当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
同学们 今天我们开始研究呢
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
那么先看看角动量定理
回顾一下
以前对任意一质点系 我们知道
角动量定理是这样子的
对一个质点 对一个固定的点
外力矩等于角动量随时间的变化率
那么如果对于固定的轴呢
合外力矩对轴的合外力矩等于
对轴的合角动量随时间的变化率
那么对于刚体来讲
由于角动量对轴的角动量
可以写成这样的形式Lz=Jzω
Jz是对这个轴的转动惯量 ω是角速度
所以我们把角动量定理可以写成这样的形式
Mz=dJzω/dt这个就是刚体的角动量定理
从这个式子很容易得到角动量守恒定律
为什么 你看看这个式子刚体的角动量定理
如果对固定轴的合外力矩等于0的话
显然这一项等于0
也就是Jzω就得到一个常数
也就是说对这个轴的角动量保持守恒
这个就是刚体定轴转动的角动量守恒定律
当然这个守恒的话因为角动量是一个矢量
不仅是大小不变 而且方向也是不变的
这儿呢我举一个角动量守恒的例子陀螺仪定向
这儿呢是一个陀螺仪的模型
你看它中间是一个轮子
这个轮子比较厚重
也就是说他对轴的转动惯量是非常大的
这个轮子装在一个内环上 这是一个内环
你会发觉这个轮子的转轴呢
轮子的转轴和内环安装在外环的转轴
这两个轴是互相垂直的
然后呢还有一个外环 你看还有一个外环
这个内环啊内环的这个轴和外环
固定在这个架子上的轴又是互相垂直的
也就是刚才提到了三个轴
这三个轴都是互相垂直的
而且最中间的这个陀螺啊
这个轮子质量关于它的轴是严格对称的
对称性是非常好的
而且这个轴连接的地方都非常光滑
摩擦力啊可以忽略不计
这样的话你看这样的一个特殊的结构啊
使得这个轮子转动起来的时候
它受到的合外力矩啊基本上可以忽略不计
那么我们现在如果让这个轮子高速旋转起来以后
我们就发觉因为合外力矩等于0的
角动量是守恒的
就意味着它的ω也就是角速度是不变的
始终指向同一个方向
那么就可以用它来定向了
下面我们来看一下
现在大家记住转动轴的方向
我现在随便摆动
大家发现这个转动轴的方向没有改变
也就是角动量没有发生变化
这个就是角动量守恒的典型例子
那么我们可以用这个装置
来用在需要导航定向的地方
比如说飞机里边的方位是如何确定的
我可以用三个这样的装置
因为每一个方向呢可以分成
x方向 y方向和z方向
三维三个方向的话确定以后
飞机的方位就可以唯一的确定了
这个就是陀螺仪的定向原理
关于角动量守恒我们还可以讲一个故事
关于脉冲星的发现
这个故事发生在上一个世纪60年代
是一个剑桥大学的一个
24岁的女研究生叫Jocelyn Bell
她用射电望远镜来研究天空的时候
老是收到一个特殊的信号
这个信号它的周期是非常的短
只有1点几秒 这个是当时一个典型的图
除了一些强度比较弱的地方
其它地方的信号都非常有规律 周期是1.19秒
当时她把这个结果告诉她的老板Antony Hewish
她的老板当时不相信
这可能是环境的噪声
比如说是电器的噪声引起的
那么Jocelyn Bell并没有放弃
她通过很多巧妙的办法坚持不懈
认证了说服了它的老板这个信号不是假的
不是环境噪声引起的
而是有一个智能生命发给我们地球的
当时他们把这个智能生命称为
Little Green Man这样的生命
当然后来他们除了第一次发现之后
他们又发现了别的信号 周期略有不同
后来他们认为这个信号的话
可能不是所谓的Little Green Man发来的
而是可能宇宙里的某个星体发来的
那么正是由于这项发现呢
Antony Hewish获得了1974年的诺贝尔奖
但是很可惜的是真正发现脉冲星的人
这个女研究生并没有获得诺贝尔奖
那么现在我们已经搞清楚了
这个周期性的信号是什么呢
就是脉冲星发来的
那么脉冲星到底为什么能够发射这个信号呢
也许我们还不太清楚
但是有一条可以肯定
这个脉冲星是在高速的旋转 高速的旋转
这个周期就是脉冲星旋转一周的周期
那么我们感到很好奇
哪一个星体它的旋转周期竟然是1点几秒
我们来确认一下如果周期是这样的话
它应该满足什么样的要求 只是好奇
假如脉冲星表面有一个单位质量的物体
它受到的万有引力呢可以这样表示
当然它同时受到一个惯性离心力
要使这个物体不甩出去的话
就要求它受到的万有引力必须大于惯性离心力
如果按照这个式子来进行计算的话
