3.11 质点系角动量、角动量定理和角动量守恒定律*在线视频

同学好 这一节我们讲质点系的角动量

角动量定理和角动量守恒定律

这是带星号的内容

假设有N个粒子组成的质点系

那么比如说某个粒子受到的外力用F来表示

它们粒子之间的相互作用内力呢用f来标记

那么这个质点呢

相对于某一个固定点O的矢径呢用r来表示

当然这个固定点O是在惯性系上

那么这个时候呢

其中某一个粒子

比如说第i个粒子的运动方程应该是什么样的呢

那根据我们前面讲的质点的角动量定理

我们可以把这个方程写出来

这个粒子受到的总的力矩

应该等于它的角动量时间变化率

那这里面这个力矩呢

既包含外力矩

也包含其它粒子对它的相互作用内力提供的内力矩

那么这里面有N个粒子

所以其它粒子也有类似的方程

我们一共有N个类似的方程

把这些方程统统加起来的话

我们就得到这个式子

那这里面呢是所有的外力矩以及所有的内力矩

它是等于每个粒子角动量变化率的总和

我们先看一看这里面内力矩

因为内力啊总是一对一对出现的

假如说这个i粒子受到j粒子的作用力的话

那么j粒子也受到i粒子的作用

而这两个作用力呢是一对作用力和反作用力

所以我们计算这个内力矩的时候呢

我们把这一对一对作用力和反作用力放在一起求和

先看看i和j这两个粒子的情况

那么它们之间的相互作用提供的内力矩应该是什么呢

比如说ri×fij就是i粒子受到j粒子这个内力的力矩

同样的它的反作用力j粒子受到i粒子这个力呢

它的力矩应该是rj叉上这个

可是它们是一对作用力和反作用力啊

所以这个式子呢我们可以把它很容易改写成这个式子

现在ri减去rj这个矢量呢

实际上就是连接ij这个连线的这段矢量

那么假如说i和j的相互作用内力是沿着连线方向的

那当然这个叉积是等于零的

那么以这种方式 我们把其它所有粒子之间的

相互作用力矩统统加起来的话

当然还是等于0

那么这个结论呢

当这个内力不是沿着它们之间连线方向的时候

也是成立的

不过那个时候这个证明比较复杂

我们不在这做

这样总的力矩就只剩下总的外力矩了

那么总的内力矩和呢就等于0

所以我们得到这个式子

这里面导数和求和运算是可以交换次序的

所以这个式子呢也可以先把这个角动量求和

它正好是这个质点系的总的角动量

然后再对这个时间求导数

所以我们得到了这样一个定理

质点系所受到的总的外力矩

等于这个质点系总的角动量对时间的变化率

这当然是相对于某一点而言的

当然那一点也是惯性系

假如这个质点系不受外力矩

或者总的外力矩是等于0的时候

当然总的角动量时间变化率是等于0

所以总的角动量就是一个常矢量

也就是说角动量是守恒的

对于绕固定轴的情况

假如说现在这个固定轴是z轴

有质点系 这个z轴上有个O点

那么对这个质点系来说

对于O点的角动量定理是

这个质点系所受到总的力矩

等于这个质点系总的角动量对时间的变化率

这当然是一个矢量式子

当然对于这个z轴的分量式子也是成立的

那么这个就是绕着固定轴的角动量定理

那这里面沿着z轴的力矩

沿着z轴的总的角动量具体表达式呢

在以后的刚体内容里面给出

那么对这个系统 假如说沿着z轴的力矩是等于0的话

当然我们就有沿着这个轴的总的角动量

就是一个守恒量

这就是绕固定轴的角动量守恒定理

下面我们讨论一个例子

这是银河系 它具有扁平的这种盘状结构

实际上现在的研究表明它是棒旋星系

这里面这个pc啊是代表长度单位

那么一个pc呢它是等于3.26光年

所以我们看到这个银河系

这个盘的这个直径啊大概有十万光年

我们这个太阳呢 大概是在银河系的这个边缘

银河系的中心集中了主要的这个质量

