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3.8 两体问题*在线视频

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3.8 两体问题*课程教案、知识点、字幕

同学好这一节我们讲两体问题

这是单星号内容

我们经常可以遇到两个物体相互作用的体系

比如说地球和月球体系

比如说氢原子里面质子和电子

这类问题我们统称为两体问题

现在考虑两个物体构成的一个体系

先建立坐标系

那么这两个物体之间的相互作用力呢

当然是作用力和反作用力

我们假设这一对作用力呢是沿着这个连线方向

那么在这个惯性系里面呢

我们可以分别把这两个质点的运动方程写出来

就是这个

这两个方程你把它加起来那么左边式子就抵消了

右边式子加起来就等于0

这样两个物体构成体系的质心的加速度

我们知道可以用这个式子来计算

现在这个是等于0啦

所以质心加速度就是等于0

所以我们可以这样说

这两个物体体系的质心系是个惯性系

为了方便我们引入相对坐标

相应于这个相对坐标的一次导数就是相对速度

两次导数就是相对加速度

那么利用这个式子和这个式子

我们可以把这个两个物体的加速度

分别用相对加速度表示出来

把这两个加速度带到运动方程

我们得到这样一个式子

这里面呢出来一个μ

这个μ啊我们把它叫做折合质量

那它当然跟原来质点的质量m1和m2的关系

是一个倒数关系

所以对两体体系

运动方程实际上是它们之间的相互作用力

等于折合质量乘上它们之间的相对加速度

这个本来是两个物体的问题

现在我们化成了一个方程

你可以这样看这个方程

相当于只有一个物体

这个物体受了f这样的力

而这个物体的质量呢是这个折合质量

这个物体的加速度呢

其实就是这两个物体之间的相对加速度

当然两体问题化为单体问题的话

问题不是变得简单了吗

下面我可以给大家举一个例子

考虑一个单摆

摆长是l 小摆的质量呢是m

那么这个呢是竖直线是它的平衡位置

那么小摆在摆动比较小的时候啊

它基本上是直线运动

那么这个小摆距离平衡位置的这个位移我们可以记为x

那这个时候小摆受到的力啊

我们以前做过它是等于mgx/l

这里面这个负号就表示这个摆所受到的力呢

总是指向平衡位置

那么它等于ma

这里面这个加速度啊我们用x两点来表示

把这个式子整理一下

我们得到了这样一个形式

这里面这个ω呢其实就是这个摆的振动的圆频率

在这里面推导过程中我们很容易发现

此时这个圆频率平方它等于g/l

那么根据这个圆频率

我们可以推导出这个单摆的振动周期

就是等于这个式子

当然这个是大家在中学里面非常熟悉的式子

下面啊我们把这个问题稍微弄复杂一点

假设这个小摆啊是挂在一个小车上

小车质量是M

这个小车呢可以在这个水平方向上自由移动

就相当于和地面的摩擦力我们可以忽略

那这个时候呢

摆摆动的时候啊这个小车也在运动

如果这个时候你要问

摆的振动周期是什么的话

当然这个比刚才的问题要稍微复杂一些

那是因为对这个系统在水平方向上我们不受力

我们可以把这个系统啊当成两体系统

就是摆和小车构成的两体系统

那么这个系统呢在这个方向上

它的质心加速度当然是等于0了

我们刚前面推导过

那么假设我们一开始让这个质心处于静止状态的话

那么摆摆动的过程当中

整个系统的这个质心位置一直会保持静止不动

我们先看一下演示实验

我们看到由于这个质心它是不动的

所以摆摆过来的时候呢小车就过去了

摆回去的时候小车就回来

对于这个问题我们计算摆的振动周期的话

我们利用两体这个处理方法它会变得比较简单

因为对两体运动系统我们有一个运动方程

和我们现在这个单摆的运动方程相比较的话

力当然它是不改变的

这里面这个加速度呢 x两点这个加速度啊

实际上是摆相对于悬挂点的这个相对加速度

而这个悬挂点相对与小车是固定的

所以说这个加速度呢

也就是摆相对于小车的相对加速度

所以和这个两体问题的运动方程相比较

我们只需要把这里面的这个质量啊

