当前课程知识点:材料力学 > 第五章 弯曲应力 > 5-4 弯曲剪应力 > 弯曲剪应力
各位同学大家好
今天我们来学习梁
横截面上的剪应力如何进行计算
我们说梁
它如果我们画它的剪力图和弯矩图的话
那么它横截面上不仅有弯矩
而且还有剪力的话
那么我们讲它就叫做横力弯曲
这个时候有剪力的话
那么横截面上肯定就会有剪应力
我们需要对这种弯曲剪应力来进行分析计算
首先我们来介绍剪切流的概念
对于这个弯曲剪应力
我们说一般情况下
那么横截面上的正应力
是处于主导的地位
也就是说它是强度计算的主要的因素
但是当梁跨度比较小
截面呢又窄又高的时候
那这个时候截面上的剪应力就有比较大的数值
需要进行强度的校核啊
剪切强度的校核
剪切流
我们来看一下是什么意思呢
我们现在从梁上截取了一个微段
dx这么长一段
由于剪力的存在
我们说两端截面的它的弯矩就不同
A截面上它的弯矩我们记为MA
那么从A经过了dx
显然这个截面它就有弯矩的增量
那么这个时候
B截面上的弯矩我们记成MB
距离中性层
y的位置上的它的正应力
我们可以按照正应力的公式分别计算出来
这个是A截面上距离中性层y的地方
它的正应力
而这个呢就是B截面上
距离中性层y的地方的
它的正应力
显然这两个正应力由于MA和MB的不同而不同
我们现在呢在距离中性层y1的地方
我们又给他沿着纵向面截了一刀
然后我们来看看上面
这一个薄层里面啊
它的情况受力的情况
我们来看这边这个截面和这面这个截面
显然由于MA和MB的不同
两边的对应的这个点上的正应力
也是不一样的
我们来看一下现在这个小的截面
也就是所说的
fghj这个小的横截面上的
它的内力的和应该是多少
我们给它记成FB距离y的地方
那它的应力应该是这么大
在整个截面上
它的这个和呢
我们就是在这个小的这个矩形截面上求和
也就是关于这个面进行积分
MB和I是指的整个截面上的它的弯矩
以及整个截面
关于中性轴的惯性矩
所以跟这个小的dA是没有关系的
提出去
变成了这个样子
那么我们就可以看到等于负的
MBI我们把它这一项记成SZ星号
这个SZ星号
我们可以看到就是ydA在这个小面积上
fghj这个小面积上的积分
这个式子又让我们想起了什么呢
又想起了啊这个截面的质心的这个公式
截面的形心的这个公式
好
那它就应该等于这个横截面的面积和
这一小块面积的它的形心的y坐标
我们记成y一拔
这也是它的这个几何意义
我们就把这个SZ星号记作
这一小块面积关于横截面
中性轴的静矩
这个叫做静矩
显然面积乘以长度
因此我们可以看到这个静矩的单位
它是米的三次方
好
这是什么
这是这个面上的轴向的内力的和
类似的
我们可以求得左端的这个小的面积上的它的内力的和
就需要把这个式子里的MB换成谁呀
换成MA就可以了
我们可以看到这个时候这边的这个力的和
FA啊我们就求出来了
那MA和MB不一样
所以FB MA FA不一样
它们之间就有差值了
整体平衡
当然这个小的局部也是平衡的
你想想这边和这边的力不一样
你们说
在它的底侧的这个纵向面上
会不会受到力的作用
肯定的
如果没有力的话
那就不平衡了是吧
它就开始飞起来
有加速度就开始动了
那平衡说明底下这个部分梁段
就会对它的这个部分有作用
就作用在这个底面上
而且呢方向呢应该是怎么样
啊跟它们怎么样
是平行的
是吧
那么就是沿着底侧的这个面
就会有力的这种作用了
那么现在呢我们来看一看
两端的这个轴向的内力
它的差值应该是多少
对于dx这一段上两端的差值是什么
我们看到就是FB和FA的差
我们可以算出来算它绝对值的差
就是这个右端的这个FB这个M呢是由于在这儿的M
由于梁段的增量有了一个M的增量
所以就是MA+dM
而左边
