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下一节:梁的弹性设计

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弹性设计课程教案、知识点、字幕

各位同学大家好

今天我们来学习有关弹性构件的设计

以及梁的设计的有关问题

对于构件的弹性设计

我们主要考虑如下的几个方面的内容

首先是强度设计

它具体来讲会涉及到强度校核截面的尺寸的设计

以及许用载荷的计算和材料的选择四个方面

其次弹性设计涉及到刚度的设计

所谓的刚度设计

就是指的按照工程的需求对构件进行设计

以保证它在确定的外载荷的作用下

弹性位移通常是指的最大的位移

或指定位置处的位移不超过规定的数值

这个就是所谓的刚度设计

除了刚度和强度方面的设计

我们说还有一个重要的方面

这就是我们所说的稳定性的设计

有关稳定性的设计问题

我们会在第九章中来讨论

下面我们就来看看有关梁的强度的设计

首先我们要确定的是到底哪个地方它是危险的

也就是说我们先要确定危险截面和危险点

我们来看这两个梁的例子

简支梁整个梁段是均布载荷

这个是局部梁段受有均布载荷

我们可以画出它的剪力图和弯矩图

通过它的这个剪力图和弯矩图

我们可以看到对于这个梁

看这两个支撑所在的这个平面

它的剪力是比较大的

我们再来看中间截面它的弯矩是最大的

所以我们就把这个剪力最大以及弯矩

最大所在的截面认为是危险的它就是危险截面

而对于右边这个梁我们可以看到是什么样呢

它的剪力图是这样弯矩图是这样

在这里我们可以看到这个剪力比较大

在这呢剪力也比较大

我们可以认为它是危险截面这里呢

这个截面它的弯矩最大

我们也可以说它是什么

是危险截面弯矩出现最大了

但是现在

要让大家注意的地方是什么

大家来看这个截面剪力也比较大

跟这边这个截面上的剪力是一样大的

而在这个地方对应的弯矩呢

我们可以看到弯矩的值也是相当可观

所以这样的截面我们认为它也是什么也是危险截面

所以我们画内力图就帮着我们能够方便的

确定出危险截面在哪里除了看内力图之外

我们说还要根据构件截面的形状以及尺寸

还有材料——这个梁选择什么样的材料

它的力学的性能来判断综合的判断哪里是危险截面

你比如说现在这个梁

如果它的截面是这样的一个梯形的截面的话

显然中性轴到两端的距离是不一样的

如果我们选择的是什么样的材料

比如说铸铁拉压强度不一这样性能的材料的话

那你看看

有可能这边的应力我们讲同样的弯矩的情况下

这边的应力明显大于这边的正应力

正应力两边是不一样的

所以我们要结合这些方面的因素

综合的考虑来判断出哪里是危险截面

看到了它的弯矩图是这样的

是吧

这让我们想起之前讲的那个例子

还记不记得那个T字形截面铸铁的那个梁

类似这样的情况

所以危险截面要综合考虑

除了我们刚才所说的这些个危险截面

我们还要确定在这个面上的危险点是哪里

因为横截面上它的应力不是均匀分布的

所以我们还要确定危险点在哪里

你比如说我们现在看到一个工字形的这样的一个梁

危险点呢我们说通常有这样的三类

第一类是这个点和这个点就是1点和5点

这是最大正应力作用的地方的点

由于在这个地方剪应力是零

所以它们处于一种什么样的应力状态呢

单向应力状态还有一类危险点是什么

我们看中性轴上的点

由于它在中性轴上所以正应力为零

但是剪应力达到了最大

所以这也是一类危险点

还有一类危险点是什么

看到这个工字型的截面工字钢所制成的梁

那么这一点和这一点我们可以看到

它的剪应力和正应力都比较大

这也是危险点

我们可以画出这些危险点的单元体

我们来看看它的这个应力状态

以及对应的设计准则是怎样的

刚才说了

这两个点是最大正应力作用的点包括拉和压

那么显然它们是处于单向的应力状态

中性轴上的这个危险点

第二类危险点是纯剪切的应力状态

而这个地方剪应力和正应力都比较大的地方

我们可以看到又有剪应力又有正应力

所以它是处于平面应力状态

我们在考虑它的强度问题的时候

进行梁的强度设计的时候

应该考虑各应力状态下它的失效形式

那么要看它的材料是属于怎样的

到底是脆性的材料还是韧性的材料

我们来看看

对于最大拉或压应力作用的这个危险点

我们说不管它材料是韧性的还是脆性

也不管采用哪一种的失效的判据

我们得到的这个设计准则

都是具有这样相同的形式

最大的应力应该是在许用值的范围之内

对于拉压强度不等的话

你比如说铸铁这种材料

那么我们还得要分别采用最大的拉应力

在许可的范围之内

最大的压应力也在许可使用的范围之内

来进行强度的这个设计

对于最大切应力作用的点

就是第二类危险点

如果是脆性材料的话

我们说采用的是最大拉应力准则

得到的设计准则就是最大的切应力

应该小于等于许用的正应力

为什么呢

我们画一下应力圆我们可以看到

最大这个剪应力最小剪应力

