弯曲剪应力在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习梁

横截面上的剪应力如何进行计算

我们说梁

它如果我们画它的剪力图和弯矩图的话

那么它横截面上不仅有弯矩

而且还有剪力的话

那么我们讲它就叫做横力弯曲

这个时候有剪力的话

那么横截面上肯定就会有剪应力

我们需要对这种弯曲剪应力来进行分析计算

首先我们来介绍剪切流的概念

对于这个弯曲剪应力

我们说一般情况下

那么横截面上的正应力

是处于主导的地位

也就是说它是强度计算的主要的因素

但是当梁跨度比较小

截面呢又窄又高的时候

那这个时候截面上的剪应力就有比较大的数值

需要进行强度的校核啊

剪切强度的校核

剪切流

我们来看一下是什么意思呢

我们现在从梁上截取了一个微段

dx这么长一段

由于剪力的存在

我们说两端截面的它的弯矩就不同

A截面上它的弯矩我们记为MA

那么从A经过了dx

显然这个截面它就有弯矩的增量

那么这个时候

B截面上的弯矩我们记成MB

距离中性层

y的位置上的它的正应力

我们可以按照正应力的公式分别计算出来

这个是A截面上距离中性层y的地方

它的正应力

而这个呢就是B截面上

距离中性层y的地方的

它的正应力

显然这两个正应力由于MA和MB的不同而不同

我们现在呢在距离中性层y1的地方

我们又给他沿着纵向面截了一刀

然后我们来看看上面

这一个薄层里面啊

它的情况受力的情况

我们来看这边这个截面和这面这个截面

显然由于MA和MB的不同

两边的对应的这个点上的正应力

也是不一样的

我们来看一下现在这个小的截面

也就是所说的

fghj这个小的横截面上的

它的内力的和应该是多少

我们给它记成FB距离y的地方

那它的应力应该是这么大

在整个截面上

它的这个和呢

我们就是在这个小的这个矩形截面上求和

也就是关于这个面进行积分

MB和I是指的整个截面上的它的弯矩

以及整个截面

关于中性轴的惯性矩

所以跟这个小的dA是没有关系的

提出去

变成了这个样子

那么我们就可以看到等于负的

MBI我们把它这一项记成SZ星号

这个SZ星号

我们可以看到就是ydA在这个小面积上

fghj这个小面积上的积分

这个式子又让我们想起了什么呢

又想起了啊这个截面的质心的这个公式

截面的形心的这个公式

好

那它就应该等于这个横截面的面积和

这一小块面积的它的形心的y坐标

我们记成y一拔

这也是它的这个几何意义

我们就把这个SZ星号记作

这一小块面积关于横截面

中性轴的静矩

这个叫做静矩

显然面积乘以长度

因此我们可以看到这个静矩的单位

它是米的三次方

好

这是什么

这是这个面上的轴向的内力的和

类似的

我们可以求得左端的这个小的面积上的它的内力的和

就需要把这个式子里的MB换成谁呀

换成MA就可以了

我们可以看到这个时候这边的这个力的和

FA啊我们就求出来了

那MA和MB不一样

所以FB MA FA不一样

它们之间就有差值了

整体平衡

当然这个小的局部也是平衡的

你想想这边和这边的力不一样

你们说

在它的底侧的这个纵向面上

会不会受到力的作用

肯定的

如果没有力的话

那就不平衡了是吧

它就开始飞起来

有加速度就开始动了

那平衡说明底下这个部分梁段

就会对它的这个部分有作用

就作用在这个底面上

而且呢方向呢应该是怎么样

啊跟它们怎么样

是平行的

是吧

那么就是沿着底侧的这个面

就会有力的这种作用了

那么现在呢我们来看一看

两端的这个轴向的内力

它的差值应该是多少

对于dx这一段上两端的差值是什么

我们看到就是FB和FA的差

我们可以算出来算它绝对值的差

就是这个右端的这个FB这个M呢是由于在这儿的M

由于梁段的增量有了一个M的增量

所以就是MA+dM

