横截面关于中性轴的惯性矩在线视频

各位同学大家好

今天我们学习横截面

关于中性轴的惯性矩的计算

首先我们来看看矩形截面的情况

矩形截面它的宽是b

它的高是h

中性轴过形心

所以在这个地方

这是y坐标

那么我们根据惯性矩的计算公式

比如说关于z轴的惯性矩

我们知道

应该是Iz等于y^2

横截面上各个点到中性轴距离的平方

在整个截面上求和

也就是积分

这个时候我们来看看

这时候dA怎么取

那么我们就能够取得合适的话

它的计算就比较简便

所以我们可以取这个地方

以dy来截取这么一块小的矩形的面积

因为它们到中性轴的距离都近似为y

所以我们很快的可以算出矩形截面

关于中性轴的惯性矩

这一块dA的面积

我们可以看到它的宽是b

它的高是dy

所以dA是bdy

那积分以后我们可以看到

注意上下限y是从负h/2到正h/2

很快算出来是多少

bh^3/12

如果我们要算关于y轴的惯性矩呢

所以就变成了什么

我们这么去看它

就变成宽是h

高是多少是b

所以换一下位置

可以算出来关于y轴的惯性矩

bh^3/12

我们再来看一种常见的梁的横截面的情况

就是我们说的圆截面的时候

圆截面的它的这个直径尺寸我们是知道的

好比说我们知道它的直径尺寸是d

我们在扭转的时候

我们曾经计算出来关于圆心的极惯性矩

它的计算公式还记得吧

对

大家来看这个截面

关于y轴或者关于z轴的惯性矩是多少

显然由于对称性

所以无论是关于y还是关于z

关于任何一个过圆心的一个轴的

它的惯性矩都应该是相同的

我们就利用这个特点

再利用极惯性矩的结果

我们很快的可以得到关于z轴的惯性矩应该是多少

按照极惯性矩的定义

应该是横截面上点到圆心的

距离的平方关于整个截面进行积分

而这个距离的平方ρ

我们又可以写成什么在这儿我们可以看到

可以写成y的平方加上z的平方

我们给它展开一下

关于y平方这个积分

那就是Iz

关于z平方积分

那就是谁呀IY

它们两个又是相等的

所以我们可以写成2倍的Iz

因此

圆截面关于过形心的

轴的惯性矩我们就可以算出来了

那如果我们碰到的是管状的物体

横截面就是一个环

圆环

这个时候关于中性轴的

惯性矩我们也可以计算出来

π(D^4-d^4)/64

那这里的D和d就是指的

这个圆环的它的外径和内径

那么也可以写成这样

也可以把它的这个比值记成α

(1-a^4) πD^4/64

这就是圆截面关于中性轴的惯性矩

这个是我们常见的一些梁横截面的形式

圆的或者是矩形的

所以以后就不要再这样积分

我们直接拿过来用就行

bh^3/12 πD^4/64

问题是

我们在工程实际看到的一些截面图形

相对来讲是比较复杂的

尽管比较复杂

我们可以通过把它进行分割

发现它是若干简单图形的一种组合

所以这样的截面我们就管它

叫做组合的图形截面

它的惯性矩就应该等于

各个分割的图形的惯性矩的和

有的时候

组合图形

它的形心未必是各个分割图形的形心

那么它的惯性矩的计算

往往需要借助于平行轴定理

我们来看一下

现在好比说这是某一个图形

它的形心轴在这里

我们想要求关于这个轴z轴的惯性矩

那么我们在这个图形上取了一个微小的面积dA

它到z轴的距离

我们可以看到

这应该等于这个时候过形心轴的这个坐标

我们记成zc

这个垂直方向

我们记成yc

取矩的这个轴还是记成z

然后y轴和刚才的yc轴也是重合的

它关于z轴的惯性矩

我们可以看到

就应该等于它到z轴的距离的平方

在整个图形这个面上进行积分

注意到

两个平行轴它们之间的距离是d的话

那么我们就可以得到它到z轴的距离

就应该等于它到这个zc的距离yc

再加上这个距离

因此我们可以看到

在整个面上进行积分

我把这个积分给它展开一下

就变成什么

这个时候我们可以看到

这个毫无疑问

这是什么

这个就是面积A

是吧

dz的平方乘以面积

这是什么

这是各个点到zc的距离的平方

在整个面积上进行积分

说明了是图形关于自己形心轴的惯性矩

我们给它记成Izc

这个这一项应该是Adz的平方