显然它们是在直径上的两个点

差180度嘛

我们画出它的应力圆就应该是这样

所以这个就表示的是什么最大的拉应力

它的值显然跟这儿的最大的切应力应该是一样

所以最大的拉应力就是最大的切应力

应该小于等于许用的拉应力是这样子的

如果是韧性材料我们说就要选择第三强度理论

最大切应力准则最大和最小正应力差的一半

最大最小主应力的差应该小于等于许用的拉应力

或者是我们用到畸变能密度准则

第四强度理论

我们可以得到设计准则τmax

就是最大的剪应力

应该小于等于1/2的许用的正应力

或者最大的剪应力小于等于1/√3的许用的正应力

我们举这个例子来说

我们来看到在纯剪切应力状态

它的应力圆应该是这样子的

那么这边呢

是最大的主应力这个呢是那个最小的主应力

它们两个相减是吧

一正一副所以我们可以看到

就是什么二倍的这个关系

因此刚刚我们得到的那个设计准则

就是1/2的是这样关系

如果我们把这个三个主应力

一个等于正τ一个等于负τ

中间的那个是零

代到第四强度理论里边

我们就可以得到了

是根号3/1的那个式子

那么现在呢我们来考察一下

既有正应力又有切应力作用的危险点

也就说第三类的危险点

如果是脆性材料的话

我们应用的是什么

第一强度理论

我们要来看它的最大的拉应力应该小于许用值

最大的拉应力是什么

我们可以看到按照应力变换

我们可以看到最大值等于(σx+σy)/2

那么σy是零所以只有σ

就是我们讲的这一类的

是吧

第三类的危险点所以(σx+σy)/2

当然就是有σ我们说

应该是加上根号((σx-σy)/2)^2

那也就剩下σ了是吧再加上τxy的平方

也就是τ^2嘛

所以这个式子不就是它吗

我们把1/2提出去不就变成它了吗

这就是最大的拉应力应该小于许用值

这是什么脆性材料

而如果是韧性材料的话

那么我们好比说对应最大切应力准则

或者是畸变能密度准则的话

得到的这个准则就应该是什么

我们可以看到

√(σ^2+4τ^2 )小于等于许可使用的正应力

如果是第四强度理论的话

那就是4τ^2就变成了3τ^2

还是通过应力变换的公式

我们可以得到最大

与最小这个应力就差在什么地方

你是取加号还是取减号

那这个时候我们可以看到

第一组应力和最小主应力它们之间的差

可以看到这个抵消了它减去负的它

那不就是什么两倍的根号吗

两倍的根号是什么意思

我们可以看到不就这个式子吗

就得到了

这是什么第三强度理论

我们再来看这个这是什么

我们看到最大就是第一主应力

最小呢是第三主应力

而第二主应力呢就是零

那么我们把σ1 σ2 σ3带到那个强度理论那个公式里面

我们也就可以得到了这个结果

那么这两个式子是非常重要的

希望大家能够记清楚

同时把这个单元体画在这儿

一起来记这样的一个平面应力状态的时候

应用第三强度理论应用第四强度理论

它的这个强度准则应该是这样的

设计的步骤

当然

第一步我们通过它的受力分析画剪力图

和弯矩图来确定出来可能的危险截面在什么地方

第二

要根据危险截面上内力的实际的方向

确定应力分布以及最大正应力和最大切应力作用点

综合考虑材料的力学性能来确定可能的危险点

这是第二步

第三步

我们要根据危险点的应力状态

区分是脆性材料还是韧性材料

选择合适的设计准则来解决各类的强度问题

在强度校核方面

我们只需对三类危险点来进行验算

看是否满足强度准则

如果是那么它就是安全的

否则就是不安全的

对于截面尺寸的设计

如果材料的拉压许用应力相等的话

我们可以先按最大正应力点来进行设计

确定所需要的最小的弯曲的截面系数

就是抗弯截面模量

按照这个式子来进行计算

对于拉压许用应力不等的脆性材料

我们应该分别考虑拉压强度进行设计

要注意我们通常是按照什么

就是第一第五

就是第一类危险点来进行设计

那么设计出尺寸以后

我们去校核第二类和第三类危险点

如果它们满足强度的要求

设计就宣告完成

如果校核第二第三类危险点不符合要求的话

那么我们就需要对于设计的那个尺寸进行调整

然后再去进行校核直到满意为止

计算梁所能承受的最大外加载荷的时候

也是先从最大正应力点的设计准则出发

计算出许可的载荷值

然后再对第二和第三类危险点

按照刚才的那种步骤来做强度的校核

需要指出的对于实心的截面杆

在一般受力的情况下

横截面上的正应力是远远大于切应力的

所以多数的情况下

只要保证最大的正应力点具有足够的强度

我们说就可以保证第二第三类危险点

具有足够的强度

因此可以不对这两类危险点

再进行强度校核了

但是要注意的

对于那些个薄壁的截面

特别是一些非轧制型钢的组合截面

这两类危险点都要进行强度的校核

这是我们今天从理论上

怎么样来进行构件的弹性设计

以及梁的强度设计进行了讨论

这是我们今天知识点的内容

有关梁的强度设计或者刚度设计的具体的计算

我们在下一个知识点给大家进行介绍

谢谢大家

材料力学课程列表:

