当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 6.13 品质因数*
下面我们介绍一个重要的概念 品质因数
就是Ｑ值
一个振动系统 比如弹簧 电感线圈
它受到阻尼作用的大小
我们可以用系统的能量衰减情况来反映
我们把品质因数 这样定义
这是t时刻系统的能量
这个t时刻系统的能量减掉t+T时刻的能量
这个就代表在一个周期内
系统由于阻尼损失的能量
t时刻的能量比上 一个周期内
系统损失的能量 再乘上2π
这个就叫做系统的品质因数
你会看到 这Q值越大
系统在阻尼振动中能量衰减就越慢
这个越大 就说明呢
在一个周期内损失的能量就越小
我们讨论的问题呢 通常都是阻尼很小的情况
实际问题总是这样
就是β平方远远小于ω0平方
系统的品质因数的计算公式是这样的
Q等于ω0比上2β
ω0 是没有阻尼的时候自由振荡的时候
系统的本身角频率
β是阻尼系数
按理说这个公式可以看出来
系统的本征频率越高 阻尼系数越小
这个系统的品质越好 Q值越大
我们还用刚才那个图
横坐标是ω 纵坐标代表振幅
你由这个图可以看到
Q值越高 阻尼越小
共振峰值就越大越尖锐
这个阻尼非常小的时候 就是共振峰越尖锐
共振峰尖锐说明
系统对外界激励的选择性就非常好
这是品质因数的一个性质
关于这个计算公式呢
我们可以简单的证明 很简单
t时刻系统的能量
我可以写成这个样子 二分之一kA0平方e-2βt
注意 这个就代表阻尼振动的振幅
这个K呢 就代表系统的等效劲度系数
我把这个系统当一个弹簧
分子分母都除上E(t)
就是这个式子
2π 1减去t+T时刻的能量 比上t时刻的能量
那么t时刻的能量和t+T的能量
用这个式子代进去 不就得到这个式子
Q等于2π除上1减e的-2βt次方
好 下面我做近似计算
我看它是什么东西
条件是这样
因为我们是欠阻尼情况
而且呢 阻尼非常小
满足β方远远小于ω0平方这个条件
那就可以把周期写成2π除上 这就ω
由于β远远小于ω0
所以我就得到周期近似等于2π比上ω0
好了 那β乘T
这是T
那T再乘β 那就是2πβ除上ω0
这个乘上β
它也远远小于1
因为β远远小于ω0 2π是个常数
好了 我得到这个结果
就βT远远小于1
那你这个e指数 我就可以做泰勒展开
因为βT是远远小于1的一个数
好了 我把这个因子做泰勒展开1-2βT+…
我取到这一项就可以了
那你按照Q值的定义
我用这个式子
把这个指数的泰勒展开代进去
我取到这一项 就得到了ω0比上2β
就是我们要证明的 系统的Q值的计算公式
好 这一节就讲到这儿 谢谢
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