个静不定结构的时候

首先要确定多余约束与静定基

这个时候问题就会转化为在载荷

与多余约束共同作用的静定问题

而后计算各个系数δij以及△iP

请大家注意单位载荷方向

与假设的多余约束力方向要一致

列写正则方程并进行求解

求得的多余约束力的正负意味着

与单位载荷方向的异同

所谓的正就是跟单位载荷方向是一样的

负呢就是相反的

多余约束都求出来的话

剩下的就变成静定问题

所有的约束力就可以求出来

相应的内力也都可以求出来

就可以进行所谓的强度也好刚度也好的分析了

有关静不定结构如何进行分析我们就介绍到这里

谢谢大家