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6.3 简谐振动能量的能量特征在线视频

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6.3 简谐振动能量的能量特征课程教案、知识点、字幕

下面我们从能量的角度来讨论一下简谐振动

我们知道 一个自由振动的弹簧振子

它的能量可以写成动能加势能

其中动能是(1/2)mv2

注意 这个v代表振动的速度 x代表位移

好 我们用简谐振动的速度表达式和位移表达式

我们就得到 动能是

(1/2)mω方A方sin(ωt+φ)平方的形式

那我把它写成这个样子

其中m 乘ω2就是k

这个k呢就是弹簧的劲度系数

按照我们对ω的定义k就等于mω2

我们把动能写成这个样子

一个常数 乘上sin(ωt＋φ)的平方形式

同样 我们把势能也可以写成这个样子

不过这是cos(ωt＋φ)的平方形式

那这个自由振动弹簧振子的总能量

等于动能和势能的和 就是(1/2)kA2

因为sin平方加cos平方等于1

那么我们就可以总结出简谐振动的能量特征

这3个式子 就代表简谐振动的能量特征

动能和势能随时间做周期性变化

这是周期性变化

并且相互转化 此消彼长

你动能多了势能就少 势能多了动能就少

因为总能量是一个与振幅平方成正比的恒量

这就是简谐振动的能量特征

那可以看到 这个振幅A

不仅仅代表振动的幅度 而且反映振动的强度

振幅的平方反映振动的强度

我们再看一下动能和势能对时间的平均值

好 我做一下计算

动能关于时间积分

从零到T T是周期 比上T

就代表动能的时间平均值

我把Ek代进去

就涉及一个计算sin平方这么个积分

我们用半角公式

我们把sin平方写成

(1/2)[ 1-cos2(ωt+φ)]的形式做积分

积分的很简单就是(1/4)kA平方

动能的时间平均值等于(1/4)kA的平方

我们再算一下势能的平均值

也等于这个结果

所以我们就得到这个结论

对于简谐振动来说

它的动能和势能对时间的平均值相等

都等于总能量的1/2

下面我们看一个演示实验

弹簧和扭摆模式的转换

从能量特征上看 如果系统机械能守恒

并且 势能可以表示成λx2的形式

X代表位移 λ只由系统自身的性质决定

那么这个系统围绕平衡位置做的就是简谐振动

这件事情有时候把它叫做能量判据

其实呢 这也是简谐振动满足的

动力学方程的结果

只不过从能量的角度 揭示了简谐振动的特点

对于一个比较复杂的振动系统

我们着眼于系统整体 直接由能量关系

来分析是比较方便的

我们看一个例子 一个U型管

里面的液体质量为m

密度为ρ 管的截面积为S

开始的时候造成管内

两个液柱面的有一定的高度差

忽略管壁和液体之间的摩擦 机械能守恒

判断一下 这个液体振动的性质

它是不是简谐振动

如果是简谐振动 它的本征频率是多少

我们做这件事

我们用两种方法做 先用能量的方法做

先用能量的方法做 我分析它的能量

我取y轴竖直向上

它的零点取在这个位置上

代表势能 体系的势能等于零

这个位置 我取为势能零点

因为没有损耗 所以总的机械能守恒

势能可写成这个样子 ρ是密度 乘上Sy

Sy代表这段液体的体积再乘上g

再乘上y 代表势能

因为我们可以这样想

这个结构相当于 这块液体的质心

被提升了y那么多高度

我把它当做质点

这个质点被提升了y这么多高度

这块液体 或者这块液体

从这儿提升了y那么多高度

这个代表mg

ρSy代表m 代表着液体的质量

g呢代表重力加速度

那我把它写成了y的平方 乘上系数(1/2)k

其中的k 就是2ρgS

这个k呢 只与这个液体 这个系统的性质有关

好 所以呢它是简谐振动

机械能守恒

势能可以写成一个 只与系统有关的

一个常量λ 乘上y平方的形式

那角频率很容易算出来

按照角频率定义

k/m开方 就是m分之2gρS/m开方

这是从能量角度分析

下面通过受力分析 我们来讨论这个问题

首先 这个液体的液柱受得这个线性恢复力

我们看 2y代表液柱的高度

所以 系统受得合力应该是2ρgSy

y代表液柱的高度

负号代表这个力呢指向平衡位置

好了 我可以把它写成-ky的形式

