当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 3.4 变质量问题*
这一节 我们开始讲变质量问题
这是单星号内容
假如说一个质点系如果质量在发生变化
我们说这是变质量问题
这一节呢我们通过一个具体的例子来讨论这个问题
就是火箭发射过程
火箭怎么发射天空的 实际上是它燃烧这些燃料
那么燃料呢剧烈的化学反应燃烧然后快速地向后喷出
通过反作用力呢这个火箭获得了一个向前的速度
这个过程我们有一个牛顿方程
就是这个质点系受到的一个牛顿方程
这是总的重力 这是总的摩擦力就是空气阻力
然后这个是总动量对时间的变化
我们为了讨论方便呢我们简化这个问题
假设这个火箭呢是不受空气阻力的
另外我们假设这个火箭呢是沿着竖直方向运动的
所以呢我们可以沿着竖直方向建一个坐标轴
假设燃料相对于火箭喷出的这个速率呢 是u
它是固定不变的
这个时候啊我们沿着这个竖直方向
质点系的运动方程就写成这个形式
因为重力是向下的所以这个是负号
那么这是一个变质量问题
所以当你求总动量对时间导数的时候要格外小心
我们这样 我们考虑t到t+dt时刻
这个动量的变化率
t时刻这个火箭总的动量当然是总的质量乘上它的速度
在dt这个时间呢我们要考虑这个燃料啊是喷出来的
喷出来的这些质量我们把它叫做dm
那么t+dt这个时刻这个系统呢总得动量等于多少呢
火箭减去喷出来的这个燃料部分
获得了v+dv这个速度
这是一部分动量
还有一部分动量呢因为它不是向后喷出来了吗
它也带走了一部分动量
它的动量呢是质量乘上这个速度
我们说这个u是相对于火箭的这个速度是u
所以喷出来的燃料相对于地面的速度就是v-u
那么t到t+dt这个时间内动量的改变
就是这个值和这个t时刻值的差值
差了之后啊我们忽略掉2阶的高阶小量
比如说两个dm乘上dv这样的量式啊可以忽略掉
这样我们得到动量的改变是这个式子
考虑到燃料跑出来的这部分dm
实际上你也可以想象成总得火箭质量的减少量
所以它是-dM
把这个式子代到这里面再回代到这里面
我们就得到了下面这个式子
整理一下我们得到这个式子
对它我们很容易积分
积分是从某一个初始速度到末态速度
那么这个时间呢是从初始时间到一个末态时间
总的燃料燃烧了多少呢 小m这么多
所以后来的这个质量啊就变成了
初始时刻的火箭质量减去燃料的这些质量
那么这个积分我们很容易做出来
它是等于这一块
所以我们可以看到火箭获得的这个速度啊
和燃料相对于火箭喷出的这个相对速度u有密切的关系
所以这就要求你这个燃料的质量要高
另一方面呢我们看到质量这一项啊实际上是ln这一项
我们对ln函数我们知道
它是增长很慢的一个函数
所以我们说如果你要让火箭获得一个足够大的数的话
你需要很大的燃料消耗它才能达到
好 这一节我们就讲到这儿 谢谢
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