5.3 刚体的定轴转动定律在线视频

同学们 现在我们开始研究呢,5.3节，刚体的定轴转动定律

在这正式讲课之前呢

我们先回顾一下质点系的角动量定理

一个质点系对于一个固定点的总力距

外力距和外力距等于角动量随时间的变化率

这个呢就是质点系的角动量定理

大家可以看出来这是一个矢量方程

这个矢量方程呢

在任何一个方向的投影方程当然也是成立的

也就是说分量方程也是成立的

现在对刚体的定轴转动来讲呢

我们就把这个矢量方程呢

投影到转轴的方向上去

于是得到这样一个分量方程

也就是说刚体的定轴转动定律呢

并不是一个特别新鲜的东西

无非是这个分量方程

在刚体的条件下的一种简化一种变形

那么这儿呢是外力啊对转轴的力距

这儿的角动量呢

是质点系的角动量对转轴的角动量

所以我们先谈一下什么是力对于转轴的力距

这儿呢有个质点质量mi

它受到一个外力Fi的作用

而转动轴呢在这儿

轴上的单位矢量呢是k

轴上呢有一个点C点我们把它作为原点

那么p点对C点的位矢是ri

根据以前的定义的话

这个力F对于C点的力距呢就是ri×Fi

显然力距是一个矢量

它的方向呢在这个地方

这个力距呢沿着转动轴z轴的这样一个投影呢

我们就把它称为这个力对这个转动轴的力距

那么我们下面具体计算一下

所谓投影的话无非是这个矢量啊

点乘这个方向的单位矢量k

那么呢我们下面做一个数学的处理

把Mi值把Mi代进来

然后呢把这个位矢ri沿着轴的方向

和垂直于轴的方向进行投影

分别得到呢ri∥和ri⊥

同时呢把力啊Fi也在平行轴的分量

和垂直轴的分量啊进行投影

得到呢Fi∥和Fi⊥

那么把它代入到这个式子里面去

那么我们得到这样一个式子

下面呢对这个式子进行一个简化

简化了以后呢你看啊

我们就得到1 2 3 4 这样4个式子

我们分别来考察一下这样4个式子

首先我们把第一个式子先写到这儿

我们先不考察它

我们看看第二项ri⊥×Fi∥・k

我们知道呢Fi∥是平行于轴的一个分量

那么前面一个叉乘的矢量的结果呢

当然是得到一个垂直于轴的一个矢量

垂直于轴的矢量点乘这个轴方向的单位矢量

显然是等于0的

所以呢第二项是等于0的

同理呢第三项也是等于0的

因为这个时候呢ri∥呢是平行于轴的

也就是说第一个叉乘的结果这个矢量呢

是垂直于轴的

与轴方向的单位矢量点乘的话

当然是等于0的

我们再看看最后一项

这个呢ri∥是平行于轴的

Fi∥呢也是平行于轴的

两个平行矢量叉乘的话显然是等于0的

所以呢这个4项啊这么一算下来以后

就得到第一项了

我们再回过头来看看第一项ri⊥×Fi⊥・k

ri⊥和Fi⊥都是垂直于旋转轴的两个矢量

这两个矢量叉乘的结果

是平行于或反平行于旋转轴的

它与旋转轴方向的单位矢量呢

这之间的夹角是0°或者180°

所以呢这一项也就是说Miz是可正可负的

它的大小呢就等于ri⊥×Fi⊥的绝对值

那么根据叉乘的定义呢它等于ri⊥Fi⊥sinα′

这儿的α′是什么呢

是ri⊥和Fi⊥这两个矢量之间的夹角

由于Miz是可正可负的

那么考虑到Miz的正负呢从此呢我们约定

我们把Miz呢统一写成这样的形式

等于ri⊥Fi⊥sinα

这个α是怎么约定的呢

如果Miz＞0 则α=α′

也就是说α等于

ri⊥和Fi⊥这两个矢量之间的夹角

如果呢Miz＜0呢 那么我们就规定α=-α′

类似的约定呢在后面啊角动量

刚体呢对轴的角动量以及刚体的功能原理部分

还会涉及到

到时候呢不再说明

好如果有了外力对转轴的力距这个概念呢

我们就很容易理解呢

质点呢对轴的角动量这个概念

这是一个质点处于p点 质量为mi

它呢这个时候呢某一时刻的它的动量呢是pi

它是一个转动轴轴上的单位矢量是k

那么轴上面有一点C做原点

p点呢对它的位矢呢是ri

根据以前的定义的话

这一点的角动量对C点的角动量就等于

ri×pi pi是动量 pi是动量

那么我们就得到了这样一个角动量的矢量

这个角动量呢沿着这个旋转轴方向的投影