A截面上的弯矩还是MA
所以两个差值我们可以看到就是dM比上I SZ星号
这是什么
这是距离
dx这么一段线两边这个小的面积上
这个轴线方向
内力的差
那单位长度上又是多少呢
所以我们给它除以一个dx
就表示了这个单位长度上这个内力的这个差值
把dF带进来
所以就变成第dM/dx
然后这是还是I这个呢还是静矩
所以我们可以看到就是变成了什么
dM dx内力的关系
这就是截面上的剪力
SZ星号比上这个关于
截面关于中性轴的惯性矩
我们把这个叫做什么
剪切流
剪切流
它所代表的物理意义
就是横截面上距离中性轴y1以外的那个面上
轴向内力沿着轴的变化率
这个就是剪切流
注意这个剪切流是很有用的
我们后边会提到这个 好啦
刚才我们已经说了
两边的这个内力的和FAFB不一样
所以肯定底面有顺着它们方向的这个力的作用
由于我们取得这个dx这个段非常微小
所以我们可以近似的认为
在底下这个面上这个力
它的分布是均匀的
由此我们可以得到这个底下底侧这个面上的它的什么
剪应力应该是多大
如果我们就在这个位置
取一个单元体的话
那么我们把它放大的话
可以看到底面上会有可以看到
跟这儿的这个剪力方向一样的什么
这个时候剪应力
根据剪应力互等
那么这个面上就会有什么
头对头尾对尾
我们看到头对头
这应该有向下的这个剪应力
类似的这个面这个面剪应力我们可以画出来
这是剪应力互等告诉我们的
那这个面是什么呢
这个面不就是在这儿的这个面嘛
就是指的横截面上在y1的这个地方
它的什么
剪应力
这是横截面上的剪应力
是吧
由此我们就可以算到它们是等值的方向
都对着它们这个相交的这个边
所以在距离中性轴y1的地方
这个横截面上的剪应力
我们就可以算出来
dF要比上这个面积dx乘以b
我们把刚才得出来的那个dF给它带进来
就是DMI然后SZ星号
除以dx和b dx和b现在我们看什么
看dMdX是吧
我们来看这里的dM比上dx
是吧
它就是什么
横截面的什么
剪力因此我们可以得到了
横截面上
距离中心轴y1的地方的它的剪应力的表达式
剪力与这个位置开始算起的
从Y1开始算起的以外的横截面
关于中性轴的静距
然后除以整个截面关于中性轴的惯性距
还除以现在y1这个位置横截面它的宽度
这个就是我们讲的
横截面在这个位置的剪应力的计算公式
我们来看啊
如果横截面上的剪力比较大的话
当然这个剪应力就大了
对吧
那么这个时候我们还要看你这个求的那个点
是在横截面的什么位置上
那么从这个点开始画一条横线
从这一点开始
以外的那个面积部分面积横截面的部分面积
对于中性轴的静矩
它越大的话
那么这个剪应力也就越大
这个呢横截面关于中性轴的惯性距越大的话
对吧
你想想它的尺度越大
是吧
那么剪应力就会越小
在这里的宽度越大的话
那么沿着这一条上面平均算的话
那是不是就越小
那是不是就越小
这个就是我们所说的剪应力的这个表达式
我们这样子来进行计算
接下来我们来讨论一下
比如说我们现在呢
说要让这个梁去受一个载荷
比如说那边固定这边自由
我们这边有一个力作用上来
现在呢我们只有一块比较薄的板
这样一压的话
那么它的强度不够
所以我们想到的一个很好的很方便的一个方法是什么
那大家可能就想到我们能不能把这个板给它摞起来
摞起来是不是强度就增加了呢
没错
本来是一个板
承受这载荷现在是若干板
摞起来以后共同承受这样的载荷
如果不加螺栓的话
那你想想
那么等于它们板和板相互接触
所以压的话变形
它们变形是相同的
那么它这个力是怎样的
肯定也分担了
那现在呢如果是我们再用螺栓
把这个板我们用螺栓
给它固定起来
在这儿安一个螺栓
而后在这个位置又有一个螺栓
把它们整体固定起来
整体固定是什么
那么它是怎么样
它就变成一个整体了
