当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 10.10 理想气体的绝热过程
同学好
这一节我们讲理想气体的绝热过程
绝热过程当然是指
系统和外界没有热交换的过程
首先我们先啊研究一下
理想气体准静态绝热过程
当然不管什么过程
热力学第一定律总是要成立的
那么对于理想气体准静态过程呢
这两项呢分别可以用这两个式子来表示
那这里面呢这个是上一节讲过的
对于准静态过程
做功又可以用PdV来表示
因为这是绝热过程
所以它的吸热是等于零
对于理想气体准静态过程
理想气体的状态方程也总是成立的
那么对这个式子我们可以做一下微分
那么这两个微分式子啊里面都有dT呀
我们把它消掉
我们就得到了下面这样一个式子
简单化一化就出来
那这里面这个γ就是比热容比
它是一个常量对理想气体来说
那么这个积分呢很容易做
积分的话这不是lnP吗这是lnV
把γ放到ln里面的话它就是V的γ次方
整理一下我们就得到了
PVγ次方是等于一个常量
这个就是理想气体准静态绝热过程的方程
如果我们把理想气体的状态方程
和这个式子联立起来
我们就可以分别得到
温度和体积的关系式子
以及压强和温度之间的关系式子
那么这些方程呢
统称为理想气体准静态绝热过程的方程
那么对于这个式子来说
我们看到啊因为γ是大于1的量
所以说呢当你体积减少的时候啊
它这个温度怎么样呢就要上升
也就是说如果理想气体准静态绝热过程
是压缩的过程
那么这个时候呢它的温度就会上升
下面呢我们可以看一段演示实验
这是有关气体绝热压缩的一个演示实验
这是普通的一个气筒
我通过移动这个活塞呢
可以压缩里面的空气
假如我快速地压缩这个活塞的话
因为里面的空气来不及和周围交换热量
所以近似地可以看作是一个绝热压缩过程
如果我把一些纸屑啊这是普通的纸
我把一些纸屑放在里面
然后我快速压缩这个气体的话
会发生什么现象呢
我们来看一下啊
由于空气急速地被绝热压缩
里面的温度急剧上升点燃了里面的纸屑
我们通常是用理想气体来近似实际气体
比如说空气的这样的气体
一般情况下常温下常压下
这个近似是非常好的
可是假如说这个压强是比较高的情况
比如说啊这个空气在几百个大气压下
那么这个时候你用理想气体这个方程
近似这个实际气体的话啊
它近似不是很好
这个时候呢啊稍微好的近似应该是
范德瓦耳斯气体方程
对于范德瓦耳斯气体如果你有兴趣的话
也可以同样推导出
准静态绝热过程的方程
那么它和理想气体的
这个准静态绝热过程的方程呢
稍微不太一样啊
如果你有兴趣的话你可以回去试着推导
下面呢我们看一个例子啊
关于声速计算的例子
那么前面呢在波动那节里面我们讲过
在空气中啊声速的计算公式是这样的
那这里面这个ρ呢就是空气的密度
而这里面这是体积对于压强的偏导数啊
而这里面这个零啊是表示这个偏导数
在压强等于一个大气压的时候的取值啊
那现在你计算这个偏导数的时候啊
你就要问你这个过程是什么过程对吧
假如声波传播的过程它是绝热过程的话
那么你用准静态绝热过程的方程
计算这个体积对压强的变化率的话
我们就可以得出声速是这样一个式子啊
这里面这个γ就是比热容比
P0呢是一个大气压
把这些值代进去的话呢
算出来的结果是332米每秒
假如声波传播的过程它是一个等温过程的话
那么你得用等温过程的这个方程
那用这个方程计算
体积对压强的这个变化率的话呢
我们得出来的公式啊声速的公式是这样的
结果是280米每秒
当然直观上啊通常人们会以为
声波传播的过程应该是等温过程
为什么呢
你听声音的时候啊
你觉察不到温度的变化对吧
可是实验结果呢它支持这个结果
实验测量的结果是330米每秒左右啊
所以很显然声音传播的过程应该是绝热过程
这个我们可以这样理解
声音传播其实是什么呢
这个空气一疏一密这样变化的过程
那么这个一疏一密变化啊比较快
在这个过程当中
这个空气来不及和周围的空气交换热量
所以它是绝热过程
怪不得牛顿曾经也算错过
所以我们知道犯错是人的共性 对吧
下面这个图片呢展示的是夏季啊
我们拍摄到的这个雪山的这个景色
你在山脚下看它是夏天
可是山顶的雪呢它是不化的
那么这个现象我们怎么理解呢
很显然大气温度随着高度应该是变化的对吧
这个原因是这样
我们用下面这个模型呢简单讨论
就可以定性的解释这个现象
你比如说我们忽略风的影响啊
假如说太阳一照空气密度就减少了
因为它变热了
于是呢空气缓慢的上流
缓慢上流过程
因为空气的导热性是比较差的
所以你可以认为这是绝热过程
而且这是缓慢上流啊
你可以认为这是准静态绝热过程
由于重力啊我们知道
空气啊离地面高处的这个密度啊
要比低面处的这个密度啊要小
所以其实这个过程呢
你可以理解为空气是准静态绝热膨胀过程
根据我们前面啊
推导的理想气体准静态绝热过程
我们知道如果气体是准静态绝热膨胀的话