而左边

A截面上的弯矩还是MA

所以两个差值我们可以看到就是dM比上I SZ星号

这是什么

这是距离

dx这么一段线两边这个小的面积上

这个轴线方向

内力的差

那单位长度上又是多少呢

所以我们给它除以一个dx

就表示了这个单位长度上这个内力的这个差值

把dF带进来

所以就变成第dM/dx

然后这是还是I这个呢还是静矩

所以我们可以看到就是变成了什么

dM dx内力的关系

这就是截面上的剪力

SZ星号比上这个关于

截面关于中性轴的惯性矩

我们把这个叫做什么

剪切流

剪切流

它所代表的物理意义

就是横截面上距离中性轴y1以外的那个面上

轴向内力沿着轴的变化率

这个就是剪切流

注意这个剪切流是很有用的

我们后边会提到这个 好啦

刚才我们已经说了

两边的这个内力的和FAFB不一样

所以肯定底面有顺着它们方向的这个力的作用

由于我们取得这个dx这个段非常微小

所以我们可以近似的认为

在底下这个面上这个力

它的分布是均匀的

由此我们可以得到这个底下底侧这个面上的它的什么

剪应力应该是多大

如果我们就在这个位置

取一个单元体的话

那么我们把它放大的话

可以看到底面上会有可以看到

跟这儿的这个剪力方向一样的什么

这个时候剪应力

根据剪应力互等

那么这个面上就会有什么

头对头尾对尾

我们看到头对头

这应该有向下的这个剪应力

类似的这个面这个面剪应力我们可以画出来

这是剪应力互等告诉我们的

那这个面是什么呢

这个面不就是在这儿的这个面嘛

就是指的横截面上在y1的这个地方

它的什么

剪应力

这是横截面上的剪应力

是吧

由此我们就可以算到它们是等值的方向

都对着它们这个相交的这个边

所以在距离中性轴y1的地方

这个横截面上的剪应力

我们就可以算出来

dF要比上这个面积dx乘以b

我们把刚才得出来的那个dF给它带进来

就是DMI然后SZ星号

除以dx和b dx和b现在我们看什么

看dMdX是吧

我们来看这里的dM比上dx

是吧

它就是什么

横截面的什么

剪力因此我们可以得到了

横截面上

距离中心轴y1的地方的它的剪应力的表达式

剪力与这个位置开始算起的

从Y1开始算起的以外的横截面

关于中性轴的静距

然后除以整个截面关于中性轴的惯性距

还除以现在y1这个位置横截面它的宽度

这个就是我们讲的

横截面在这个位置的剪应力的计算公式

我们来看啊

如果横截面上的剪力比较大的话

当然这个剪应力就大了

对吧

那么这个时候我们还要看你这个求的那个点

是在横截面的什么位置上

那么从这个点开始画一条横线

从这一点开始

以外的那个面积部分面积横截面的部分面积

对于中性轴的静矩

它越大的话

那么这个剪应力也就越大

这个呢横截面关于中性轴的惯性距越大的话

对吧

你想想它的尺度越大

是吧

那么剪应力就会越小

在这里的宽度越大的话

那么沿着这一条上面平均算的话

那是不是就越小

那是不是就越小

这个就是我们所说的剪应力的这个表达式

我们这样子来进行计算

接下来我们来讨论一下

比如说我们现在呢

说要让这个梁去受一个载荷

比如说那边固定这边自由

我们这边有一个力作用上来

现在呢我们只有一块比较薄的板

这样一压的话

那么它的强度不够

所以我们想到的一个很好的很方便的一个方法是什么

那大家可能就想到我们能不能把这个板给它摞起来

摞起来是不是强度就增加了呢

没错

本来是一个板

承受这载荷现在是若干板

摞起来以后共同承受这样的载荷

如果不加螺栓的话

那你想想

那么等于它们板和板相互接触

所以压的话变形

它们变形是相同的

那么它这个力是怎样的

肯定也分担了

那现在呢如果是我们再用螺栓

把这个板我们用螺栓

给它固定起来

在这儿安一个螺栓

而后在这个位置又有一个螺栓

把它们整体固定起来

整体固定是什么

