7.2 简谐波的波函数(1)在线视频

我们看一下简谐波的波函数

如何在数学上描述一个简谐波

我们看 沿着x轴正方向传播的情况

看这个图

波沿着x轴正方向传播

在没有耗散的线性介质中

假如我们知道了 O点这个地方的质元的

振动表达式是这个样子 y0=Acos(ωt+φ)

其中A代表振动的振幅 ω代表频率

φ代表初相位 就是时间等于0的时候

O点振动的相位

相位(ωt+φ)它反映O点的振动状态

我们问 在坐标x 假如x>0

那个地方的质元 它的振动表达式是什么样子

好 也就是说我知道了O点的振动函数

求x点的质元的振动

首先 x点质元振动的振幅不变

因为我们是在没有耗散的介质中传播的波

相位

相位是什么

在x那一点，质元的振动相位是什么

我们看一下

x那点的相位 要比O点的相位要滞后一段时间

滞后的时间是多少

假如波传播的速度是u

那显然 滞后的时间是x/u

x那点距离O点的距离x 比上波传播的速度

或者相位传播的速度

那这个t时刻 x点的相位 我就可以写出来了

就是ω乘上时间 再加上初相位

因为你时间滞后了x/u

所以应该是t-x/u

这个就是x那点的相位

注意 其中的φ 是O点振动的初相位

有了这个相位之后

我们就可以写出 x那点质元的振动表达式

也就是位移的表达式

应该是这个样子

振幅不变 频率不变 但时间延后了x/u

就是这个样子

我们从O点的振动函数

就求出了x那点质元的振动函数

这个就是沿着x轴正方向传播的

简谐波的波函数

大家想一下

我们沿着x轴正方向传播的一个简谐波

问x<0那点的质元的振动函数是什么样子

我们刚才推导的是x>0那一点的振动函数

大家想一下

同样向x轴正方向传播的简谐波

x<0那点的振动函数应该是什么样子

好 我们下面看一下

沿着x轴反方向传播的波函数应该是什么样子

这个时候的波速方向是这个方向

沿着x轴的反方向传播

同样 O点的振动函数还是Acos(ωt+φ)

O点的振动形式不变

这个时候 x点的质元的振动相位

要比O点的相位要超前还是滞后啊

显然应该超前 因为那个波往这个方向传播

超前的时间是多少呢 就应该是x/u

所以 沿着反方向传播的波函数 应该是t+x/u

它的时间超前

就是当t=0时刻的时候

这一点的振动相位应该是ωx/u

这样我们就可以得到

简谐波的波函数的一般表达形式是这个样子

其中 减号对应沿着x轴正方向传播

加号对应沿着x轴的反方向传播

下面我们看一下这个函数的性质

在函数中 时间和坐标是以t减或者加x/u形式整体出现

这是它基本特点

我们下面要看 这种波的性质

是某种扰动逐点传播的波

或者沿着正方向

或者沿着反方向是传播的波

这种波我们叫行波

相当于行进的波

行波的波函数一般形式可以写成这个样子

y等于f括弧t减或者加x/u

这是某种函数形式

这种函数可以是cos也可以是sin

或者其它的形式

只要时间和坐标 以这个整体的形式出现

这个波就有传播的性质

所以我们把这类波叫做行波

其中 简谐波

这个波函数对应的简谐波就是一种行波

其中的减号对应的是右行波

就是沿着x轴正方向传播的波

加号对应的是左行波

那你看这个式子

减号和加号分别对应

沿着x轴正方向和反方向的简谐波

下面验证一下 这个行波具有传播特征

好 我们看 我们以右行波为例

这个函数形式为例

来讨论一下它的传播特性

假如t时刻 这个波在这个位置

t时刻 x位置它的位移是这个样子

是某个函数形式

注意 我们的波速跟位置

和时间的关系是这个关系

好了 我问t+△t时刻 这个波在什么位置

就是这个函数 对应的曲线在什么位置

我们把原来这个函数中的t用t+Δt代表

x用x+Δx代表

这个就应该是t+Δt时刻

这个函数所处的位置和形状

注意 我们这个速度是沿着正方向传播的

是右行波

好了 既然Δx/Δt=u 那么Δx就是uΔt

我把Δx用这个式子代进去 x+uΔt

u约掉了 一加一减

好了 我们得到的这个函数形式

仍然是t-x/u

跟t时刻函数形式是一样的

画个图

那在t+Δt时刻

这个函数f 原封不动的传递到了x+Δx位置

这就是行波的传播

所以我们验证了

凡是以这个为整体作为函数形式的函数

它代表的都是向右传播的行波

它具有传播性质