那么银河系呢它也是转动的

它绕着这个垂直于这个盘的这个轴

有一个角动量 这个角动量是一个守恒量

正是这个角动量 使得星系通常呈现扁盘状结构

你想一想 恒星之间的引力

倾向于把这些恒星拉到一起

可是在垂直于转轴的这个方向上

由于恒星是做转动的

所以呢它受到一个离心力

这个离心力阻止这个恒星向轴靠近

沿着这个轴的方向呢

恒星之间的引力把恒星拉到一起

因为它们没有其它的阻碍

这就形成了扁盘状结构

那么这些恒星的速度是怎么分布的呢

由于银河系的质量主要集中在银河系的中心

所以恒星假如说是做圆周运动的话

它这个向心力啊

主要由银河中心的这个引力提供

这个引力当然是跟r平方成反比

这里面这个r呢是恒星距离银河中心的距离

我们把这个式子稍微化一化我们就会得到

这个速度呢 是和r根号分之一成正比

也就是说恒星距离这个银河系中心远的时候

它的速度是小的

可是实际观测结果呢

实际观测结果显示啊

所有这些恒星

除了这个银河系中心以外的这些恒星

它们的速度啊都在210-240km/s这个之间

是一个不变量 它不随着这个距离改变

基本是一个常量

现在用牛顿力学预测的这个结果

和实验观测结果不符合

这一点你当然要追究

那么如果你仔细分析想知道是什么原因的话

你会发现这里面有各种各样可能的原因

最极端的你甚至可以怀疑牛顿力学是不是正确的

但目前比较流行的观点是

这里面可能有一些看不见的物体

它们的引力没有包含在我们的这个计算中

所以导致了理论计算结果和实验的观测不符合

那么这个看不见的物质啊

我们把它叫做暗物质

现在呢很多物理学家和天文学家

都接受了暗物质这个概念

甚至估算出暗物质占整个宇宙质量的四分之一

那么可见物质呢

可见物质只占宇宙总物质的百分之四

所以这个暗物质是我们这些可见物质的6倍

我们这个周围啊可能也是到处都有暗物质

当然这个暗物质的密度比较小啊

虽然有很多间接证据支持暗物质这个假说

可是到目前为止呢

我们还没有从实验上探测到暗物质

再举一个天文的例子

从外太空呢观测到电磁脉冲信号

那么这里面这个时间间隔呢是1秒

所以我们可以看到这个脉冲的周期比1秒多一点

那么如此精确的周期性

那么这个脉冲是从何而来的呢

当然我们猜测可能是星体发出来的

那么我们把这个星体呢叫做脉冲星

星体绕着固定轴的角动量是一个守恒量

所以呢这个脉冲星呢也是有一个自转周期的

那么我们想这个脉冲星啊实际上

可能是在某一个方向上辐射电磁波

因为它是自转的

所以说当这个辐射电磁波的方向

扫到地球这个方向的时候

我们就观察到它这一个脉冲

当这个脉冲星再转过来的时候

我们又观测到一个脉冲

所以实际上我们观察到的这个脉冲周期

其实就是脉冲星的自转周期

可是这个周期也太快了 对吧

我们现在还观测到有些这类脉冲啊

它的这个周期是1毫秒

那么在这样快的这个旋转速度下

通常的星体都会解体

因为转的太快的话离心力太大

也就把这个星体不是撕裂了吗

假设这样的脉冲星在这么快的转速下不解体的话

那么一定是它的引力要大于这个离心力

这个结果你整理一下我们就得到了

这个脉冲星的密度必须大于某一个值

这里面这个ω实际上就是对应的

这个星体自转的角速度

我们把这个周期1s或者1ms代到这里面

我们就得到这个密度是非常非常大的

只有一类星才满足这个条件

就是所谓的中子星

什么是中子星呢

就是你所有的原子啊都被挤碎了

电子呢都跑到原子核里面了

跑到原子核里面和质子反应变成了中子

所以整个星体都是只有中子组成的

那当然这个星体的密度是非常非常大的

这样的中子星可以满足这样的条件

所以我们说脉冲星实际上是中子星

好 这一节就讲到这儿 谢谢