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4.8 有心力场中质点运动简介1**课程教案、知识点、字幕

大家好从这一小节开始呢

我们给大家介绍有心力场当中质点的运动

我们分两小节介绍

首先我们介绍有心力

什么是有心力呢

有心力是这样的一种力

这个力的作用线始终通过一个固定中心

这种力呢就叫做有心力

我们把那个固定中心呢称为力心

有心力呢可以表达成一个

很简单的函数形式F = f(r)er

这个r呢

就是质点相对于这个固定中心的位矢的大小

这个er呢就是位矢方向的单位矢量

或者说r是相对于力心的位矢

er是单位矢量

我们可以证明有心力一定是保守力

那么它所对应的势能呢

可以通过这个表达式积分的办法得到

最后写出来是这样的

这个势能呢只和这个质点到力心的距离有关

当然这个V(r0)呢可以当成是势能零点

如果你规定它等于0的话

那么这一项就没有

这是有心力的概念

下面我们介绍有心力场当中质点的运动方程

大家思考一下

如果一个质点在有心力场当中运动的话

那么它的什么物理量会守恒

它有两个重要的守恒量

我们讲角动量的时候实际上已经提到了

在有心力场当中呢

质点运动的话它的角动量是守恒的

当然这个角动量是对力心而言的角动量

另一个守恒量呢就是机械能

所以有心力场中质点的运动呢

有两个重要守恒量

一个是角动量是对力心定义的角动量

L等于常矢量

当然它的轨道一定在一个平面上

这个就是开普勒第一定律

第二个是机械能

机械能是一个守恒量它等于常量

下面我们就根据这两个守恒量呢

把质点在有心力场中的动力学方程导出来

我们采用极坐标系

极坐标系是比较简单的办法

这个极坐标系的原点呢要选择力心

要选择力心呢为坐标原点

极坐标系的两个单位矢量呢

一个是横向eθ一个是径向er

那坐标是极角和矢径

在极坐标系下

这个质点相对于质心的位置呢就非常简单

就是矢径乘以径向的单位矢量

那么速度呢

速度呢就等于横向速度和纵向速度叠加

横向速度呢是rθ一点

径向速度呢是矢径对时间的导数

利用这两个量呢

我们可以把这个质点

相对于力心的角动量表达出来

当然机械能也可以写出来我们写一下

根据角动量守恒我们可以写

这个质点相对于力心的角动量等于r×mv

然后把极坐标系下这个r和v的表达式代入

那么我们看这个叉乘的结果是什么呢

会出来两项这两项里会出现er×er

er×er就等于0

还会出现er×eθ

我们整理一下结果就是这个会得到

角动量=mr2θ一点然后乘以一个(er×eθ)