k呢 也是2ρgS

所以从线性恢复力的角度看

系统做简谐振动

显然角频率和刚才的结果是一样的

我们从两个角度来讨论这个问题

一个是从能量分析的角度

一个是从 受的力是线性恢复力的角度

来讨论这个问题

通常 一个系统在稳定平衡位置附近

做微振动的时候

就振幅非常小的这种振动的时候

那么我们可以证明

在通常情况下它是简谐振动

好了 这是指经典情况

在微观领域

比如 固体晶格点阵上原子的振动

分子中原子的振动

原子核中质子和中子的振动都是微振动

都是振幅很小的振动

这些微振动都可以用简谐振子模型来描述

对此我们在量子物理中再做介绍

好 这一节就讲到这儿 谢谢

大学物理1 (力学、热学)课程列表：

绪论

-绪论

--绪论

力学-第一章 质点动力学

-1.1 参考系、坐标系和质点

-1.2 位移和速度

-1.3 平面极坐标速度表示**

-1.4 加速度

-1.5 匀加速运动

-1.6 抛体运动

-质点动力学(一)

-1.7 匀速圆周运动

-1.8 变速圆周运动加速度*

-1.9 相对运动速度和加速度

-质点动力学(二)

-本章作业

-第一章课件

第二章 牛顿定律

-2.1 牛顿第一定律

-2.2 牛顿第二、三定律

-2.3 常见的几种力

-2.4 基本的自然力*

-牛顿三定律、常见力

-2.5 应用牛顿定律解题

-应用牛顿定律解题

-2.6 平动非惯性系

-2.7 转动非惯性系* ( 离心力和科氏力)

-2.8 傅科摆*

-2.9 引潮力与潮汐**

-2.10 引潮力现象**

-惯性力, 潮汐力

-本章作业

-第二章课件

第三章 动量、角动量与守恒定律

-3.1 冲量与动量定理

-3.2 质点系动量定理

-3.3 动量守恒定律

-3.4 变质量问题*

-动量, 冲量, 动量守恒

-3.5 质心

-3.6 质心系*、力矩

-3.7 质心运动定理*

-质心与质心运动定理

-3.8 两体问题*

-两体问题

-3.9 质点角动量、角动量定理

-3.10 角动量守恒定律

-3.11 质点系角动量、角动量定理和角动量守恒定律*

-3.12 质心系角动量、角动量定理*

-质点和质点系角动量,角动量守恒

-本章作业

-第三章课件

第四章 功、能和能量守恒

-4.1 功和动能定理

-4.2 一对力的功

-功和动能

-4.3 保守力和势能

-4.4 由势能求保守力、梯度*

-4.5 均匀球体的引力**

-引力,保守力和势能

-4.6 势能曲线

-4.7 功能原理和机械能守恒定律

-4.8 有心力场中质点运动简介1**

-4.9 有心力场中质点运动简介2**

-势能曲线、功能原理和有心力场

-4.10 克尼希定理

-4.11 质心系中的功能原理*

-克尼希定理、质心系中的功能原理

-4.12 流体的定常流动*

-4.13 伯努利方程*

-流体简介

-本章作业

-第四章课件

第五章 刚体定轴转动

-5.1 刚体的运动

-5.2 刚体定轴转动（运动学）

-5.3 刚体的定轴转动定律

-5.4 转动惯量的计算

-5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

-5.6 定轴转动的功能原理

-5.7 刚体的平面运动*

-5.8 进动*

-5.9 刚体定轴转动小结

-刚体定轴转动（一）--作业

-刚体定轴转动（二）

-本章作业

-第五章课件

第六章 振动

-6.1 简谐振动

-6.2 旋转矢量图和复数表示

-6.3 简谐振动能量的能量特征

-6.4 谐振分析**

-6.5 非线性振动简介**

-简谐振动, 频谱, 非线性振动简介

-6.6 同振动方向同频率简谐振动合成

-6.7 同振动方向不同频率简谐振动合成、拍和拍频

-同振动方向振动合成

-6.8 振动方向互相垂直的同频率简谐振动合成

-6.9 振动方向互相垂直的不同频率简谐振动合成

-不同振动方向振动合成

-6.10 阻尼振动＊

-6.11 受迫振动*

-6.12 共振*

-6.13 品质因数*

-本章作业

-第六章课件

第七章 波

-7.1 简谐波的产生

-7.2 简谐波的波函数(1)