用折合质量μ代替的话这个方程就成立了

那这里面μ我们前面给过

这个折合质量倒数是等于两个质量倒数的和对吧

我们把这个折合质量代入这里面

整理一下这个形式还是不变的

只是这个圆频率平方前面多了一个因子

那么根据这个新的圆频率

我们再把这个摆的周期计算出来的话呢

我们会发现它这里面多了这么一项

我们看到把摆挂到小车上的时候啊

这个摆的振动周期啊变小了

也就是说这个摆呢振动的变快了

在这个式子里面假如让这个M也就是小车的质量

趋于无限大的话

这个摆的这种周期又回到了原来

这个摆悬挂在固定点时候的那个情况

好这个问题我们就讲到这儿谢谢

大学物理1 (力学、热学)课程列表：

绪论

-绪论

力学-第一章质点动力学

-1.1 参考系、坐标系和质点

-1.2 位移和速度

-1.3 平面极坐标速度表示**

-1.5 匀加速运动

-1.6 抛体运动

-质点动力学(一)

-1.7 匀速圆周运动

-1.8 变速圆周运动加速度*

-1.9 相对运动速度和加速度

-质点动力学(二)

-本章作业

-第一章课件

第二章牛顿定律

-2.1 牛顿第一定律

-2.2 牛顿第二、三定律

-2.3 常见的几种力

-2.4 基本的自然力*

-牛顿三定律、常见力

-2.5 应用牛顿定律解题

-应用牛顿定律解题

-2.6 平动非惯性系

-2.7 转动非惯性系* ( 离心力和科氏力)

-2.8 傅科摆*

-2.9 引潮力与潮汐**

-2.10 引潮力现象**

-惯性力, 潮汐力

-本章作业

-第二章课件

第三章动量、角动量与守恒定律

-3.1 冲量与动量定理

-3.2 质点系动量定理

-3.3 动量守恒定律

-3.4 变质量问题*

-动量, 冲量, 动量守恒

-3.6 质心系*、力矩

-3.7 质心运动定理*

-质心与质心运动定理

-3.8 两体问题*

-两体问题

-3.9 质点角动量、角动量定理

-3.10 角动量守恒定律

-3.11 质点系角动量、角动量定理和角动量守恒定律*

-3.12 质心系角动量、角动量定理*

-质点和质点系角动量,角动量守恒

-本章作业

-第三章课件

第四章功、能和能量守恒

-4.1 功和动能定理

-4.2 一对力的功

-功和动能

-4.3 保守力和势能

-4.4 由势能求保守力、梯度*

-4.5 均匀球体的引力**

-引力,保守力和势能

-4.6 势能曲线

-4.7 功能原理和机械能守恒定律

-4.8 有心力场中质点运动简介1**

-4.9 有心力场中质点运动简介2**

-势能曲线、功能原理和有心力场

-4.10 克尼希定理

-4.11 质心系中的功能原理*

-克尼希定理、质心系中的功能原理

-4.12 流体的定常流动*

-4.13 伯努利方程*

-流体简介

-本章作业

-第四章课件

第五章刚体定轴转动

-5.1 刚体的运动

-5.2 刚体定轴转动（运动学）

-5.3 刚体的定轴转动定律

-5.4 转动惯量的计算

-5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

-5.6 定轴转动的功能原理

-5.7 刚体的平面运动*

-5.9 刚体定轴转动小结

-刚体定轴转动（一）--作业

-刚体定轴转动（二）

-本章作业

-第五章课件

第六章振动

-6.1 简谐振动

-6.2 旋转矢量图和复数表示

-6.3 简谐振动能量的能量特征

-6.4 谐振分析**

-6.5 非线性振动简介**

-简谐振动, 频谱, 非线性振动简介

-6.6 同振动方向同频率简谐振动合成

-6.7 同振动方向不同频率简谐振动合成、拍和拍频

-同振动方向振动合成

-6.8 振动方向互相垂直的同频率简谐振动合成

-6.9 振动方向互相垂直的不同频率简谐振动合成

-不同振动方向振动合成

-6.10 阻尼振动＊

-6.11 受迫振动*

-6.13 品质因数*

-本章作业

-第六章课件

第七章波

-7.1 简谐波的产生

-7.2 简谐波的波函数(1)