er×eθ我们不管它

因为我们知道角动量守恒

就意味着它的大小是一个常数

然后它的方向也是不变的

我们现在需要的就是

它的大小等于常数这个特点

就是mr方θ一点等于角动量的大小

它是一个常量

这是一个方程

接着我们看机械能守恒

机械能守恒就意味着

质点的动能加上它的势能等于一个常数

那么这里头这个动能等于什么呢

大家看这个括号

速度的平方就是

径向速度的平方加上横向速度的平方

径向速度的平方就是r一点平方

横向速度的平方就是rθ一点平方

或者你两个点乘

点乘的话这个出来左边这一项的平方

会出来右边这一项的平方还有交叉项

交叉项就是er・eθ 它的点积结果为0

所以最后的结果就是速度的平方就等于

径向速度平方加上横向速度平方

写出来是这样子

那当然了它应该等于机械能它是一个常量

在这个公式当中呢

出现了这个极角对时间的导数θ一点

那么我们希望

把这个方程完全变成是关于矢径r的方程

那么我们就把(1)这个方程里头的θ一点代进来

把这个θ一点消掉

就得到了一个关于r的方程

这个方程中有3项

这个方程(1)和方程(2)呢

就是有心力场当中质点运动的动力学方程

它可以取代牛顿方程

而且它的优点是什么呢

它是关于极角以及矢径的一阶微积方程

很容易求解

我们下节课会介绍这个方程的解

那么角动量和机械能是由谁来决定的呢

注意角动量和机械能这两个常量呢

是由初始条件决定的

什么是初始条件呢

就是初始的位矢和初始的速度

这就是初始条件

因为给定了初始的位矢r0

和初始速度v0之后呢

我们就可以得到角动量具体的数值

以及机械能具体的常数值

这个初始条件和这个势场的具体形势呢

最后会决定你这个质点运动轨道的特征

这个轨道特征包括它的封闭性

它的形状大小和取向

这个下节课我们会介绍这些

好这一小节就上到这儿谢谢大家

大学物理1 (力学、热学)课程列表：

绪论

-绪论

力学-第一章质点动力学

-1.1 参考系、坐标系和质点

-1.2 位移和速度

-1.3 平面极坐标速度表示**

-1.5 匀加速运动

-1.6 抛体运动

-质点动力学(一)

-1.7 匀速圆周运动

-1.8 变速圆周运动加速度*

-1.9 相对运动速度和加速度

-质点动力学(二)

-本章作业

-第一章课件

第二章牛顿定律

-2.1 牛顿第一定律

-2.2 牛顿第二、三定律

-2.3 常见的几种力

-2.4 基本的自然力*

-牛顿三定律、常见力

-2.5 应用牛顿定律解题

-应用牛顿定律解题

-2.6 平动非惯性系

-2.7 转动非惯性系* ( 离心力和科氏力)

-2.8 傅科摆*

-2.9 引潮力与潮汐**

-2.10 引潮力现象**

-惯性力, 潮汐力

-本章作业

-第二章课件

第三章动量、角动量与守恒定律

-3.1 冲量与动量定理

-3.2 质点系动量定理

-3.3 动量守恒定律

-3.4 变质量问题*

-动量, 冲量, 动量守恒

-3.6 质心系*、力矩

-3.7 质心运动定理*

-质心与质心运动定理

-3.8 两体问题*

-两体问题

-3.9 质点角动量、角动量定理

-3.10 角动量守恒定律

-3.11 质点系角动量、角动量定理和角动量守恒定律*

-3.12 质心系角动量、角动量定理*

-质点和质点系角动量,角动量守恒

-本章作业

-第三章课件

第四章功、能和能量守恒

-4.1 功和动能定理

-4.2 一对力的功

-功和动能

-4.3 保守力和势能

-4.4 由势能求保守力、梯度*

-4.5 均匀球体的引力**

-引力,保守力和势能

-4.6 势能曲线

-4.7 功能原理和机械能守恒定律

-4.8 有心力场中质点运动简介1**

-4.9 有心力场中质点运动简介2**

-势能曲线、功能原理和有心力场

-4.10 克尼希定理

-4.11 质心系中的功能原理*

-克尼希定理、质心系中的功能原理

-4.12 流体的定常流动*

-4.13 伯努利方程*

-流体简介

-本章作业

-第四章课件

第五章刚体定轴转动

-5.1 刚体的运动

-5.2 刚体定轴转动（运动学）

-5.3 刚体的定轴转动定律

-5.4 转动惯量的计算

-5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

-5.6 定轴转动的功能原理

-5.7 刚体的平面运动*

-5.9 刚体定轴转动小结

-刚体定轴转动（一）--作业

-刚体定轴转动（二）

-本章作业

-第五章课件

第六章振动

-6.1 简谐振动

-6.2 旋转矢量图和复数表示

-6.3 简谐振动能量的能量特征

-6.4 谐振分析**

-6.5 非线性振动简介**

-简谐振动, 频谱, 非线性振动简介

-6.6 同振动方向同频率简谐振动合成

-6.7 同振动方向不同频率简谐振动合成、拍和拍频

-同振动方向振动合成

-6.8 振动方向互相垂直的同频率简谐振动合成

-6.9 振动方向互相垂直的不同频率简谐振动合成

-不同振动方向振动合成

-6.10 阻尼振动＊

-6.11 受迫振动*

-6.13 品质因数*

-本章作业

-第六章课件

第七章波

-7.1 简谐波的产生

-7.2 简谐波的波函数(1)