那么它是怎么样

它就变成一个整体了

所以横截面的它的这些性质应该是

摞起来以后形成的整个的这个面

作为横截面作为整体

它这样一个性质

来带入到什么这些应力的计算去

那么现在就问大家

你加了这个螺栓以后

这个螺栓会受力吗

你用螺栓一个一个一层一层的板给它连起来

那它一弯的话一层一层

你觉着会不会有所错动啊

你拿你的书弯一下试试看你就知道了

是吧

那这个时候螺栓的受力是怎样的呢你觉着

好好想一下啊螺栓受力是怎么样的

那如果我们要给它摞起来

就这几块板去承受一个比较大的一个载荷的话

那你这个螺栓选择多大的合适啊

螺栓是受力吗

对吧

那么剪切流这个时候就好解释了

你这个要螺栓多远来布置啊

距离多远来布置这个螺栓呢是吧

那剪切流那个小q是什么意思啊

单位长度

那么你这个轴向的这个内力是多少

对吧

是剪切流

那你就是分担到什么

距离这么远

一个螺栓受这个力

对吧

如果让你进行设计的话

你应该选择什么样的螺栓

所以剪切流有很强的物理意义的

在这里就可以用到

好接下来我们来讨论一下矩形截面上

剪应力的分布的情况

我们来看一下

我们想看一看距离中性轴

y这个地方它的剪应力应该是多少

我们需要计算的是什么

需要计算就从这个位置开始

以外的横截面积

关于整个横截面的中性轴

它的静矩

按照静矩的定义

是吧

那么我们需要知道这个面上各个点

到中性轴的距离

在这个面上进行积分

是吧

那么在这个时候这个dA怎么来算

比较方便呢我们来看啊这个时候

距离中性轴y1的地方

我们取了这dy1这么一条

那么这个小面积上各个点

到中性轴的距离近似都是多少

都是y1

所以我们就这样来进行计算就比较方便了

那么这个dA呢就是b乘上dy1

这是这个宽度乘上dy1

就是这个dA的面积

那么这一块的话

那它的上下限我们可以看到这应该是什么

上限

就是到这里是二分之h

从这到这里啊

下限就是多少呢

我们可以看到就是y

所以从y到h/2

这是第dy1的变化

那么按照这样的定积分计算的结果

我们就可以得出来这个

从这开始以外的面积

关于中性轴的静矩就是二分之b

乘以四分之h的平方减去y平方

显然它是跟y是什么呀

平方有关系的

y不一样

那么这个静矩就不一样

也就是说距离中性轴的这个距离不一样的话

外边的这块面积

关于中性轴的静矩就是怎么样呢

这是一个什么曲线啊

二次曲线

是什么样的曲线啊

抛物线

这样的抛物线

好了

静矩计算出来

我们就可以来看它的这个应力的这个分布的状况了

剪应力的分布

我们可以看到τ 剪力 静矩

关于中性轴的惯性距

还有它的宽度的这个情况

矩形截面

那么它的宽度都是b没有问题

所以我们把sZ星号带进来

就是这个2次曲线

整个截面剪力是不变的

是一个常量

整个截面关于中性轴的惯性矩也是一个常量

所以它的分布状况就是这样的一个什么

我们可以看到就是抛物线

就是抛物线我们可以看到y等于0的时候

它具有什么

最大值

对吧

而y等于正负h/2的时候

我们可以看到括号里这一项就怎么样得零

所以两端是零

然后在中性轴的时候

这个地方那么剪应力达到了最大

那这个剪应力的方向显然跟这个面的什么

跟这个面的剪力的方向是一致的

如果这个剪力是向下的话

所以这个面上每一个横向直线段上面

的剪应力大小都是一样的

方向也都是一样的

那么它的大小就是怎么样呢

就是这样的一个抛物线的分布哪里最大呢

显然是这里是中性轴上

个点应该是最大的

这个就是矩形截面的

它的剪应力的分布的状况

我们把这个Y等于0

我们来看看它的这个最大值

这h/2的平方

我们可以写成这样

写成这样以后注意这个I又可以写成bh3/12

带进去以后我们可以看到它就等于3/2FS比上A

A是什么

横截面的面积

