当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 4.9 有心力场中质点运动简介2**
大家好 这一小节我们接着上一小节讲述
有心力场当中质点的运动
我们首先讲一下有效势和轨道特征
我们上一节导出了
质点在有心力场当中的径向运动方程
这个第一项呢很显然
它跟径向速度有关
所以我们把它称为径向动能
就是1/2Mr一点方
后面这两项呢
我们合到一块把它称作有效势能
其中第一项是一个正的项
它称为离心势能
根据势能和保守力的关系我们可以知道
这个离心势能呢是等效于一个斥力项
注意啊它如果对R求导数的话
它是负的然后再加一个负号就变成正的
所以这一项对应一个斥力项
那么有了径向动能和有效势能概念之后呢
我们重新理解一下
质点在有心力场当中沿着径向运动的
它的规律是什么
这个规律可以表述成这样
就是质点沿着径向运动的时候
它的径向动能和有效势能相互转化
维持它们的和不变机械能不变
所以总结就是在径向方向的
质点相当于在一个
由有效势能描述的保守场中运动
径向的动能和有效势能相互转化
下面我们就以万有引力场为例
来给大家介绍这个径向的运动特征
对万有引力场呢我们把这个有效势当中的
有心力场换成这个万有引力场
那么我问大家一个常识
宇宙飞船运动的时候有一个近地点和远地点
那么近地点和远地点的概念是什么呢
大家看这个方程
能够说出来近地点和远地点
对应的条件是什么吗
大家想这个宇宙飞船运动过程当中
它离地球的距离是随时间变化的
近地点和远地点就意味着这个距离达到了极值
极值就意味着这个矢径对时间的导数为0
所以对于近地点和远地点而言呢
它的条件就是r1点等于0
如果从几何上看是什么呢
这时候如果r1点等于0就是径向速度为0的话
那么只有横向速度
这就意味着在近地点和远地点呢
这个宇宙飞船的速度和它的矢径是垂直的
和位矢是垂直的关系
从几何上看是这样的
这个一点呢表示力心
这个宇宙飞船这时候它的位矢呢
是和它的速度垂直的 只有横向速度
如果数学上看呢就是径向的速度它等于0
那么利用这个条件我们把它代进去
就得到了一个非常简单的
关于矢径的一个二次方程
这个解呢通常就是有一个根或者两个根
我们分别把这个结果说一下
这只是介绍我们没有证明
如果机械能小于0的话那么它会有两个根
对应的轨道就是椭圆轨道
我们把这种状态呢也称为束缚态
当这个机械能等于0的时候呢只有一个根
它对应的是抛物轨道
这个时候呢就意味着这个质点呢
刚好能够脱离万有引力场的束缚
跑到无穷远跑到无穷远的时候呢
它的动能也就为0了 消耗尽了
当这个机械能大于0的时候呢
也是一个根 对应的是双曲轨道
我们也可以把它称为非束缚态
就是它不受这个万有引力场的约束
它可以逃离这个万有引力场的束缚
那我们看一下这个图
比如说这个宇宙飞船发射
如果发射的时候宇宙飞船的机械能是大于0的
那么它对应的最后的轨道就是双曲轨道
等于0呢就刚好能够脱离地球的万有引力场
然后进入比如说进入地球公转的轨道
这个是抛物线
如果发射的时候选择的机械能是小于0的
那么它就会绕着地球转动
那这个就是椭圆轨道
当然圆轨道是椭圆轨道一个特例啊
那么我们进一步用这个势能曲线
来对这个轨道进行分析
大家看这个纵轴呢
既代表机械能又代表有效势能
大家看在这个图当中呢
这条曲线呢就是离心势能
它是正的
这个虚线呢就是万有引力势能
它是负的
它们俩合到一块的有效势能呢
大家看中间这条曲线
这条曲线的形状和我们前面讨论的
一氧化碳分子的势能曲线呢是非常相似的
它也有一个极小点
这个位置是r0
这样我们就看这张图
我们假设现在质点的机械能是大于0的
就是用这一条横线表示
E1是一个大于零的值
那么这条直线呢水平的直线
和有效势能只有一个交点
对于交点对应的坐标我们记成是r1
那么对于这种状态呢
我们刚才说过了它对应的就是双曲轨道
那么这个质点的运动范围是什么呢
大家想一下质点的距离到达这个O是力心
到达力心距离可以小于r1吗
当然不能小于r1 因为小于r1的时候
有效势能就比它的机械能大
这时候它的动能变负了
所以这是非物理情况
因为它到力心的距离呢是不可能小于r1的
这就意味着质点运动的范围呢
