当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 11.10 玻耳兹曼分布*
同学好
那么前边我们说
玻尔兹曼推广麦克斯韦分布
获得了玻尔兹曼分布因子
这节课 我们就推导一下这个公式
我们先考虑这么一个系统
它是能量分立系统
在量子力学里面呢能量是量子化的
所以能量是分立 不是连续分布的
假设这个能量从低开始往上排
最低的我们叫做基态
就在上面的能量叫做第一激发态
再上面呢叫第二激发态
就这样一直往上排
假设我们这个系统一共有n个粒子
这是固定不变的 能量也是固定不变的
那么假设每一个能量状态
这样分立的能量我们把它叫做能级
假设每一个能级分布的粒子数目用n来表示
用小n
那么基态有n0个
第一激发态有n1个
那么第i个能级上就有ni个这个粒子数
那么这些粒子数目怎么排布呢
那么很显然对于平衡态来说
一定是使得这个状态数目最大的那么一个状态
那么这里面状态数目我们怎么计算呢
因为有n个粒子
所以他就有n粒子的排列个数目
但是考虑到每个能级上这些粒子的排列顺序
是没有关系的
比如说你第一个激发态上有n1个粒子
那么这些粒子怎么排列
顺序无关都处于这么一个状态上
所以你在计算这个状态数目的时候啊
你要把每个能级上这些粒子数的排列数给刨掉
所以你计算总的状态数的时候呢
你要把每个能级上粒子排列数要除掉
那这里面这个符号是连乘的意思
下面我们把这个总状态数目取一下对数
利用一下Sterling这个公式这是一个近似公式
把这个n阶乘的对数写成这种形式
对应于热力学几率最大的
或者说微观状态数目最多的
这个宏观态或者说平衡态呢
实际上就是取这个的极值
可是这个呢是条件极值问题
因为什么呢
对这个系统来说粒子数大N它是不变的
能量 大写的E 也是固定的
所以说你要求的这个极值
实际上是下面这个函数的一个极值问题
那这里面这个α和β是拉格朗日乘子
那么这个极值比较容易求 就是
让它的导数等于0就是了
结果呢你可以很容易得到这么一个形式
写成指数的形式的话呢就是这样
那么这里面这个α和β这两个拉格朗日乘子呢
你可以利用粒子数固定这个条件 把α固定下来
能量固定你可以把这个β确定下来了
这样的话粒子数在Ei这个能级上
分布的这个数目就是这种形式
那么这个结果其实是对于
热力学几率最大的那个宏观状态
也就是平衡态对吧
那其实这也就是对于平衡态的粒子数分布
平衡态有一个很重要的一个参量
那就是温度
那么这个系统的温度我们怎么确定呢
热力学里面有一种温度的定义方式是
温度的倒数等于熵对内能的导数
或者我们可以把这个式子写成这种形式
把刚才的那个结果代进来
我们可以计算这个
这个计算过程并不复杂
你稍微留意点看的话很容易得出来
这个1/(kT)就是β
那么把这个结果代入到我们刚才得到的
那个分布式子里面的话
我们就得出来了
在能级为Ei的这个态上粒子数目呢有这么些个
那么这个结果 我们是对于
能量是分立的这个情况推导出来的
假如我们让这个分立的能量啊
非常密地排在一起
那密到一定程度的话呢
它就接近于连续分布对吧
所以这个结果呢也可以推广到
能量是连续分布的情况
那么这个情况当然是能量为E的这个状态上
粒子数目显然是和这个因子成正比
这个就是玻尔兹曼分布
好 这一节我们就到这儿 谢谢
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