第一章 绪论

-1-1 材料力学的任务

--材料力学的任务

--第1-1节作业

-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形

--基本假设、内力、杆的基本变形

--第1-2节作业

-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--第1-3节思考题讨论

第二章 拉伸、压缩与剪切

-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

-- 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

--第2-1节作业

- 2-2 应变,杆斜截面上的应力

--应变,杆斜截面上的应力

--第2-2节作业

- 2-3-1 材料的力学性能(一)

--材料的力学性能(一)

--第 2-3-1作业

- 2-3-2 材料的力学性能(二)

--材料的力学性能(二)

--第 2-3-2作业

-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比

--胡克定律、轴向变形和泊桑比

--第 2-4-1作业

-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷

--安全系数,许用应力,许用载荷

--第 2-4-2作业

-2-5-1 静不定(超静定)系统

--静不定(超静定)系统

--第 2-5-1作业

-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)

--静不定(超静定)系统(续)

--第 2-5-2节作业

-2-6 热应力和变形

--热应力和变形

--第 2-6节作业

-2-7 剪切和挤压

--剪切和挤压

--第 2-7节作业

第三章 扭转

-3-1 扭转,扭矩

--扭转,扭矩

--第 3-1节作业

- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--第 3-2节作业

-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力

--受扭转构件横截面上的剪应力

--第 3-3节作业

- 3-4 扭转变形

--扭转变形

--第 3-4节作业

-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定

--扭转构件的设计 扭转静不定

--第 3-5节作业

第4章 弯曲内力

-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

--梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律

--剪力图和弯矩图(一)

--剪力图和弯矩图(二)

--第 4-2节作业

-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--第 4-3 节作业

第五章 弯曲应力

-5-1 弯曲正应力

--弯曲正应力

--第 5-1节作业

-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩

--横截面关于中性轴的惯性矩

--第 5-2节作业

-5-3 梁的设计

--梁的设计

--第 5-3节作业

-5-4 弯曲剪应力

--弯曲剪应力

--第 5-4节作业

第六章 弯曲变形

- 6-1 挠曲微分方程,边界条件

--挠曲微分方程,边界条件

--第 6-1节作业

-6-2 积分法

--积分法

--第 6-2节作业

-6-3 静不定

--静不定

--第 6-3 节作业

-6-4 叠加法

--叠加法

--第 6-4节作业

-6-5 简单静不定梁

--简单静不定梁

--第 6-5节作业

第七章 应力状态分析及强度理论

- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--第 7-1节作业

-7-2 平面应力变换

--平面应力变换

--7-2 节作业

- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--第 7-3节作业

-7-4 强度理论概述 断裂准则

--强度理论概述 断裂准则

--第 7-4节作业

-7-5 屈服准则

--屈服准则

--第 7-5节作业

-7-6 莫尔强度理论

--莫尔强度理论

--第 7-6节作业

第八章 组合变形

- 8-1 关于两个主轴的弯曲

--关于两个主轴的弯曲

--第 8-1节作业

-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--第 8-2节作业

-8-3 弹性设计

--弹性设计

--第 8-3节作业

-8-4 梁的弹性设计

--梁的弹性设计

--第 8-4节作业

-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)

--轴的强度设计

--第 8-5节作业

-8-6 提高梁抗弯能力的措施

--提高梁抗弯能力的措施

--第 8-6节作业

第九章 压杆稳定

-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力

--屈曲 细长压杆的临界压力

--第 9-1节作业

-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--第 9-2节作业

-9-3 提高压杆稳定性的措施

--提高压杆稳定性的措施

--第 9-3节作业

第十章 动载荷

-10-1. 冲击,动荷系数

--冲击,动荷系数

--第 10-1节作业

-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性

--用动静法求应力和变形 冲击韧性

--第 10-2节作业

第十一章 交变应力

- 11-1 交变应力、持久极限

--交变应力、持久极限

--第 11-1节作业

-11-2 影响持久极限的因素

--影响持久极限的因素

--第 11-2节作业

-11-3 疲劳强度

--疲劳强度

--第 11-3节作业

第十二章 能量法

-12-1 应变能

--应变能

--第 12-1节作业

-12-2 互换定理

--互换定理

--第 12-2节作业

-12-3 卡氏定理,应用

--卡氏定理,应用

--第 12-3节作业

- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法

--卡氏定理应用:虚构载荷法

--第 12-4节作业

- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--第 12-5节作业

-12-6 图乘法

--图乘法

--第12-6节作业

第十三章 静不定结构

- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)

--静不定结构、正则方程(一次静不定)

--第 13-1节作业

- 13-2 正则方程(高次静不定系统)

-- 正则方程(高次静不定系统)

--第 13-3 节作业

-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构

--利用对称性与反对称性分析静不定结构

--第 13-4节作业

弹性设计笔记与讨论

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