所以横截面的它的这些性质应该是
摞起来以后形成的整个的这个面
作为横截面作为整体
它这样一个性质
来带入到什么这些应力的计算去
那么现在就问大家
你加了这个螺栓以后
这个螺栓会受力吗
你用螺栓一个一个一层一层的板给它连起来
那它一弯的话一层一层
你觉着会不会有所错动啊
你拿你的书弯一下试试看你就知道了
是吧
那这个时候螺栓的受力是怎样的呢你觉着
好好想一下啊螺栓受力是怎么样的
那如果我们要给它摞起来
就这几块板去承受一个比较大的一个载荷的话
那你这个螺栓选择多大的合适啊
螺栓是受力吗
对吧
那么剪切流这个时候就好解释了
你这个要螺栓多远来布置啊
距离多远来布置这个螺栓呢是吧
那剪切流那个小q是什么意思啊
单位长度
那么你这个轴向的这个内力是多少
对吧
是剪切流
那你就是分担到什么
距离这么远
一个螺栓受这个力
对吧
如果让你进行设计的话
你应该选择什么样的螺栓
所以剪切流有很强的物理意义的
在这里就可以用到
好接下来我们来讨论一下矩形截面上
剪应力的分布的情况
我们来看一下
我们想看一看距离中性轴
y这个地方它的剪应力应该是多少
我们需要计算的是什么
需要计算就从这个位置开始
以外的横截面积
关于整个横截面的中性轴
它的静矩
按照静矩的定义
是吧
那么我们需要知道这个面上各个点
到中性轴的距离
在这个面上进行积分
是吧
那么在这个时候这个dA怎么来算
比较方便呢我们来看啊这个时候
距离中性轴y1的地方
我们取了这dy1这么一条
那么这个小面积上各个点
到中性轴的距离近似都是多少
都是y1
所以我们就这样来进行计算就比较方便了
那么这个dA呢就是b乘上dy1
这是这个宽度乘上dy1
就是这个dA的面积
那么这一块的话
那它的上下限我们可以看到这应该是什么
上限
就是到这里是二分之h
从这到这里啊
下限就是多少呢
我们可以看到就是y
所以从y到h/2
这是第dy1的变化
那么按照这样的定积分计算的结果
我们就可以得出来这个
从这开始以外的面积
关于中性轴的静矩就是二分之b
乘以四分之h的平方减去y平方
显然它是跟y是什么呀
平方有关系的
y不一样
那么这个静矩就不一样
也就是说距离中性轴的这个距离不一样的话
外边的这块面积
关于中性轴的静矩就是怎么样呢
这是一个什么曲线啊
二次曲线
是什么样的曲线啊
抛物线
这样的抛物线
好了
静矩计算出来
我们就可以来看它的这个应力的这个分布的状况了
剪应力的分布
我们可以看到τ 剪力 静矩
关于中性轴的惯性距
还有它的宽度的这个情况
矩形截面
那么它的宽度都是b没有问题
所以我们把sZ星号带进来
就是这个2次曲线
整个截面剪力是不变的
是一个常量
整个截面关于中性轴的惯性矩也是一个常量
所以它的分布状况就是这样的一个什么
我们可以看到就是抛物线
就是抛物线我们可以看到y等于0的时候
它具有什么
最大值
对吧
而y等于正负h/2的时候
我们可以看到括号里这一项就怎么样得零
所以两端是零
然后在中性轴的时候
这个地方那么剪应力达到了最大
那这个剪应力的方向显然跟这个面的什么
跟这个面的剪力的方向是一致的
如果这个剪力是向下的话
所以这个面上每一个横向直线段上面
的剪应力大小都是一样的
方向也都是一样的
那么它的大小就是怎么样呢
就是这样的一个抛物线的分布哪里最大呢
显然是这里是中性轴上
个点应该是最大的
这个就是矩形截面的
它的剪应力的分布的状况
我们把这个Y等于0
我们来看看它的这个最大值
这h/2的平方
我们可以写成这样
写成这样以后注意这个I又可以写成bh3/12
带进去以后我们可以看到它就等于3/2FS比上A
A是什么
横截面的面积
如果我们按照平均值来算的话
那么我们可以看到最大剪应力
