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7.17 波动方程的推导**在线视频

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7.17 波动方程的推导**课程教案、知识点、字幕

同学们好

下面介绍波动方程的推导

以及波的吸收 色散和群速度的概念

我们先看波动方程的推导

我们以横波为例

这是传播横波的一个杆

Δm是这个质元的质量

面积是S 长度是Δx

f1是这个紧邻这个质元的 这个非常窄的质元

对它的作用力

f2是这个紧邻的质元对这个Δm这个质元的作用力

这个位置坐标是y

这些形变这是dy

这是dy

这个位置坐标是x

这是dx

好 我们看牛顿方程

对质元Δm来说

受的力是f1和f2

所以合力是f1-f2

我们以向上为正方向

SΔxρ代表这个质元的质量

就是Δm

这个代表这个质元沿着y方向振动的加速度

这是牛顿第二定律

好我们再看一下

f1 f2如何求得

我们看这个片段

对这个质元作用力为f2的这个片段

我们把它放大是这个样子

其中 这个f和这边的f分别是Δm对它的作用力

和这一侧的质元对它的作用力

你会看到 f2应该等于-f

按照牛顿第三定律

好dθ代表应变

在这个图中它是y对x的微商

这是dθ

dy除上dx

按照切变模量的定义

切变模量等于应力除上应变

有了这些之后

我们就可以写出f1 作用在质元Δm的那个f1

应该等于负的这个力

这个力和这个力的方向相反

大小相等

所以f1应该是负的SG乘上∂y/∂x

为什么要用偏导数呢

因为y和x有关 还和时间有关

所以我们用偏导数

同理 f2等于负SG ∂y/∂x

其中 f1是这个偏导数在x处的值

就是在这儿的值

f2是这个偏导数在x+Δx那个值 在这个位置

好了

这是按胡克定律得到的作用在质元Δm上的两个力

我们把这两个力呢 进一步作解释

这是刚才说

这个力等于它减它

大家看 这是两个函数

一个函数在x+Δx的值 减去这个函数在x那一点的值

这相当于是个微分 是个增量

我们把这个增量做泰勒展开

它就应该等于对这个函数做微商

然后呢 取在x那个值乘上Δx

为什么写约等于呢

因为我们取泰勒展开中的一级项

二级及以上的项我们忽略了

好 我把它写开

因为 这个函数关于x的偏导数

就是y关于x的二阶偏导数

我们就得到合力的表达式

把这个表达式带入牛顿方程

就得到这个结果

这是作用在Δm这个质元上的合力

这是质量乘加速度

好 我们把Δx约掉 就得到这个结果

位移关于x的二阶导数减去这个因子乘上

位移关于时间的二阶导数 等于零

下面我们说明

这个系数ρ比上G 就是波速的平方的倒数

我们取任意一个沿着x正方向传播的行波

比如 我写成这个形式

f是某个函数

t-x/u

这是右行波的一般的表达式

我为了计算方便

我假设α=t-x/u

就是这个自变量 我用α来代表

我为了计算方便

那我得到了两个式子

一个是y对x的二阶导数

就是这个函数关于x二阶导数

可以写成1/u^2

f关于α的二阶导数

这个容易看出来

复合函数的微商就可以得到

y关于t的二阶导数

就是f关于α的二阶导数

比较这两个式子

我就可以得到这个式子

对于沿着x正方向传播的行波来说

位移关于空间的二阶导数

减去位移关于时间的二阶导数

前面有个系数1/u^2 应该等于零

把这个式子与得到的方程对比

我们就得到

这个系数就等于1/u^2

好了 同时这个系数等于1/u^2告诉我们

在固体中传播的横波

它的波速就是G比ρ开方 G是切变模量

ρ是这个固体的质量密度

我们同时证明了固体中横波的波速公式

我们用相同的方法

可以证明 纵波的波速是u=√(Y/ρ)