如果我们按照平均值来算的话

那么我们可以看到最大剪应力

那就出现了比较大的误差

是吧

我们看到它并不是平均分布的啊

是这样子的分布

最大值是平均值的1.5倍

这是我们看到的矩形截面上的剪应力的分布

我们再来看一下梁用得很多的时候

我们是用的是什么样呢

是这样的一个工字型的这样的一个截面

我们来看一下距离中性轴Y这个地方

剪应力应该是多少

我们可以算出来

这个时候它的从这开始以外的面积

关于中性轴的静矩

我们可以算出来

由这个式子来表示

也是跟y的二次方有关系

这也是一个2次曲线

好

有了这个静矩的表达式

我们就可以得到了横截面上剪应力的表达式

是吧

FSSZ星号IZ比上B

等于

这个时候这个部分不变

我们把Sz星号带进来

所以这个就是啊

工字形截面的它的各点的剪应力的表达式

显然在这个Y

等于比较大的时候

那么这个时候剪应力是比较小的

我们来看一下

y等于正负h的时候

那么会有最小的剪应力

最小的剪应力

我们可以看到啊

就等于它注意Y等于正负2分之h的时候

这一下没有了

所以就是等于它

那么这个地方都是正的是减去y平方

所以y等于0的话

那么这个横截面上具有什么

最大的剪应力

y等于0

也就是说是中性轴上可以看到啊

在中性轴上剪应力是最大的

我们可以看到最大的剪应力就应该等于它

我们也可以画出来

这个时候啊

工字形截面上剪应力分布的情况

由于这个地方

它的宽度啊有比较大的变化

所以呢我们看到实际上

剪应力的分布应该是这样的一个情况啊

在这个地方的时候

我们看到二次曲线抛物线没问题

最大值两端最小

这边呢实际上由于它的宽度突然的增加

所以这边很快的一个变化

是这样的一个情况

这个就是我们讲的工字形截面的

它的剪应力这个分布

梁在不同截面的剪力不同的话

那么它的最大的剪应力

我们可以按照下面的式子来进行计算

那么刚才我们所说的

最大的剪应力是指的一个横截面上

最大剪应力是在中性轴上

那对于整个梁而言

我们讲需要去找到什么

最大剪力作用的地方

那么这个时候呢我们

要求这个最大的这个剪应力

应该在许可使用的范围之内

这个就是我们所说的梁

剪切强度准则

好

那么下面呢最后呢我们给大家出一个思考题

这个思考题是什么呢

比如说我们现在这是一个桥

一个桥上面有载重的啊

大型的货车从桥上驶过

那我们这个时候来分析一下

在什么时候啊

出现正应力最大

在什么地方啊出现

剪应力最大

分析一下

要注意啊你这个载重的车要从桥上走的话

就意味着这个距离是怎么样的

是不是在变化的

那大家就要去分析

F作用的位置不同的话

那他的剪力图弯矩图会有怎样的变化呀

对吧

你作用的位置不一样的话

那么显然这个地方的约束力不一样

那剪力就有变化吧

剪力图

那弯矩呢同样也有变化

所以怎么来确定最大的

正应力和最大的剪应力呢

我们数学上已经说了

最大值是怎么样来求得

如果它是某些

量的一个函数的话

我们怎么来求它的最大值呢

所以请大家课后去练习一下

来看看跟这个到底是一个什么样的关系

好吧

特别要注意

这个时候的弯曲剪应力

在整个面上的分布

不是均匀的

在中性轴上是最大的

两端是0

为什么

根据剪应力互等

我们看到梁的上边的面底下的面是没有

这个沿着轴向的应力作用的

所以当然啊剪应力互等上下两端

它的剪应力是为零

所以一定要注意这个问题

另外还要注意我们得出来的这个公式

这个静矩到底是指的什么

你求哪一点的啊横截面上哪一点的

剪应力的话

就应该是从这个位置开始

以外的横截面

关于中性轴的静矩

就等于那一块的面积与

这一块面积它的y坐标的

它的形心的y坐标的乘积

这个要特别注意

今天我们给大家介绍了

如何来分析

横截面上的剪应力

也就是梁的弯曲剪应力

谢谢大家