当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 6.3 简谐振动能量的能量特征
下面我们从能量的角度来讨论一下简谐振动
我们知道 一个自由振动的弹簧振子
它的能量可以写成动能加势能
其中动能是(1/2)mv2
注意 这个v代表振动的速度 x代表位移
好 我们用简谐振动的速度表达式和位移表达式
我们就得到 动能是
(1/2)mω方A方sin(ωt+φ)平方的形式
那我把它写成这个样子
其中m 乘ω2就是k
这个k呢就是弹簧的劲度系数
按照我们对ω的定义k就等于mω2
我们把动能写成这个样子
一个常数 乘上sin(ωt＋φ)的平方形式
同样 我们把势能也可以写成这个样子
不过这是cos(ωt＋φ)的平方形式
那这个自由振动弹簧振子的总能量
等于动能和势能的和 就是(1/2)kA2
因为sin平方加cos平方等于1
那么我们就可以总结出简谐振动的能量特征
这3个式子 就代表简谐振动的能量特征
动能和势能随时间做周期性变化
这是周期性变化
并且相互转化 此消彼长
你动能多了势能就少 势能多了动能就少
因为总能量是一个与振幅平方成正比的恒量
这就是简谐振动的能量特征
那可以看到 这个振幅A
不仅仅代表振动的幅度 而且反映振动的强度
振幅的平方反映振动的强度
我们再看一下动能和势能对时间的平均值
好 我做一下计算
动能关于时间积分
从零到T T是周期 比上T
就代表动能的时间平均值
我把Ek代进去
就涉及一个计算sin平方这么个积分
我们用半角公式
我们把sin平方写成
(1/2)[ 1-cos2(ωt+φ)]的形式做积分
积分的很简单就是(1/4)kA平方
动能的时间平均值等于(1/4)kA的平方
我们再算一下势能的平均值
也等于这个结果
所以我们就得到这个结论
对于简谐振动来说
它的动能和势能对时间的平均值相等
都等于总能量的1/2
下面我们看一个演示实验
弹簧和扭摆模式的转换
从能量特征上看 如果系统机械能守恒
并且 势能可以表示成λx2的形式
X代表位移 λ只由系统自身的性质决定
那么这个系统围绕平衡位置做的就是简谐振动
这件事情有时候把它叫做能量判据
其实呢 这也是简谐振动满足的
动力学方程的结果
只不过从能量的角度 揭示了简谐振动的特点
对于一个比较复杂的振动系统
我们着眼于系统整体 直接由能量关系
来分析是比较方便的
我们看一个例子 一个U型管
里面的液体质量为m
密度为ρ 管的截面积为S
开始的时候造成管内
两个液柱面的有一定的高度差
忽略管壁和液体之间的摩擦 机械能守恒
判断一下 这个液体振动的性质
它是不是简谐振动
如果是简谐振动 它的本征频率是多少
我们做这件事
我们用两种方法做 先用能量的方法做
先用能量的方法做 我分析它的能量
我取y轴竖直向上
它的零点取在这个位置上
代表势能 体系的势能等于零
这个位置 我取为势能零点
因为没有损耗 所以总的机械能守恒
势能可写成这个样子 ρ是密度 乘上Sy
Sy代表这段液体的体积再乘上g
再乘上y 代表势能
因为我们可以这样想
这个结构相当于 这块液体的质心
被提升了y那么多高度
我把它当做质点
这个质点被提升了y这么多高度
这块液体 或者这块液体
从这儿提升了y那么多高度
这个代表mg
ρSy代表m 代表着液体的质量
g呢代表重力加速度
那我把它写成了y的平方 乘上系数(1/2)k
其中的k 就是2ρgS
这个k呢 只与这个液体 这个系统的性质有关
好 所以呢它是简谐振动
机械能守恒
势能可以写成一个 只与系统有关的
一个常量λ 乘上y平方的形式
那角频率很容易算出来
按照角频率定义
k/m开方 就是m分之2gρS/m开方
这是从能量角度分析
下面通过受力分析 我们来讨论这个问题
首先 这个液体的液柱受得这个线性恢复力
我们看 2y代表液柱的高度
所以 系统受得合力应该是2ρgSy
y代表液柱的高度
负号代表这个力呢指向平衡位置
好了 我可以把它写成-ky的形式
k呢 也是2ρgS
所以从线性恢复力的角度看
系统做简谐振动
显然角频率和刚才的结果是一样的
我们从两个角度来讨论这个问题
一个是从能量分析的角度
一个是从 受的力是线性恢复力的角度
来讨论这个问题
通常 一个系统在稳定平衡位置附近
做微振动的时候
就振幅非常小的这种振动的时候
那么我们可以证明
在通常情况下它是简谐振动
好了 这是指经典情况
在微观领域
比如 固体晶格点阵上原子的振动
分子中原子的振动
原子核中质子和中子的振动都是微振动
都是振幅很小的振动
这些微振动都可以用简谐振子模型来描述
对此我们在量子物理中再做介绍
好 这一节就讲到这儿 谢谢
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