那中间这一项怎么没有啦

我们注意到

这个积分它等于什么呢

又是利用了形心的公式

那显然就应该等于

那么y c是什么

我们看到

这个时候zc坐标就是过这个图形的形心的

所以y c是多少

是0

所以它是等于0的

所以

这一项就没有啦

就变成这俩项

表示的什么意思

表示的对于任意一个轴的惯性距

就应该等于图形关于自己形心轴的惯性距

加上两个平行轴之间距离的

平方和它面积的乘积

这就是我们计算截面关于

某一个轴惯性矩的平行轴定理

要提醒大家注意的是

第一

两个轴必须平行

其中

一个轴是过图形的形心的

必须要注意这俩点

通过这个式子我们可以看到

后面这一项

只要两个轴有距离

那么后面这一项总是大于零的

所以

我们可以看到过图形形心轴的惯性矩是最小的

好

那么对于整个的那个复杂的那个组合图形而言

它关于轴的惯性距

就应该等于每一个图形对那个轴的惯性距求和

接下来我们就利用这个平行轴定理

我们来算一个这样的一个T字形的截面

关于中性轴的惯性矩

我们首先来看一下它是什么

这一段尺寸告诉我们了

是6cm

这一段是2cm

这儿是6cm

这儿的宽是2cm

整个图形我们可以给它分割成两部分

从哪儿分啊就从这儿分

这个

第一块

我们看到它是一个矩形

关于它自己形心轴的惯性矩

我们已经知道怎么算了

bh^3/12

那么底下这一块儿也是矩形

也是类似的

那么bh^3/12说了

都是关于自己形心轴的惯性矩

那对于图形的中性轴的惯性矩

那我们就需要利用平行轴定理进行计算

现在的问题

首要的问题是什么

整个图形它的中性轴在哪儿

我们知道中性轴一定是过整个图形的它的形心的

所以我们必须要确定这个形心在哪里

为了计算方便

我们首先以底下这个边作为z’坐标

然后中间对称的这个轴作为了y’

我们来看两个分割图形它们各自的形心在哪里

然后我们利用形心的公式

确定形心的y坐标

也就是确定这个z轴在哪里

这是我们第一个要做的事情

很快我们可以得出来

这个图形的面积和这个图形的面积都是相等的

都应该是2×6都是12平方厘米

然后它们各自的

第一块图形的形心的y坐标以及

第二个图形形心的y坐标我们也得到了

应该y1一撇

一半的距离是3

再加上底下的2

所以我们可以看到是5

然后它的呢 那就是在中间

那就是1

我们给它带到形心的计算公式里面

我们可以得到了这个时候

这个c的位置应该在什么地方

第一块图形的面积乘上它的y’坐标

第二块图形面积乘上它的y’坐标

整个的图形的面积

两个加起来

结果等于3

也就是说从这儿到这儿是3

这个就是整个T字形截面的它的形心位置

也就是中性轴位置

好啦

那么我们分别来计算

第一块图形关于z轴的惯性矩

按照平行轴定理

首先是关于自己形心轴的惯性矩

再叠加上两轴之间距离的平方

和这块图形面积的乘积

第二块儿也是类似这样的处理

所以我们可以计算出来

对于第一块儿

自己形心轴的惯性(1/12)b

宽度是2

高是6 所以bh^3/12

再加上

它自己的这个形心的这个坐标和这个c这个坐标

y坐标之间的差值就是两个轴之间的距离

那么我们已经知道从这儿到这儿是多少是5

从这儿到这儿是3

那么之间的距离是多少5-3是2

面积是12

算出来的结果

84厘米的4次方

同样的我们来看第二块矩形截面关于

自己形心轴的惯性矩

(1/12)b是6高h是2

所以6x2^3/12

再加上它到中性轴的这个距离

从这儿到这儿是1

从这儿到这儿是3

所以距离还是2平方乘以它的面积

结果是52

那么两块加起来对它的惯性矩我们就可以知道了

俩个直接相加

就求出来了

这个呢就是我们利用的平行轴定理

对于一个相对复杂一点的

可以分割成简单图形的

这样的组合图形关于整个截面中性轴的惯性矩

这个就是我们今天给大家介绍的有关截面

对于中性轴的惯性矩如何进行计算

请记住矩形截面它关于自己形心轴的惯性矩是

bh^3/12

圆形的截面

πd^4/64

还有

组合图形

我们可以利用平行轴定理进行计算

谢谢大家