当前课程知识点:大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 3.11 质点系角动量、角动量定理和角动量守恒定律*
同学好 这一节我们讲质点系的角动量
角动量定理和角动量守恒定律
这是带星号的内容
假设有N个粒子组成的质点系
那么比如说某个粒子受到的外力用F来表示
它们粒子之间的相互作用内力呢用f来标记
那么这个质点呢
相对于某一个固定点O的矢径呢用r来表示
当然这个固定点O是在惯性系上
那么这个时候呢
其中某一个粒子
比如说第i个粒子的运动方程应该是什么样的呢
那根据我们前面讲的质点的角动量定理
我们可以把这个方程写出来
这个粒子受到的总的力矩
应该等于它的角动量时间变化率
那这里面这个力矩呢
既包含外力矩
也包含其它粒子对它的相互作用内力提供的内力矩
那么这里面有N个粒子
所以其它粒子也有类似的方程
我们一共有N个类似的方程
把这些方程统统加起来的话
我们就得到这个式子
那这里面呢是所有的外力矩以及所有的内力矩
它是等于每个粒子角动量变化率的总和
我们先看一看这里面内力矩
因为内力啊总是一对一对出现的
假如说这个i粒子受到j粒子的作用力的话
那么j粒子也受到i粒子的作用
而这两个作用力呢是一对作用力和反作用力
所以我们计算这个内力矩的时候呢
我们把这一对一对作用力和反作用力放在一起求和
先看看i和j这两个粒子的情况
那么它们之间的相互作用提供的内力矩应该是什么呢
比如说ri×fij就是i粒子受到j粒子这个内力的力矩
同样的它的反作用力j粒子受到i粒子这个力呢
它的力矩应该是rj叉上这个
可是它们是一对作用力和反作用力啊
所以这个式子呢我们可以把它很容易改写成这个式子
现在ri减去rj这个矢量呢
实际上就是连接ij这个连线的这段矢量
那么假如说i和j的相互作用内力是沿着连线方向的
那当然这个叉积是等于零的
那么以这种方式 我们把其它所有粒子之间的
相互作用力矩统统加起来的话
当然还是等于0
那么这个结论呢
当这个内力不是沿着它们之间连线方向的时候
也是成立的
不过那个时候这个证明比较复杂
我们不在这做
这样总的力矩就只剩下总的外力矩了
那么总的内力矩和呢就等于0
所以我们得到这个式子
这里面导数和求和运算是可以交换次序的
所以这个式子呢也可以先把这个角动量求和
它正好是这个质点系的总的角动量
然后再对这个时间求导数
所以我们得到了这样一个定理
质点系所受到的总的外力矩
等于这个质点系总的角动量对时间的变化率
这当然是相对于某一点而言的
当然那一点也是惯性系
假如这个质点系不受外力矩
或者总的外力矩是等于0的时候
当然总的角动量时间变化率是等于0
所以总的角动量就是一个常矢量
也就是说角动量是守恒的
对于绕固定轴的情况
假如说现在这个固定轴是z轴
有质点系 这个z轴上有个O点
那么对这个质点系来说
对于O点的角动量定理是
这个质点系所受到总的力矩
等于这个质点系总的角动量对时间的变化率
这当然是一个矢量式子
当然对于这个z轴的分量式子也是成立的
那么这个就是绕着固定轴的角动量定理
那这里面沿着z轴的力矩
沿着z轴的总的角动量具体表达式呢
在以后的刚体内容里面给出
那么对这个系统 假如说沿着z轴的力矩是等于0的话
当然我们就有沿着这个轴的总的角动量
就是一个守恒量
这就是绕固定轴的角动量守恒定理
下面我们讨论一个例子
这是银河系 它具有扁平的这种盘状结构
实际上现在的研究表明它是棒旋星系
这里面这个pc啊是代表长度单位
那么一个pc呢它是等于3.26光年
所以我们看到这个银河系
这个盘的这个直径啊大概有十万光年
我们这个太阳呢 大概是在银河系的这个边缘
银河系的中心集中了主要的这个质量