-7.3 简谐波的波函数(2)

-7.4 简谐波的能量(1)

-7.5 简谐波的能量(2)

-7.6 声波

-简谐波

-7.7 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射

-7.8 机械波的半波损失

-惠更斯原理、机械波的半波损失

-7.9 波的叠加和干涉

-7.10 驻波（一）

-7.11 驻波（二）

-7.12 简正模式和简正频率

-波的叠加和干涉 驻波

-7.13 机械波的多普勒效应（一）

-7.14 机械波的多普勒效应（二）

-7.15 电磁波（光）的多普勒效应

-7.16 冲击波

-多普勒效应

-7.17 波动方程的推导**

-7.18 波的吸收*

-7.19 色散、复波和群速度*

-本章作业

-第七章课件

第八章 狭义相对论

-8.1 时空变换

-8.2 绝对时空观和伽利略变换

-8.3 狭义相对论的基本假设（一）

-8.4 狭义相对论的基本假设（二）

-8.5 洛伦兹变换（一）

-8.6 洛伦兹变换（二）

-8.7 同时性的相对性

-8.8 时间延缓

-8.9 长度收缩

-8.10 洛伦兹协变矢量和洛伦兹变换不变量**

-洛仑兹变换

-8.11 相对论速度合成（一）

-8.12 相对论速度合成（二）

-相对论速度合成

-8.13 动量和质量

-8.14 力和加速度的关系

-8.15 相对论动能 质能关系

-8.16 能量和动量的关系*

-8.17 相对论变换*

-相对论动力学基础

-本章作业

-第八章课件

热学-第九章 温度和气体动理论

-9.1 宏观和微观

-9.2 统计规律

-宏观和微观

-9.3 平衡态和准静态

-9.4 理想气体温标

-9.5 理想气体压强

-9.6 温度的统计意义（一）

-9.7 温度的统计意义（二）

-温度

-9.8 麦克斯韦速率分布律

-9.9 三种速率

-9.10 麦克斯韦速度分布律

-麦克斯韦速率分布律

-本章作业

-第九章课件

第十章 热量和热力学第一定律

-10.1 玻耳兹曼分布律和平均自由程（一）

-10.2 玻耳兹曼分布律和平均自由程（二）

-玻耳兹曼分布律和平均自由程

-10.3 范氏气体

-10.4 相变

-实际气体

-10.5 输运过程

-10.6 准静态过程

-10.7 功、热、内能

-10.8 热力学第一定律

-10.9 热容量

-10.10 理想气体的绝热过程

-热力学第一定律

-本章作业

-第十章课件

第十一章 热力学第二定律和熵

-11.1 循环过程

-11.2 卡诺循环

-11.3 汽油机

-11.4 致冷机

-循环过程

-11.5 自然过程的方向

-11.6 热力学第二定律

-热力学第二定律

-11.7 热力学第二定律的微观意义

-11.8 热力学几率

-11.9 玻耳兹曼熵公式和熵增加原理

-11.10 玻耳兹曼分布*

-11.11 混合熵**

-11.12 熵增加原理及熵补偿原理*

-玻耳兹曼熵

-11.13 可逆过程和卡诺定理*

-11.14 热力学温标*

-11.15 克劳修斯熵公式*

-11.16 克劳修斯不等式*

-例题

-11.17 温熵图*

-11.18 熵和能量退化**

-克劳修斯熵

-11.19 克拉伯龙方程**

-11.20 冰为什么是滑的**

-气-液-固相变

-本章作业

-第十一章课件

期末考试

-期末考试--期末考试Part1

-期末考试--期末考试Part2

-期末考试--期末考试Part3

6.3 简谐振动能量的能量特征笔记与讨论

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