当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 4.13 伯努利方程*
大家好 这一小节我们接着上节学习流体
那么我们这一小节学伯努利方程
伯努利方程是理想的物体做定常流动时的
动力学方程
它的本质是流体流动中的功能关系式
它不是一个新的原理或者定律
那么我们下面就把伯努利方程推导出来
我们在流体当中任选一个细的流管
在流管当中选一段流体 a1 a2
这个流体的前后端呢这个端面是选成横截面
横截面就意味着在这两个端面处呢
它的压强以及速度是和这个面积元垂直的
这两个面积元的面积分别是ΔS1 ΔS2
压强分别是P1 P2 流速呢分别是V1 V2
现在我们假设这一小段流体呢
在dt时间内移动了一段距离
这个距离呢就是a1 b1
前端的距离呢就是a2 b2
也就是说这一小段流体经过dt时间呢
从a1a2这一段呢变成了b1b2这一段
我们把这一小段流体和地球合到一块
作为一个系统然后考察
经过dt时间的这个运动呢
它的过程当中的功能关系
那么在这个过程当中
这一小段流体会受到其它流体的作用力
这个体现在比如说头上这个位置处呢
它会受到阻力作用
这个表现就是P2的压强
后面这一部分呢就是后面这一段流体会对
这一小段流体做一个推动力的作用
是做正功
当然侧面流体对这个流管内的流体也会有作用力
但是大家注意这个作用力和
这个侧面的压强相适应
这个压强呢
是和这个流体的流动方向垂直的
所以这块不会做功
那么经过这个分析呢
我们可以知道整个这一小块的流体
流动的过程当中呢
其它流体对它做的功是多少呢
我们可以算一算
这对应的是外力的总功
这个写出来就是这个表达式
就是p1Δs1a1b1-p2Δs2a2b2
这个p1Δs1呢就是
后面的流体作用到这个截面上的力
a1b1呢就是运动的距离
这样出来的就是
也就是后面那份流体做的正功
前面的流体对它是阻力作用
那么相应做的就是负的功
这合到一块呢就是整个这段流体
受到的其它流体对它作用力的功
那么大家注意的就是这个
a1b1和a2b2呢等于什么呢
a1b1和a2b2恰恰是等于
这个流速乘上dt
这个代入呢就得到这个关系式
接着我们就用上节课得到的一个结论
就是理想流体做定常流动的时候
那么在任意一个细流管内
它的体积流量相同
体积流量相同意味着就有这个关系式
就是Δs1v1dt等于Δs2v2dt
体积流量本身是指的是Δs1v1 等于Δs2v2
那么我们乘以个dt还是相等的
但是这个乘以dt之后这两量变成什么呢
这两量恰恰变成了
a1b1段这个小的柱体的体积
和a2b2段这个小的柱体的体积
我们把它表示成是ΔV
这样的话这个外力做的功呢
我们把ΔV代入呢恰恰就变成了(p1-p2)ΔV
这个ΔV分别对应这个两个小柱体的体积
这个外力做功就变成了(p1-p2)ΔV
那么我们现在就考虑非保守内力做的功
理想流体我们定义就是没有粘滞性
所以非保守内力做的功就为0
我们选择地球和这一小段流体做为系统
所以这个机械能的增量呢
就包含这段流体的动能的增量
和这个重力势能的增量
我们假设这段流体的后端呢
这部分的高度是h1 前端位置的高度是h2
那么这个机械能的增量
我们首先写出来是这样的
这个机械能增量就是这一小段流体
流动到b1b2位置之后呢
它对应的机械能减去初始时刻的机械能
就是减去a1a2这一段的机械能
这就是机械能的增量
写出来是这样
b1b2段机械能减去a1a2段机械能
这个b1b2段机械能和a1a2段机械能呢
这两段机械能中间有个交叉部分
就是b1和a2这段的机械能
这个相减的时候它就消掉了
那么我们就得到机械能增量就等于
a2b2段的机械能减去a1b1段的机械能
a2b2段的机械能呢就是
这一小块体积内的这个流体的动能
加上这一小块流体的重力势能
那么a1b1段就是这一小段流体的动能
加上它的重力势能
那写出来就是这样的
我们根据功能原理呢有这个关系就是
外力做的功加上非保守内力做功应该
等于机械能的增量
那么我们把这几个关系带到这里头
化简之后就得到这样一个关系式
这个关系式说明什么呢
任一点处的压强加上
1/2这一点处的密度乘以流速的平方
然后再加上这一点处的密度
乘以重力加速度乘以这点的高度
它是一个恒量不变量
那么我们把这个整理出来这就是伯努利方程
我们通常把这个压强呢称为静压
把1/2V2称为动压
两者之和呢称为总压
下面我们就给大家介绍几个
伯努利方程应用的实例
首先介绍这个等高流管的情况
这个装置图是这样的
大家看上面有一个流管
里面通有气体
那么这个流管的特点是有一部分非常细
那么我们知道这个理想流体做定常流动的话
那么对于一个细流管而言呢
这个粗的地方流速小 细的地方流速大
这个情况就是这样这地方细的话
它的流速就会大
那么根据伯努利方程
既然这个地方流速大的话