我们就把它称为这个质点对轴的角动量

根据我们刚才的讨论的话

这个结果直接写在这儿了

那么它的角动量啊对着这个轴的角动量啊

就等于ri⊥pi⊥sinβ

这个β呢和以前的约定一样

它的大小呢就等于

ri⊥pi⊥这两个矢量之间的夹角

它的正负呢就取决于Liz的正负

如果Liz＞0呢 则β＞0

如果Liz＜0呢 则β＜0

下面呢我们再回到第一张片子上去

质点系的角动量定理

我们刚才讲了依据外力距啊

等于角动量随时间的变化率

那么投影到转轴方向呢

就是对于转轴的合外力距呢

就等于对于转轴的角动量随时间的变化率

下面呢我们就考察一下

对于刚体定轴转动的时候

对于转轴的角动量总角动量在这儿

能不能写成一个比较简单的形式

好我们来看看

总角动量刚体呢对转轴的总角动量

等于每一个质点对转轴的角动量之和

然后呢刚才已经有了

每一个质点呢对转轴的角动量呢

等于ri⊥pi⊥sinβ

这个β呢就是

ri⊥和pi⊥这两个矢量之间的夹角

在刚体定轴运动的情况下

我们已经说了这个质点p呢

在垂直于这个转轴的这个平面内啊做圆周运动

所以呢它的运动的速度也就是说它的动量

始终与这个半径呢是互相垂直的

所以这个β显然是等于90°

所以呢sinβ就等于1

所以我们把它化成这个

这个式子我们在pi叫做动量

用mi 和vi代进去

从这个式子呢还看不出什么东西来

因为刚体啊定轴转动的时候

那么刚体上的每个质点的速度啊

vi的大小呢可能是不一样的

这个呢与它距离转轴的距离有关

如果把vi写成ri⊥ω的话

从这个式子来就有利于我们理解了

因为刚体定轴转动的时候

每个质点的角速度是一样的

这样呢对整个质点进行求和的时候

可以把ω呢提到求和号的外面去

得到这个式子

这样呢我们把括号里面的这个量啊

我们给它一个新的名称

这个新的名称称为对Z轴的转动惯量

对Z轴的转动惯量呢

这个式子等于每个质点的质量乘以

这个质点到转动轴距离的平方

然后呢对所有的质点进行求和

从这个式子里可以看出来呢

对于一个固定轴的转动惯量啊

完全取决于这个刚体质量对轴的分布决定的

与转动状态是没有关系的

也就是与刚体啊转动不转动是没有关系的

刚才引入了这个转动惯量的概念之后呢

我们就可以把整个刚体的角动量啊

写成这样的形式了

整个刚体的角动量定轴转动的角动量

等于转动惯量乘以角速度

有了这个式子呢

我们把质点系的角动量定理啊

对转轴的角动量定理啊重新写一遍

对于转轴的合外力距等于整个质点系

也就是整个刚体对转轴的角动量随时间的变化率

现在角动量呢可以写成Jzω

把它代进来

如果我们假设这个转动惯量呢不随时间变化

就可以提到外面去

就得到这个Jzdω/dt

dω/dt是什么呢就是角加速度

所以呢我们把它合并起来以后呢

得到这个式子

在刚体定轴转动的情况下

合外力距对轴的合外力距啊

等于它的转动惯量对轴的转动惯量

同一个轴的转动惯量乘以角加速度

这个呢就是刚体定轴转动的转动定率

那么我们写刚体定轴转动的时候

写这个转动定律的时候

往往把这个下标啊z给略去

但是我们别忘了我们这样写的话

就意味着我们是对固定轴的转动定律

好我们把刚才转动定律呢

与牛顿第二定律呢进行一个比较

我们发觉呢它形式上非常相似

我们回顾一下牛顿第二定律的时候F=ma

那么我们刚体定轴转动的时候

转动定律呢是M=Jα

这个形式呢完全的相似

我们还是做一个对照啊

力呢F呢 F和这儿的力距呢一一对应了

这儿的m呢和这儿的转动惯量呢对应了

这儿的加速度啊和这儿的角加速度对应了

实际上是有道理的 你可以看啊

力我们知道是物体运动状态变化的原因

而这儿的力距呢

也是这个刚体啊转动状态变化的原因

这儿的m呢 我们都知道是惯性大小的量度

而这儿的J转动惯量呢

正好是我们刚体啊转动惯性大小的量度

这儿a呢是一个加速度

是状态变化的快慢

反映了状态的变化

这儿的角加速度呢

反映了刚体定轴转动 它的状态的变化

所以呢它们是相似的

这一节呢就讲到这儿

下次再见