当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 10.3 范氏气体
同学们好
那么这节课呢
我们要将对理想气体模型做一个修正
我们知道 理想气体模型
它的适用范围是 压强不太大
温度不太低的情况
那么如果压强很大
温度变得比较低的时候
理想气体状态方程就不再成立了
那么解决问题的基本思路
我们就要考虑
理想气体模型
它忽略的最重要的两个东西是什么
然后把它重新捡回来
这样呢结果与实际气体比较 就会变得更加的好
理想气体它有两个非常重要的缺陷
第一个 是我们忽略了分子本身的体积
这个相当于什么啊
相当于忽略了分子间的排斥力
当分子距离很近的时候
这个排斥力变得不可忽略
那么这个时候也就是什么呢
压强变得很大的时候
它就会偏离真实气体的状态
第二个 是忽略了分子之间的引力
那么当 温度变得很低的时候
分子的引力就变得不能忽略
这个时候 气体会发生液化
而理想气体是不会发生液化的
原因在这儿
下面我们要为了解决这两个最重要的矛盾
来建立一个新的模型
这个模型就是 范德瓦尔斯气体的模型
范德瓦尔斯气体叫范式气体
它的模型
就是 解决了刚才那两个最重要的矛盾
第一 我们考虑分子之间的作用力
也就是范德瓦尔斯力
以前讲过这个图
那么我们看到
当这个分子间距离很小的时候
比如说 小于某一个距离d的时候
这个排斥力变得非常非常巨大
我们可以近似把分子当成一个刚性的球
这个球的直径是多少呢 是d这么大
这样的话
只要分子之间的距离小于等于这个的时候
它们之间的排斥力就会是无限大
那么基本是符合这个曲线的这个部分
第二 当分子之间的距离比这个d大的时候
它主要表现的是一种引力
那么我就把它计算成什么呢
说 在d到某一个距离s这个范围内
分子之间表现成一个恒定的这样一个吸引力
那s称为什么呢 称为分子的作用球半径
这样我就把真实气体变成范氏气体的模型
同时对理想气体做了一个非常重要的修正
也就是什么啊
我们可以把真实气体 看成是有引力的
分子的刚球模型
那么下面呢 我们就要建立这样一个
范式气体的状态方程
首先我们只考虑1摩尔的理想气体的话
它的状态方程我们以前讲过了
就是这么一个样子
这里头v是摩尔体积
那么对理想气体而言
这个v当然是整个气体所占的体积
那么同时我们应该也认为这个体积是什么呢
实际上是分子活动空间 所占的这么一个体积
那么对于有大小的分子来说
它应该考虑的是分子能够活动的空间
而不是总体积
这个压强P 当然是我们实际测量的压强值
这对理想气体而言
那么它对应的是什么呢
我们之前讲过的压强公式的时候
它对应的是分子碰撞气壁的那个动量的变化量
好了 第一步修正
我们首先要考虑分子的体积
我们说 一对分子由于相互排斥
形成了这么一个状态
我们说 它相当于两个刚球
球心的距离为d 也就是刚球的直径
那么一对分子占得体积是多少呢
应该是两个刚球的总体积
加起来应该是1/3πd的三次方
1摩尔分子 它占得空间多大呢
我把这1摩尔分子两两配对
那么每一对是这么大
这样我就是1/2乘以阿伏伽德罗常数
再乘以一对分子的体积
算出来结果 简单化简一下你就会发现
它实际上就是
阿伏伽德罗常数乘以一个分子占的体积
也就是 等于分子本身占的体积
那么这个时候我就需要引入一个因子b
这个b代表了分子本身占有的体积
我们把理想气体方程中的v修正成为分子的
能够自由活动的空间
也就是v-b
这个时候 也就完成了第一步的修正
理想气体状态方程变成这个样子
那么看到 你在增加压强的时候
这个压强和真实值的比值
和理想气体的比 就要比这个要大
那么这里的b 不是通过计算出来的
而是通过实际测量出来的
具体与分子种类有关
不同分子的b的常数是不一样的
第一步的修正我们就完成了
第二步修正 考虑分子之间的引力
我们知道 压强是什么意思呢
压强是分子碰壁的平均作用力
而根据动量定理 一个分子的动量的变化
等于合外力的冲量
这个合外力 对理想气体而言 它就是什么啊
就是气壁对它的一个冲量
而对于真实气体 这个地方做一个修正
除了气壁产生的冲量之外
还应该有分子内部的引力
因为在气壁附近的分子
它受到这个引力是不为0的
而在气体内部的分子没有这个问题
因为内部的分子周围都有分子来吸引它
那么平均作用等于0
那么可以看到
这个地方应该对应是前面理想气体的压强