我们来看看这个脉冲星啊
它的质量密度能够达到什么样的量级
我们把这个星体比如说当成一个球形
它的质量等于(4π/3)R3这个体积
乘以它的质量密度
我们算出来啊 这个要求它的质量密度啊
如果它的周期是1点几秒的话
我们可以推算出来
它的质量密度必须大于
10的11次方千克每立方米
那么这个是什么样一个概念呢
大家不妨来比较一下铁的密度
因为我们知道铁比较结实比较沉
它的密度是7.8乘以10的3次方千克每立方米
你看啊它的密度比它的密度大
到好多好多的数量级
你可以想象这个脉冲星的密度是多大
当然我们现在已经知道
脉冲星无非是一个恒星生命终结的某种形式
恒星就和我们人一样是有生命的
比如说太阳 比如说像太阳这样的恒星
完全取决于它的命运的话
完全取决于它的质量
比如说它的最终的结果呢
可能变成红巨星 白矮星 中子星 甚至变成黑洞
那么当初第一个发现的这颗脉冲星呢就是中子星
就是中子星
我们刚才看到的刚体定轴转动
是一个角动量定理
我们还可以把这个定理变换一下形式
比如说刚才定理是这样的
外力矩等于角动量随时间的变化率
如果把这个方程简单的变形一下 怎么变呢
我把dt挪到这儿来 M外dt等于dL
这个好像是数学游戏对吧
但是呢给人的物理意义好像是不一样的
如果我们看这点的话
外力矩等于角动量随时间的变化率
这是一个瞬时方程
也就是这个质点系啊
任何时刻只要有一个外力矩
它的角动量随时间的变化率就不等于0
但是如果看这个式子或者一个积分的这个式子呢
我们理解就不一样了
这个外力矩作用一段时间
也就是考虑这个力矩时间累积的效果
它累积的效果是什么呢
是角动量的一个增量
我们把这个M外dt或者它的积分形式呢
我们给它一个新的名词称为冲量矩
这样经过一个变形以后质点系的角动量定理
就变成这样一个式子
一个质点系或者一个刚体对轴的冲量矩的话
就等于它角动量的增量
这个是角动量定理的另外一个表达方式
那么我们用这个方式呢有的时候是很有用处的
我这儿举一个例子
这是一根长棒长度是l 质量是M
悬着可以绕顶端的水平轴自由转动
现在有一个质量 质量为m
一个初速度v0从下端 底端射入这个棒
然后穿出去 我们知道穿出去以后
它的速度损失了3/4
我们要求子弹穿出以后棒的角速度ω
我们解这样的一个例题
我们首先以子弹为研究对象
子弹以速度v0变成v 速度减小了
动量变化了 它显然有一个冲量
那么它的冲量 假如棒对子弹的阻力是f的话
它的冲量是fdt一个积分
等于它的动量的增量
那么把具体的式子代进去之后呢
就等于-(3/4)mv0
v0是子弹的初速度
那么子弹对棒啊
棒对子弹有f的作用力的话
那么子弹对棒啊有一个反作用力f′
当然f和f′是大小相等 方向相反的
那么现在我们以棒为研究对象
它受到的一个冲量矩是这样的fldt
冲量矩作用的结果呢
是它的角动量的改变
这是冲量矩 这个是角动量的改变
角动量的改变是Jω
因为棒原来是静止的
那么子弹穿出去以后它会绕这个轴转动
那么对这个轴的转动惯量是J 角速度是ω
这样我们可以把子弹射出去以后
棒的角速度求出来
也就说我们通过这个例题可以看出来
冲量改变动量 而冲量矩改变了角动量
这个就是我们刚才把角动量定理
作为一个变换以后的运用
今天我们就讲到这儿 下次再见
-绪论
--绪论
-质点动力学(一)
-质点动力学(二)
-本章作业
-牛顿三定律、常见力
-应用牛顿定律解题
-惯性力, 潮汐力
-本章作业
-动量, 冲量, 动量守恒
-质心与质心运动定理
-两体问题
-质点和质点系角动量,角动量守恒
-本章作业
-功和动能
-引力,保守力和势能
-势能曲线、功能原理和有心力场
-克尼希定理、质心系中的功能原理
-流体简介
-本章作业
-刚体定轴转动（一）--作业
-刚体定轴转动（二）
-本章作业
-简谐振动, 频谱, 非线性振动简介
-同振动方向振动合成
-不同振动方向振动合成
-本章作业
-简谐波
-惠更斯原理、机械波的半波损失
-波的叠加和干涉 驻波
-多普勒效应
-本章作业
-洛仑兹变换
-相对论速度合成
-相对论动力学基础
-本章作业
-宏观和微观
-温度
-麦克斯韦速率分布律
-本章作业
-玻耳兹曼分布律和平均自由程
-实际气体
-热力学第一定律
-本章作业
-循环过程
-热力学第二定律
-玻耳兹曼熵
-例题
-克劳修斯熵
-气-液-固相变
-本章作业
-期末考试--期末考试Part1
-期末考试--期末考试Part2
-期末考试--期末考试Part3