要从r1一直到无穷远
这个范围内运动
总结一下就是当这个机械能等于E1大于0的时候呢
它是双曲轨道
它的运动范围要限定在r1到无穷远这个范围
在这个运动过程当中呢
比如说从这一点开始r1那个位置开始
那么它的势能是最大有效势能最大
径向动能径向动能为0
然后开始向右运动
那这个过程就是径向动能增加有效势能减小
减小到最低点然后径向动能减小
有效势能增加
当它跑到无穷远的时候
它的有效势能变成了0
但是机械能是一个大于0的数
这就意味着当它离这个万有引力场无穷远的时候
它仍然有一定的动能
所以它不受约束
所以这个双曲轨道就是不受约束的状态
那么当这个机械能等于0的时候
就是沿着水平轴的这条直线等于0的时候呢
它和这个有效势能曲线也只有一个交点
我们把这个交点记做r2
我们做类似的分析呢
那么它的运动范围呢就是由r2到无穷远
我们想象啊从r2这个点开始
它向右运动那么这个过程当中呢
这时候势能为0机械能为0动能也为0
然后这个动能增加势能减小
到达最低点的时候呢开始势能增加动能减小
到无穷远的时候又回到了初始的那个状态
就是势能变到0动能变到0机械能仍然是0
也就是说这个质点跑到无穷远的时候
它的动能消耗尽了 势能也变成0
这个时候就是刚好能够脱缚
这个万有引力场的束缚
而这个是对应的抛物轨道
那么第三种就是机械能小于0的时候
对应的是椭圆轨道
跟机械能小于0的这条水平线呢
和有效势能呢有两个交点
这两个交点分别计成r3min r3max
这两个点是什么意思呢
我们刚才实际已经提到过了 大家想想
这个点实际上对应的就是
这个质点到力心的最近的距离
而这个是到力心的最远的距离
所以这两个点就是近地点和远地点
那么大家可以想象
从近地点开始这个质点运动的话
那么它的动能增加势能减小
到达最低点的势能开始增加动能开始减小
然后到达远地点
也就是说质点只能在
这个近地点和远地点这个区间进行运动
做一个往复运动
它的运动范围就是这样的表示
当然了圆轨道这个是对应椭圆的
那圆轨道是椭圆的一个特例
圆轨道对应的是什么呢
恰恰就是有效势能曲线极小点的那个位置
对应那个状态
就是当机械能 质点的机械能
等于有效势能的极小值的时候
这种情况对应的就是圆轨道
也就意味着这个质点到力心的距离是不变的
就是一个圆轨道
那么我们给大家出一个思考题
就是如何由势能曲线求椭圆轨道的周期
我们刚才已经说了 在径向方向上看
如果这个质点是一个椭圆轨道的话
在径向上看 它就是做一个往复运动
那它往复运动的话那它就有一个时间周期
那么利用势能曲线
大家能不能计算出来这个周期
如果能计算出来的话 你会发现
它的结果和开普勒第三定律结果一样
那么我们接着给大家讲个问题
宇宙飞船的变轨
我们知道轨道是由初始条件定的
当然如果势函数已经确定的话
这个轨道特性就是由初始条件定
那么我们只要改变初始条件
就能改变轨道特性
改变初始条件当然就是改变
初始的位失和初始的速度
那么我们就给大家举个例子
宇宙飞船如何由圆形轨道变到椭圆轨道
这是宇宙飞船这是地球这是地心
如何让它由圆轨道变到椭圆轨道呢
那么我们就让宇宙飞船冲着地心喷气
或者是发射小火箭
比如这种情况就是冲着外侧喷气
那么这个宇宙飞船就会
瞬间获得一个指向地心的速度
当然这个速度通常喷气量是比较小的
它获得的这个附加速度的值呢大小呢比较小
这样的话就可以实行变轨
大家想想如果按这种方式喷气的话
那么这个瞬间结束之后
这个质点的角动量变不变
显然这个质点的角动量不变
因为这个附加速度是指向地心的
所以不会改变角动量
但是它会改变质点的机械能
靠这种方式就可以产生变轨的效果
通常工程上呢要使宇宙飞船变轨的话
通常会选择近地点和远地点
而且就是让这个附加的速度呢
沿着位矢方向和这个速度方向垂直
为什么这样呢
这样的成本最小
就是花费的燃料小取得的效果大
那我们看一下这个结果
这个就是沿外侧喷气
沿外侧喷气的话形成的轨道就是红色的轨道
如果沿内侧喷气
那么形成的就是这个蓝色的轨道
红色轨道对应外侧点火
蓝色轨道对应内侧点火
好这一小节就讲到这儿 谢谢大家
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