Y是杨氏模量

ρ是介质的质量密度

于是我们得到一维机械波的波动方程

位移关于空间的二阶导数

和位移关于时间的二阶导数

乘上1/u^2 相减 等于零

其中 u就是波在这种介质中的传播速度

我们看到 这个方程是线性齐次方程

如果y1和y2是波动方程的解

它们的叠加也是方程的解

由此我们看到

满足这个微分方程的介质

波的叠加原理成立

我们知道驻波是两列行波的叠加

而行波是这个波动方程的解

所以驻波也是波动方程的解

总结一下 任何物理量 无论是位移还是电场强度

或者磁场强度

只要它与坐标x 时间t 的函数关系是波动方程的解

那么该物理量的运动的形式一定是波动

它可以是行波也可以是驻波

好 这一段我们就讲这么多

大学物理1 (力学、热学)课程列表：

绪论

-绪论

--绪论

力学-第一章 质点动力学

-1.1 参考系、坐标系和质点

-1.2 位移和速度

-1.3 平面极坐标速度表示**

-1.4 加速度

-1.5 匀加速运动

-1.6 抛体运动

-质点动力学(一)

-1.7 匀速圆周运动

-1.8 变速圆周运动加速度*

-1.9 相对运动速度和加速度

-质点动力学(二)

-本章作业

-第一章课件

第二章 牛顿定律

-2.1 牛顿第一定律

-2.2 牛顿第二、三定律

-2.3 常见的几种力

-2.4 基本的自然力*

-牛顿三定律、常见力

-2.5 应用牛顿定律解题

-应用牛顿定律解题

-2.6 平动非惯性系

-2.7 转动非惯性系* ( 离心力和科氏力)

-2.8 傅科摆*

-2.9 引潮力与潮汐**

-2.10 引潮力现象**

-惯性力, 潮汐力

-本章作业

-第二章课件

第三章 动量、角动量与守恒定律

-3.1 冲量与动量定理

-3.2 质点系动量定理

-3.3 动量守恒定律

-3.4 变质量问题*

-动量, 冲量, 动量守恒

-3.5 质心

-3.6 质心系*、力矩

-3.7 质心运动定理*

-质心与质心运动定理

-3.8 两体问题*

-两体问题

-3.9 质点角动量、角动量定理

-3.10 角动量守恒定律

-3.11 质点系角动量、角动量定理和角动量守恒定律*

-3.12 质心系角动量、角动量定理*

-质点和质点系角动量,角动量守恒

-本章作业

-第三章课件

第四章 功、能和能量守恒

-4.1 功和动能定理

-4.2 一对力的功

-功和动能

-4.3 保守力和势能

-4.4 由势能求保守力、梯度*

-4.5 均匀球体的引力**

-引力,保守力和势能

-4.6 势能曲线

-4.7 功能原理和机械能守恒定律

-4.8 有心力场中质点运动简介1**

-4.9 有心力场中质点运动简介2**

-势能曲线、功能原理和有心力场

-4.10 克尼希定理

-4.11 质心系中的功能原理*

-克尼希定理、质心系中的功能原理

-4.12 流体的定常流动*

-4.13 伯努利方程*

-流体简介

-本章作业

-第四章课件

第五章 刚体定轴转动

-5.1 刚体的运动

-5.2 刚体定轴转动（运动学）

-5.3 刚体的定轴转动定律

-5.4 转动惯量的计算

-5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

-5.6 定轴转动的功能原理

-5.7 刚体的平面运动*

-5.8 进动*

-5.9 刚体定轴转动小结

-刚体定轴转动（一）--作业

-刚体定轴转动（二）

-本章作业

-第五章课件

第六章 振动

-6.1 简谐振动

-6.2 旋转矢量图和复数表示

-6.3 简谐振动能量的能量特征

-6.4 谐振分析**

-6.5 非线性振动简介**

-简谐振动, 频谱, 非线性振动简介

-6.6 同振动方向同频率简谐振动合成

-6.7 同振动方向不同频率简谐振动合成、拍和拍频

-同振动方向振动合成

-6.8 振动方向互相垂直的同频率简谐振动合成

-6.9 振动方向互相垂直的不同频率简谐振动合成

-不同振动方向振动合成

-6.10 阻尼振动＊

-6.11 受迫振动*

-6.12 共振*

-6.13 品质因数*

-本章作业

-第六章课件

第七章 波

-7.1 简谐波的产生

-7.2 简谐波的波函数(1)