-7.3 简谐波的波函数(2)

-7.4 简谐波的能量(1)

-7.5 简谐波的能量(2)

-简谐波

-7.7 惠更斯原理波的衍射、反射和折射

-7.8 机械波的半波损失

-惠更斯原理、机械波的半波损失

-7.9 波的叠加和干涉

-7.10 驻波（一）

-7.11 驻波（二）

-7.12 简正模式和简正频率

-波的叠加和干涉驻波

-7.13 机械波的多普勒效应（一）

-7.14 机械波的多普勒效应（二）

-7.15 电磁波（光）的多普勒效应

-7.16 冲击波

-多普勒效应

-7.17 波动方程的推导**

-7.18 波的吸收*

-7.19 色散、复波和群速度*

-本章作业

-第七章课件

第八章狭义相对论

-8.1 时空变换

-8.2 绝对时空观和伽利略变换

-8.3 狭义相对论的基本假设（一）

-8.4 狭义相对论的基本假设（二）

-8.5 洛伦兹变换（一）

-8.6 洛伦兹变换（二）

-8.7 同时性的相对性

-8.8 时间延缓

-8.9 长度收缩

-8.10 洛伦兹协变矢量和洛伦兹变换不变量**

-洛仑兹变换

-8.11 相对论速度合成（一）

-8.12 相对论速度合成（二）

-相对论速度合成

-8.13 动量和质量

-8.14 力和加速度的关系

-8.15 相对论动能质能关系

-8.16 能量和动量的关系*

-8.17 相对论变换*

-相对论动力学基础

-本章作业

-第八章课件

热学-第九章温度和气体动理论

-9.1 宏观和微观

-9.2 统计规律

-宏观和微观

-9.3 平衡态和准静态

-9.4 理想气体温标

-9.5 理想气体压强

-9.6 温度的统计意义（一）

-9.7 温度的统计意义（二）

-温度

-9.8 麦克斯韦速率分布律

-9.9 三种速率

-9.10 麦克斯韦速度分布律

-麦克斯韦速率分布律

-本章作业

-第九章课件

第十章热量和热力学第一定律

-10.1 玻耳兹曼分布律和平均自由程（一）

-10.2 玻耳兹曼分布律和平均自由程（二）

-玻耳兹曼分布律和平均自由程

-10.3 范氏气体

-实际气体

-10.5 输运过程

-10.6 准静态过程

-10.7 功、热、内能

-10.8 热力学第一定律

-10.9 热容量

-10.10 理想气体的绝热过程

-热力学第一定律

-本章作业

-第十章课件

第十一章热力学第二定律和熵

-11.1 循环过程

-11.2 卡诺循环

-11.3 汽油机

-11.4 致冷机

-循环过程

-11.5 自然过程的方向

-11.6 热力学第二定律

-热力学第二定律

-11.7 热力学第二定律的微观意义

-11.8 热力学几率

-11.9 玻耳兹曼熵公式和熵增加原理

-11.10 玻耳兹曼分布*

-11.11 混合熵**

-11.12 熵增加原理及熵补偿原理*

-玻耳兹曼熵

-11.13 可逆过程和卡诺定理*

-11.14 热力学温标*

-11.15 克劳修斯熵公式*

-11.16 克劳修斯不等式*

-11.17 温熵图*

-11.18 熵和能量退化**

-克劳修斯熵

-11.19 克拉伯龙方程**

-11.20 冰为什么是滑的**

-气-液-固相变

-本章作业

-第十一章课件

期末考试

-期末考试--期末考试Part1

-期末考试--期末考试Part2

-期末考试--期末考试Part3

3.8 两体问题*笔记与讨论

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