那就出现了比较大的误差
是吧
我们看到它并不是平均分布的啊
是这样子的分布
最大值是平均值的1.5倍
这是我们看到的矩形截面上的剪应力的分布
我们再来看一下梁用得很多的时候
我们是用的是什么样呢
是这样的一个工字型的这样的一个截面
我们来看一下距离中性轴Y这个地方
剪应力应该是多少
我们可以算出来
这个时候它的从这开始以外的面积
关于中性轴的静矩
我们可以算出来
由这个式子来表示
也是跟y的二次方有关系
这也是一个2次曲线
好
有了这个静矩的表达式
我们就可以得到了横截面上剪应力的表达式
是吧
FSSZ星号IZ比上B
等于
这个时候这个部分不变
我们把Sz星号带进来
所以这个就是啊
工字形截面的它的各点的剪应力的表达式
显然在这个Y
等于比较大的时候
那么这个时候剪应力是比较小的
我们来看一下
y等于正负h的时候
那么会有最小的剪应力
最小的剪应力
我们可以看到啊
就等于它注意Y等于正负2分之h的时候
这一下没有了
所以就是等于它
那么这个地方都是正的是减去y平方
所以y等于0的话
那么这个横截面上具有什么
最大的剪应力
y等于0
也就是说是中性轴上可以看到啊
在中性轴上剪应力是最大的
我们可以看到最大的剪应力就应该等于它
我们也可以画出来
这个时候啊
工字形截面上剪应力分布的情况
由于这个地方
它的宽度啊有比较大的变化
所以呢我们看到实际上
剪应力的分布应该是这样的一个情况啊
在这个地方的时候
我们看到二次曲线抛物线没问题
最大值两端最小
这边呢实际上由于它的宽度突然的增加
所以这边很快的一个变化
是这样的一个情况
这个就是我们讲的工字形截面的
它的剪应力这个分布
梁在不同截面的剪力不同的话
那么它的最大的剪应力
我们可以按照下面的式子来进行计算
那么刚才我们所说的
最大的剪应力是指的一个横截面上
最大剪应力是在中性轴上
那对于整个梁而言
我们讲需要去找到什么
最大剪力作用的地方
那么这个时候呢我们
要求这个最大的这个剪应力
应该在许可使用的范围之内
这个就是我们所说的梁
剪切强度准则
好
那么下面呢最后呢我们给大家出一个思考题
这个思考题是什么呢
比如说我们现在这是一个桥
一个桥上面有载重的啊
大型的货车从桥上驶过
那我们这个时候来分析一下
在什么时候啊
出现正应力最大
在什么地方啊出现
剪应力最大
分析一下
要注意啊你这个载重的车要从桥上走的话
就意味着这个距离是怎么样的
是不是在变化的
那大家就要去分析
F作用的位置不同的话
那他的剪力图弯矩图会有怎样的变化呀
对吧
你作用的位置不一样的话
那么显然这个地方的约束力不一样
那剪力就有变化吧
剪力图
那弯矩呢同样也有变化
所以怎么来确定最大的
正应力和最大的剪应力呢
我们数学上已经说了
最大值是怎么样来求得
如果它是某些
量的一个函数的话
我们怎么来求它的最大值呢
所以请大家课后去练习一下
来看看跟这个到底是一个什么样的关系
好吧
特别要注意
这个时候的弯曲剪应力
在整个面上的分布
不是均匀的
在中性轴上是最大的
两端是0
为什么
根据剪应力互等
我们看到梁的上边的面底下的面是没有
这个沿着轴向的应力作用的
所以当然啊剪应力互等上下两端
它的剪应力是为零
所以一定要注意这个问题
另外还要注意我们得出来的这个公式
这个静矩到底是指的什么
你求哪一点的啊横截面上哪一点的
剪应力的话
就应该是从这个位置开始
以外的横截面
关于中性轴的静矩
就等于那一块的面积与
这一块面积它的y坐标的
它的形心的y坐标的乘积
这个要特别注意
今天我们给大家介绍了
如何来分析
横截面上的剪应力
也就是梁的弯曲剪应力
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业