那么银河系呢它也是转动的
它绕着这个垂直于这个盘的这个轴
有一个角动量 这个角动量是一个守恒量
正是这个角动量 使得星系通常呈现扁盘状结构
你想一想 恒星之间的引力
倾向于把这些恒星拉到一起
可是在垂直于转轴的这个方向上
由于恒星是做转动的
所以呢它受到一个离心力
这个离心力阻止这个恒星向轴靠近
沿着这个轴的方向呢
恒星之间的引力把恒星拉到一起
因为它们没有其它的阻碍
这就形成了扁盘状结构
那么这些恒星的速度是怎么分布的呢
由于银河系的质量主要集中在银河系的中心
所以恒星假如说是做圆周运动的话
它这个向心力啊
主要由银河中心的这个引力提供
这个引力当然是跟r平方成反比
这里面这个r呢是恒星距离银河中心的距离
我们把这个式子稍微化一化我们就会得到
这个速度呢 是和r根号分之一成正比
也就是说恒星距离这个银河系中心远的时候
它的速度是小的
可是实际观测结果呢
实际观测结果显示啊
所有这些恒星
除了这个银河系中心以外的这些恒星
它们的速度啊都在210-240km/s这个之间
是一个不变量 它不随着这个距离改变
基本是一个常量
现在用牛顿力学预测的这个结果
和实验观测结果不符合
这一点你当然要追究
那么如果你仔细分析想知道是什么原因的话
你会发现这里面有各种各样可能的原因
最极端的你甚至可以怀疑牛顿力学是不是正确的
但目前比较流行的观点是
这里面可能有一些看不见的物体
它们的引力没有包含在我们的这个计算中
所以导致了理论计算结果和实验的观测不符合
那么这个看不见的物质啊
我们把它叫做暗物质
现在呢很多物理学家和天文学家
都接受了暗物质这个概念
甚至估算出暗物质占整个宇宙质量的四分之一
那么可见物质呢
可见物质只占宇宙总物质的百分之四
所以这个暗物质是我们这些可见物质的6倍
我们这个周围啊可能也是到处都有暗物质
当然这个暗物质的密度比较小啊
虽然有很多间接证据支持暗物质这个假说
可是到目前为止呢
我们还没有从实验上探测到暗物质
再举一个天文的例子
从外太空呢观测到电磁脉冲信号
那么这里面这个时间间隔呢是1秒
所以我们可以看到这个脉冲的周期比1秒多一点
那么如此精确的周期性
那么这个脉冲是从何而来的呢
当然我们猜测可能是星体发出来的
那么我们把这个星体呢叫做脉冲星
星体绕着固定轴的角动量是一个守恒量
所以呢这个脉冲星呢也是有一个自转周期的
那么我们想这个脉冲星啊实际上
可能是在某一个方向上辐射电磁波
因为它是自转的
所以说当这个辐射电磁波的方向
扫到地球这个方向的时候
我们就观察到它这一个脉冲
当这个脉冲星再转过来的时候
我们又观测到一个脉冲
所以实际上我们观察到的这个脉冲周期
其实就是脉冲星的自转周期
可是这个周期也太快了 对吧
我们现在还观测到有些这类脉冲啊
它的这个周期是1毫秒
那么在这样快的这个旋转速度下
通常的星体都会解体
因为转的太快的话离心力太大
也就把这个星体不是撕裂了吗
假设这样的脉冲星在这么快的转速下不解体的话
那么一定是它的引力要大于这个离心力
这个结果你整理一下我们就得到了
这个脉冲星的密度必须大于某一个值
这里面这个ω实际上就是对应的
这个星体自转的角速度
我们把这个周期1s或者1ms代到这里面
我们就得到这个密度是非常非常大的
只有一类星才满足这个条件
就是所谓的中子星
什么是中子星呢
就是你所有的原子啊都被挤碎了
电子呢都跑到原子核里面了
跑到原子核里面和质子反应变成了中子
所以整个星体都是只有中子组成的
那当然这个星体的密度是非常非常大的
这样的中子星可以满足这样的条件
所以我们说脉冲星实际上是中子星
好 这一节就讲到这儿 谢谢
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