那么它对应的压强就小
2的位置压强小的话那么液体就可以被压上来
从这个位置被压上来
压出来之后呢那么气体把它吹出去
这个就是我们的喷雾器的原理
当然呢我们可以用流水来把气体抽出来
那个原理呢就是把这个装置中的流体
和这个气体的角色互换一下
这个是气体流动把液体抽出来
这个水流抽气机呢是流体流动把气体抽出来
他们俩的角色互换一下就可以
这是等高流管的情况
下面我们看看怎么测量这个流速
皮托管测流速
先给大家介绍一个概念叫驻点的概念
当这个流体运动到一个障碍物前端的时候呢
这个障碍物前端某一点处流体是静止不动的
这一点呢就称为驻点
比如说这个图上的A这个点就是驻点
显然驻点处的压强就是总压
那么根据这一点呢我们就可以
设计一个装置用来测流速
最简单的皮托管呢
就是用一个细管弯成直角状
然后把它伸到流体当中
那么就可以来测量流速
只要把这个液面的高度测出来了
流速就出来了
为什么呢
大家注意弯成直角弯的这个管呢
它的这个直角弯处呢就是一个驻点
所以这点处的压强啊就是总压
这个总压和远处流体的静压的差呢
恰恰是通过这个高度差来反映的
所以我们再根据这个伯努利方程
就可以得到这个远处的流体的流速呢
就等于根号2gh
这是皮托管测流速的方法
第三个我们给大家介绍汾丘里流量计
用来测量这个体积流量的一个装置
这个装置的特点就是有一个主管有一个细管
这个细管的截面半径小
所以这个地方的这个流速大
主管的截面半径大呢它的流速小
流速小的地方呢根据伯努利方程啊
它对应的这个压强就大
流速大的地方对应的压强就小
它们之间的压强差呢就可以通过
这两个细管当中液体的液面的高度差来反映
就是通过这个h
那么我们把这些方程列一下
这是伯努利方程
主管处的总压等于细管处的总压
然后它们的压强差呢静压强差呢
通过这个细管中的这个液面的高度差来反映
这个体积流量呢是不变的
就是v1S1=v2S2=Qv
通过这三个方程联立呢我们可以把Qv求出来
Qv就是最后跟这个两个细管当中的液面的
高度差开方有关
所以我们只要测的这个高度差呢
最后就可以得到体积流量
当然设计的时候
这个粗管和细管这些参量都不变的
要变的只可能是这个高度差
这是对于理想流体
实际流体呢都有一定的粘滞性
那么测这个体积流量的时候需要做一个修正
就是在这个公式上
乘以一个小于1的修正量就可以
最后我们给大家介绍一个弧旋球的原理
弧旋球本身这个运动过程是很复杂的
那么我们考虑下面两点之后呢
可以使用伯努利方程做一个粗略的分析
这两点是什么呢
就是要考虑空气的粘滞性
考虑空气的粘滞性之后呢
那么可以出现空气环流
当这个球体转动的时候呢
它周围可以出现空气环流
第二点需要考虑的就是我们做分析的时候
必须选择相对球体静止的这个参考系来做分析
因为在这个参考系当中
看的话 观察的话
它周围的流体才是近似做定常流动
我们把图画出来
就是在相对球静止参考系去观察
这个过程是什么样子呢
一开始有气流流过是定常流动的
那么当球体转起来之后呢
在这个参考系内看到
这个球体是不做平动的只做转动
那么当它转动起来之后呢
由于空气的粘滞性它就会带动周围的空气旋转
这样它就会形成一个空气的环流
这个环流啊叠加到原来的气流上
最后的结果是这样的
上面呢空气流动的速度比较慢
底下空气流动的速度快
那么根据伯努利方程我们知道
流速慢的地方压强要大
流速快得地方压强要小
这样就会导致球体受到一个向下方的力
受这个力的作用呢
这个球最后的运动轨迹呢
会偏离原来的直线方向
所以实际的运动轨迹是这样的
红的箭头所示
这就是弧线球的原理
我们关于整个功和能部分的内容
就学习到这里 谢谢大家
-绪论
--绪论
-质点动力学(一)
-质点动力学(二)
-本章作业
-牛顿三定律、常见力
-应用牛顿定律解题
-惯性力, 潮汐力
-本章作业
-动量, 冲量, 动量守恒
-质心与质心运动定理
-两体问题
-质点和质点系角动量,角动量守恒
-本章作业
-功和动能
-引力,保守力和势能
-势能曲线、功能原理和有心力场
-克尼希定理、质心系中的功能原理
-流体简介
-本章作业
-刚体定轴转动（一）--作业
-刚体定轴转动（二）
-本章作业
-简谐振动, 频谱, 非线性振动简介
-同振动方向振动合成
-不同振动方向振动合成
-本章作业
-简谐波
-惠更斯原理、机械波的半波损失
-波的叠加和干涉 驻波
-多普勒效应
-本章作业
-洛仑兹变换
-相对论速度合成
-相对论动力学基础
-本章作业
-宏观和微观
-温度
-麦克斯韦速率分布律
-本章作业
-玻耳兹曼分布律和平均自由程
-实际气体
-热力学第一定律
-本章作业
-循环过程
-热力学第二定律
-玻耳兹曼熵
-例题
-克劳修斯熵
-气-液-固相变
-本章作业
-期末考试--期末考试Part1
-期末考试--期末考试Part2
-期末考试--期末考试Part3