-7.3 简谐波的波函数(2)

-7.4 简谐波的能量(1)

-7.5 简谐波的能量(2)

-简谐波

-7.7 惠更斯原理波的衍射、反射和折射

-7.8 机械波的半波损失

-惠更斯原理、机械波的半波损失

-7.9 波的叠加和干涉

-7.10 驻波（一）

-7.11 驻波（二）

-7.12 简正模式和简正频率

-波的叠加和干涉驻波

-7.13 机械波的多普勒效应（一）

-7.14 机械波的多普勒效应（二）

-7.15 电磁波（光）的多普勒效应

-7.16 冲击波

-多普勒效应

-7.17 波动方程的推导**

-7.18 波的吸收*

-7.19 色散、复波和群速度*

-本章作业

-第七章课件

第八章狭义相对论

-8.1 时空变换

-8.2 绝对时空观和伽利略变换

-8.3 狭义相对论的基本假设（一）

-8.4 狭义相对论的基本假设（二）

-8.5 洛伦兹变换（一）

-8.6 洛伦兹变换（二）

-8.7 同时性的相对性

-8.8 时间延缓

-8.9 长度收缩

-8.10 洛伦兹协变矢量和洛伦兹变换不变量**

-洛仑兹变换

-8.11 相对论速度合成（一）

-8.12 相对论速度合成（二）

-相对论速度合成

-8.13 动量和质量

-8.14 力和加速度的关系

-8.15 相对论动能质能关系

-8.16 能量和动量的关系*

-8.17 相对论变换*

-相对论动力学基础

-本章作业

-第八章课件

热学-第九章温度和气体动理论

-9.1 宏观和微观

-9.2 统计规律

-宏观和微观

-9.3 平衡态和准静态

-9.4 理想气体温标

-9.5 理想气体压强

-9.6 温度的统计意义（一）

-9.7 温度的统计意义（二）

-温度

-9.8 麦克斯韦速率分布律

-9.9 三种速率

-9.10 麦克斯韦速度分布律

-麦克斯韦速率分布律

-本章作业

-第九章课件

第十章热量和热力学第一定律

-10.1 玻耳兹曼分布律和平均自由程（一）

-10.2 玻耳兹曼分布律和平均自由程（二）

-玻耳兹曼分布律和平均自由程

-10.3 范氏气体

-实际气体

-10.5 输运过程

-10.6 准静态过程

-10.7 功、热、内能

-10.8 热力学第一定律

-10.9 热容量

-10.10 理想气体的绝热过程

-热力学第一定律

-本章作业

-第十章课件

第十一章热力学第二定律和熵

-11.1 循环过程

-11.2 卡诺循环

-11.3 汽油机

-11.4 致冷机

-循环过程

-11.5 自然过程的方向

-11.6 热力学第二定律

-热力学第二定律

-11.7 热力学第二定律的微观意义

-11.8 热力学几率

-11.9 玻耳兹曼熵公式和熵增加原理

-11.10 玻耳兹曼分布*

-11.11 混合熵**

-11.12 熵增加原理及熵补偿原理*

-玻耳兹曼熵

-11.13 可逆过程和卡诺定理*

-11.14 热力学温标*

-11.15 克劳修斯熵公式*

-11.16 克劳修斯不等式*

-11.17 温熵图*

-11.18 熵和能量退化**

-克劳修斯熵

-11.19 克拉伯龙方程**

-11.20 冰为什么是滑的**

-气-液-固相变

-本章作业

-第十一章课件

期末考试

-期末考试--期末考试Part1

-期末考试--期末考试Part2

-期末考试--期末考试Part3

4.8 有心力场中质点运动简介1**笔记与讨论

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