当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 6.5 非线性振动简介**
下面我们简要的介绍一下非线性振动
前面讨论的简谐振动都是线性的
我们以单摆为例
这个大家都知道
所谓平衡位置 就是摆角θ等于零的时候
我们叫平衡位置
当摆角为θ的时候
这个摆球 受到重力的切向分力
这个切向分力应该是-mgsinθ
这是mg 这是θ
好 那么切向的牛顿方程应该是
力等于质量乘加速度
注意 l是这个摆长
θ两点 代表角加速度
l乘上θ两点 就是其摆球的切向加速度
这是切向的牛顿方程
同样 引入角频率
根号g/l ω0作为角频率
就是这个振动的本征角频率
好 这个单摆的动力学方程是这个样子的
θ两点加上ω0平方sinθ等于0
不管你的θ角 大还是小这个方程总是满足的
我们先看小角度摆动的情况 θ角比较小
这个时候sinθ≈θ
这个时候 作用在摆球上的切向力
你把sinθ换成θ
是一个标准的线性回复力 也叫准弹性力
它跟-kx是一样的
它起的作用和弹性力是一样的
这个时候描述摆球的动力学方程
是线性微分方程
sinθ用θ代表 这是个线性微分方程
它的解是θ=Θcos(ω0t+φ)
大写的Θ0代表角振幅
角度上达到最大的位置
这就是线性系统 所谓线性系统
就是动力学方程是线性微分方程的系统
我们叫线性系统
线性系统 有下面性质
对线性系统来说
它的动力学方程有唯一的严格解
由这个系统的微分方程 有唯一的严格解
给定初始条件 任意时刻的状态
比如单摆的摆角和角速度
完全可以决定和可以预测
这个理念
一般称为拉普拉斯决定论的因果关系
就是线性系统存在这个因果关系
你给初始条件
你可以预测 任意时刻这个单摆的摆角
和它的角速度
如果这个摆角不是很小
这个sinθ写不出θ的形式
那我把sinθ做Taylor展开
θ减去六分之一θ立方等等等等
我代到这个方程里
我得到的微分方程哪
是个非线性微分方程
这种用非线性微分方程
所描述的振动系统 我们叫非线性系统
我们简单介绍一下 非线性系统的基本性质
在非线性系统中
一般不存在决定论中的因果关系
你知道这个初始条件
你也未必能预测任意时刻 摆角和角速度
一个小小的扰动常常会引起大的差异
这就是所谓的蝴蝶效应
在一定条件下
甚至会出现某种貌似随机的行径
这就是所谓的混沌
大家注意 是貌似随机
这个混沌现象的随机性
与布朗运动的随机性是不同的
布朗运动的随机性 服从的是概率论
而混沌源于动力学方程中的非线性
它是一种内在的随机性
或者叫做决定性的混乱
下面我们看一个演示实验 小混沌摆
实际上 线性系统
只是实际力学系统的很小的一部分
自然界中更多的是非线性系统
对非线性系统的研究
一直是科学技术中的一个热点
但是直接求解非线性微分方程
至今仍是一个难题
对大多数的非线性系统
只能采用相应的定性的方法来研究
目前还没有形成普遍适用的理论
好 这一节就讲到这 谢谢
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