它的温度怎么样呢就要下降
所以山顶的这个温度啊比山脚的这个温度呢
当然是要低的
这是定性的一个解释
定量我们怎么解释呢
假设我们考虑一个空气层对吧
这个空气层因为是缓慢上流
所以没有加速度
所以它是力平衡的
那么这个力平衡方程我们很容易写出来
就是上面的压强乘上面积就是受的力
再加上这一小层薄层空气的重量
等于下面这一层上的压强乘上面积
这是力平衡方程对吧
整理一下我们就得到了这么一个式子
压强对于高度的变化率
是等于负的空气密度乘上重力加速度
假如你考虑的这个高度范围是很小的话
你可以近似地认为这个空气密度是一个常量
这个时候啊这个你很容易把它积分出来
就是这么一个式子
这个式子你看起来啊肯定是很熟悉的
这其实是在初中我们讲过
就是水的静压力 不是ρgh吗
所以在这个意义上我们说空气也好水也好
你都是一个流体
可是在地面上啊如果你考虑的这个高度啊
是比较大的变化
比如说上万米几千米
这个时候啊空气密度变化比较大
你不能把这个空气密度当做常量处理
这个时候呢
我们可以利用理想气体状态方程
把这个空气密度计算出来
这里面这个M呢是空气的摩尔质量
那这里面这个压强和温度啊
其实都是随着高度变化的
我们可以利用数学里面的
这个复合函数求导公式
我们可以把这个压强对高度的变化率啊
用压强对温度的变化率再乘上
温度对高度的这个变化率来表示出来
刚才我们说了空气这个过程呢
它是准静态绝热过程
所以压强对于温度的这个变化率啊
我们可以利用这个理想气体
这个绝热准静态过程这个方程计算出来
那计算结果当然是这样的
把这个结果以及刚才我们得出来的
这个前面这个公式合在一块
我们就得到了温度对于高度这个变化率
它是这么一个式子
这里面右侧你一看它都是一个常量
我们可以把这个空气的比热容比
常温下它大概是这个1.4啊
那么空气的摩尔质量它是平均的摩尔质量
代到这里面计算出来的结果是
温度对于高度的这个变化率啊
它是等于9.8度每公里
也就是说你这个高度啊
上升一千米左右的时候呢
你这个空气的温度啊下降十度
那么这个式子啊
如果你和实验观察值比较的话你会发现
当你这个高度小于一万米的时候啊
就是大概几千米这个范围内呢
它这个还是啊很好的近似公式
再高了就不行了
因为再高了
那里面空气的这个流动啊是不能忽略的
那么根据这个式子
假如我们刚才看到的那个雪山的景象对吧
山脚下和山顶比如说相差3000米
山脚下的温度呢是20度
那很显然根据这个式子大致是什么呢
是山顶的温度应该比山脚的温度低30度
那山顶的温度大概是零下10度啊
山上的雪当然是不化的了
刚才我们讲的是理想气体准静态绝热过程
如果不是准静态绝热过程呢
它不太一样
你比如说我们要研究气体绝热自由膨胀
自由膨胀的时候啊它不是准静态过程
比如有个气体是装在绝热的这个容器里面
也就是说它跟这个外界是没有热交换的
现在这个气体呢放在左边啊这一个格子里
这中间是一个隔板
右侧是真空
假如你把这个隔板去掉的话
这个气体呢就会自由膨胀到整个容器
那么在这个过程当中
因为整个这个容器是一个绝热的容器
所以它是不吸热的对吧
气体自由膨胀的过程
因为它没有什么阻挡
所以它也做不了功就是它也不做功
那么根据热力学第一定律我们知道
不吸热也不做功
当然这个气体的内能怎么样呢
也是不改变的
那么对于理想气体来说
因为理想气体内能和温度是成正比的
你这个内能不变化当然温度就不变化
所以理想气体绝热自由膨胀的话呢
它是温度不变的
假如你在这个过程当中你误用理想气体
绝热准静态过程那个方程的话
那你就会得出错误的结果对吧
假如说你这里面这个气体不是理想气体
那这个时候啊
你这个结论是稍稍不一样的
因为对于实际气体来说
它在里面的内能呢
它不仅是有这个无规运动动能
还要包含气体分子之间吸引力引起的
这个相互作用势能
那么对于实际气体
刚才这个过程这些结论总是对的
因为这是用热力学第一定律推导出来的
现在因为对实际气体来说体积一变大了
分子和分子间距离呢变远了
所以呢它们之间的相互作用吸引力啊就变弱了
所以它们的势能怎么样呢就增加了
内能是不变化的 势能增加了
它的无规运动动能怎么样呢
就要减少
所以说实际气体绝热自由膨胀后啊
一般来说温度是下降的
我们现在知道宇宙是通过爆炸而形成的
爆炸以后这个宇宙进行膨胀
一开始呢这个宇宙啊是一个火球温度很高的
可是现在这个宇宙呢很冷
我们说现在宇宙的背景辐射温度大概是2.7K
也就是说它是等于零下负270度左右
很冷的
可是一开始它的温度呢是非常高的
那这是为什么呢
你可以用刚才我们讲的这个现象呢理解它
也就是说这个宇宙自由膨胀
膨胀的结果怎么样呢
温度会下降
大致可以这样理解
好 这一节内容呢就讲到这儿 谢谢
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