8.10 洛伦兹协变矢量和洛伦兹变换不变量**在线视频

同学们好

下面我们简要的介绍一下

洛伦兹协变矢量 和洛伦兹变换不变量

我们把u比c 用β代表

这时候 γ可以写成 根号1减β方分之一

这个时候 洛伦兹变换可以写成这个样子

把时间乘上ic

洛伦兹变换可以写成这个样子

你看 这是t′变成ict′

这是t 变成ict

c分之β 乘起来之后就是iβ

这样 我们就可以把洛伦兹变换

写成下面的简洁形式

打撇的四个量和不打撇四个量

变换时乘上一个矩阵

这个矩阵 叫洛伦兹变换矩阵

我们简称为变换矩阵

写成这种形式的好处

一 便于记忆

第二 它的数学性质比较好

下面我们简要介绍一下

首先我们证明 洛伦兹变换矩阵是个正交矩阵

这是变换矩阵 这是它的转置

转置就是以对角线为轴转一下

这两个矩阵相乘应该等于单位矩阵

那表明这个矩阵就是 正交矩阵

我们再定义一个量 叫做洛伦兹协变矢量

在两个相对做匀速直线运动的惯性参考系之间

满足洛伦兹变换的矢量

我们称为洛伦兹协变矢量

或者称为四维矢量 四矢量

洛伦兹协变矢量满足这个变换

不打撇的四个数 和打撇的四个数

按照乘这个矩阵变换

那么 这四个数我们叫做洛伦兹协变矢量

比如 一个事件的时空坐标x y z ict

就是一个洛伦兹协变矢量

因为它满足这个变换

好 我们介绍洛伦兹变换不变量

在洛伦兹变换下不改变的量

我们称为洛伦兹变换不变量

简称为不变量

我们下面证明这么一个结论

洛伦兹协变矢量 就是四矢量

它的四个分量的平方和

一定是一个洛伦兹变换不变量

比如 事件的时空坐标的分量的平方和

就是一个不变量

一个事件的时空坐标是x y z ict

那这四个数分别取平方 求和

在S系中 是x方加y方加z方加上ict的平方

i的平方是负1 所以就是负的c方t方

这是S′系中 分别是打撇的量

这两个量是相等的

所以我们说 一个事件时空坐标的

分量的平方和是个不变量

这个可以这样证明

我们有四个量 构成一个协变矢量

这是不打撇的 这是打撇的

中间乘一个变换矩阵

所谓这四个数的平方和

比如打撇的这是四个数的平方和

就是 这个行矩阵乘上这个列矩阵

注意 T代表这个列矩阵

把它转一下 行变列 列变行

它就等于 1乘4矩阵 乘上4乘1矩阵

最后变成1乘1矩阵 就是一个量

好了 我们把这边的打撇的四个数

这个列矩阵写成 不打撇的四个数构成列矩阵

乘上变换矩阵

这边呢 这边是一个行矩阵

所以它应该是 矩阵的转置

变换矩阵转置 再乘上这个行矩阵

要转置 这个要转置

这个呢 相乘的次序要反过来

我们知道

我们利用洛伦兹变换矩阵的正交性

这两个矩阵相乘是个单位矩阵 就是1

所以得到的结果呢

就是这个行矩阵乘这个列矩阵 就是这个数

不打撇的四个量的平方和

所以 打撇四个量的平方和 就等于

不打撇的四个量的平方和

也就是说 这四个数的平方和是一个不变量

我们介绍间隔 和两个事件间隔是不变量

这个概念

我们看 有两个事件

脚标分别是1和2

这两个事件间隔是这样定义的

这两个事件坐标的差 平方

加上ict1和ict2的差的平方

前面加个负号 叫做间隔

记为ΔS平方

加负号是为了理论上的统一

我们不管它

把它写成这个样子

就是把这个i的平方写成负号

然后呢 有c的平方

把这个负的移到前面

是这个样子 我可以写成这个

其中Δt 就是t1减t2

Δr方 就是这三个坐标差的平方和

所以 两个事件的间隔可以写成

c方乘Δt方减Δr方

c方乘上这两个事件的时间差的平方

再减去这两个事件距离的平方

这我们定义成间隔

间隔是不变量

下面我们要证明

间隔是不变量就是说 两个事件的间隔在

S′系中和S系中是相等的

为什么会这样

这是因为x1减x2 y1减y2 z1减z2 以及ict1减ict2

这四个量构成的这一个矢量

是一个洛伦兹协变矢量

因为 每个都是一个协变矢量

相减 当然也是一个协变矢量

因为洛伦兹变换是一个线性变换

既然它是一个洛伦兹协变矢量

那这四个数的平方和就是不变量

而这四个数的平方和加个负号 就是间隔

所以我们就证明了

好 我们介绍几种特殊情况下的间隔

第一 同地相继发生的两个事件的间隔

前面是ΔS方等于c方Δτ方减Δr方

这是间隔的定义

同地发生 Δr等于0

那同地发生的两个事件间隔

ΔS方 就是c方Δτ平方

我们知道 同地发生的两个事件的时间间隔 我们叫原时

Δτ就是原时

c方Δτ方 是个不变量

当然Δτ就是个不变量

所以有个结果 就是原时Δτ是个不变量

第二 不同地方同时发生的两个事件的间隔 同时发生

所以 Δt平方就是零

这个时候的间隔 就是Δr方 前面有个负号

这也是个不变量

第三 用光信号联系的两个事件的间隔等于零

用光信号连接

Δr 就等于c乘上Δτ

这两个一减 那当然就是零

这是经常见到的 几种特殊情况下的间隔

它们都是不变量

好 这一节就介绍这么多 谢谢