也就是对应分子动能的变化
将来修正的时候
应该把这个东西做一个这样的修正
而这个地方就是实际测量的压强
为什么不考虑分子和气壁之间的相互作用呢
这个问题其实我在以前提过
我们来分析一下为什么
假设 分子受到气壁的引力
那么它在飞向气壁的过程中
会产生什么效果啊
气壁会受到一个分子反作用力向左的
所以气壁会受到向左的这样一个冲量
它对压强的贡献是负的
同时呢 分子应该受到向右的这样一个冲量
它的动量会增加
那么当分子远离气壁的过程当中
它同时也还是一样受到气壁对它的引力
因此 反过来
分子会有一个同样的动量大小的一个减小
这是一个相互作用
而在碰撞的一瞬间
由于分子的动量增加
与这个气壁也做了一个正的贡献
它的动量增加了 它的动量变化也会增加
增加的这个量 产生的一个什么呀
产生了一个对压强增大的效果
也就是分子对气壁
有一个增大的2倍的这么大一个冲量
而这两项都是减小
把这平均合起来一算 等于0
也就是说什么呀
我们不用考虑分子和气体之间的相互作用力
这个计算的关键在于什么呢
在气壁吸引分子的同时分子也在吸引气壁
所以才导致这个效果被平均掉了
这样我们就可以把这个修正做出来了
我们说啊应该把理想气体压强换成
我们实际测量的压强
加上分子引力 产生的一个效果
那么这个值 对应的就是分子动量变化
也就是理想气体压强的这样一个关系
那么分子引力产生的一个效果是什么呢
实际测量压强变小
因为整个这个值是不变的
这个压强Pi也就那个压强
这样我们基本完成了第二步的修正
但是还没有给出这个Pi满足的关系
好了 这个Pi应该满足什么样的关系呢
我们可以这么去考虑
我们说啊 与气壁碰撞的这个分子数
它对这个压强的贡献是成比例的
也就是什么啊 碰撞气壁的分子数越多
这个内压强越大
这是第一
第二
因为这个内压强产生是由于内部的分子
吸引了碰撞气壁的分子
所以它应该也和内部的分子数 成比例
那么这两个分子数都是和分子数密度成比例的
也就是说内压强正比于分子数密度的平方
而分子数密度 又反比与摩尔体积
所以我们说内压强是反比与摩尔体积的平方
这样我就可以把它写成这样的一个关系
内压强等于某一个常数a除以摩尔体积的平方
这个a 同样不是算出来的
是根据实际测量出来的
它和具体的分子种类有关系
最后我就获得1mol范德尔瓦尔斯气体的状态方程
那么a和b 和具体的分子有关 可以查表来看
比如说二氧化碳 它的a和b的值这儿列出来了
对于任意摩尔数的范式气体
它什么情况呢
那么我们考虑到体积它是一个广延量
所以这里应该加一个摩尔数
而压强是强度量
它应该不随摩尔数变化而变化的
所以我们在体积这应该加上一个摩尔数的平方
把下边的体积变化 要把它除掉
右边当然是有个摩尔数
那么我们看到 这个结果就是这样的
范德瓦尔斯是荷兰人
它在研究气态和液态的方程
也就是相变过程中 做出了巨大的贡献
因此在1910年获得了诺贝尔物理学奖
下面我们来根据实验值来看一看
范式气体模型对理想气体模型来说它的修正
有多大的一个作用
那么这里面 都是实测的值
比如1摩尔的氮气 在273K的时候
温度是定下来了
我来测量压强和体积的关系
比如说一个大气压
它的体积当然是摩尔体积 22.4
那么这个乘积 应该是个定值 对理想气体而言
同样呢 对范式气体而言这么一个乘积是定值
因为温度是不变的嘛
好了 那么我们看一个大气压的时候没问题
两个都差不多
100个大气压的时候 你发现
理想气体模型还是不错的
基本没有太大变化
范式气体也没有问题
但是从500个大气压开始 到1000个大气压
你可以看到这个乘积远远偏离常数
变化越来越大
说明理想气体模型已经不再适用了
而范式气体模型 我们看到
还是继续符合的很好
这说明范式气体模型要比理想气体模型呢
是加适用的一个模型
好 那这节课我们就讲到这
给大家留一个问题
这个问题是什么呢
我们看到 这里边 这个关系
是一个很复杂的关系
压强和体积
我们知道 理想气体压强和体积什么关系啊
给一个体积就会有唯一的一个压强与它对应
这个曲线是一个双曲线
而这个地方就不应该是一个双曲线
给一个压强 它有可能有几个体积和它对应
那么同学们回去想想 这是什么情况
会出现什么样的问题
好 谢谢 再见
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