-7.3 简谐波的波函数(2)

-7.4 简谐波的能量(1)

-7.5 简谐波的能量(2)

-7.6 声波

-简谐波

-7.7 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射

-7.8 机械波的半波损失

-惠更斯原理、机械波的半波损失

-7.9 波的叠加和干涉

-7.10 驻波（一）

-7.11 驻波（二）

-7.12 简正模式和简正频率

-波的叠加和干涉 驻波

-7.13 机械波的多普勒效应（一）

-7.14 机械波的多普勒效应（二）

-7.15 电磁波（光）的多普勒效应

-7.16 冲击波

-多普勒效应

-7.17 波动方程的推导**

-7.18 波的吸收*

-7.19 色散、复波和群速度*

-本章作业

-第七章课件

第八章 狭义相对论

-8.1 时空变换

-8.2 绝对时空观和伽利略变换

-8.3 狭义相对论的基本假设（一）

-8.4 狭义相对论的基本假设（二）

-8.5 洛伦兹变换（一）

-8.6 洛伦兹变换（二）

-8.7 同时性的相对性

-8.8 时间延缓

-8.9 长度收缩

-8.10 洛伦兹协变矢量和洛伦兹变换不变量**

-洛仑兹变换

-8.11 相对论速度合成（一）

-8.12 相对论速度合成（二）

-相对论速度合成

-8.13 动量和质量

-8.14 力和加速度的关系

-8.15 相对论动能 质能关系

-8.16 能量和动量的关系*

-8.17 相对论变换*

-相对论动力学基础

-本章作业

-第八章课件

热学-第九章 温度和气体动理论

-9.1 宏观和微观

-9.2 统计规律

-宏观和微观

-9.3 平衡态和准静态

-9.4 理想气体温标

-9.5 理想气体压强

-9.6 温度的统计意义（一）

-9.7 温度的统计意义（二）

-温度

-9.8 麦克斯韦速率分布律

-9.9 三种速率

-9.10 麦克斯韦速度分布律

-麦克斯韦速率分布律

-本章作业

-第九章课件

第十章 热量和热力学第一定律

-10.1 玻耳兹曼分布律和平均自由程（一）

-10.2 玻耳兹曼分布律和平均自由程（二）

-玻耳兹曼分布律和平均自由程

-10.3 范氏气体

-10.4 相变

-实际气体

-10.5 输运过程

-10.6 准静态过程

-10.7 功、热、内能

-10.8 热力学第一定律

-10.9 热容量

-10.10 理想气体的绝热过程

-热力学第一定律

-本章作业

-第十章课件

第十一章 热力学第二定律和熵

-11.1 循环过程

-11.2 卡诺循环

-11.3 汽油机

-11.4 致冷机

-循环过程

-11.5 自然过程的方向

-11.6 热力学第二定律

-热力学第二定律

-11.7 热力学第二定律的微观意义

-11.8 热力学几率

-11.9 玻耳兹曼熵公式和熵增加原理

-11.10 玻耳兹曼分布*

-11.11 混合熵**

-11.12 熵增加原理及熵补偿原理*

-玻耳兹曼熵

-11.13 可逆过程和卡诺定理*

-11.14 热力学温标*

-11.15 克劳修斯熵公式*

-11.16 克劳修斯不等式*

-例题

-11.17 温熵图*

-11.18 熵和能量退化**

-克劳修斯熵

-11.19 克拉伯龙方程**

-11.20 冰为什么是滑的**

-气-液-固相变

-本章作业

-第十一章课件

期末考试

-期末考试--期末考试Part1

-期末考试--期末考试Part2

-期末考试--期末考试Part3

7.17 波动方程的推导**笔记与讨论

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