9.10 麦克斯韦速度分布律在线视频

同学们好

那么前两节呢

我们介绍了麦克斯韦速率分布律

这节课呢我们将给大家介绍一下

麦克斯韦速度分布律

他们的差别在于什么啊

那个是速率间隔 这个是单位的速度间隔

如果用三维的空间来画

速度空间里面呢

这样一个小的立方体里面的概率

这个就是单位速度间隔的这样一个分布函数

那么我们可以想象一下

因为分子的这个分布啊

他的速率分布是对空间中各项同性的

因此他应该和方向无关

所以这个速度分布函数

我们不需要推导就知道

它一定是能满足这样一个形式

因为3个方向都是独立的

同时呢他们乘起来的这个结果

一定是只和什么有关啊

一定是只和速率有关而和速度的方向无关

一定是这样的

那么麦克斯韦呢

他就给出了这个关系式

这个关系式长这样

我们发现他和前面那个速率分布函数

是非常接近的

这也有这么一个因子

只不过这没有那个v方

并且也没有前面那个4π的那个常数

那么我们看到这个因子是什么意思呢

它实际上是分子平均平动动能除以kT

因此啊我们说啊这个叫做什么啊

速度分布因子

因为他是和速度分布有关的

同时呢他也只和什么呢

分子的平动的动能相联系的这么一个式子

将来我们在由它推广的时候

就可以给到玻尔兹曼的分布律

好啦那么现在啊

我们就由麦克斯韦速度分布律呢

来推导麦克斯韦的速率分布律

这是可以严格推导的

而麦克斯韦速度分布律呢

他的推导要通过统计力学的办法

才能够严格的给出

这个感兴趣同学可以去看相关统计力学的书籍

我们这里就不再介绍了

那么从速度分布律到速率分布律差别在哪呢

速度分布律啊是空间中一个立方体的小格子

他是和方向有关的

而速率分布律是指单位速率间隔 和方向无关

换句话说什么啊

它对应的是速度空间里面

整个从v到v加dv这么一个球壳里面的分子数

而不是这个一个格子里的分子数

我们求这个球壳分子数就得到了速率分布

那好了

这个球壳呢 他的半径为v 球的厚度为dv

这个球壳的体积为多少啊

体积等于球壳的面积4πR2

R是半径 那么他是实际上就是4πv2

因为半径是v乘以球壳的高度是dv

这是他的体积

那么我把这个所有体积里的分子数全算出来

就得到了我们的速率分布

所有体积的分子数是多少呢

这个体积乘以这个体积单位格子里面的分子数

也就是麦克斯韦速度分布律

乘完之后我们就得到了我们要的结果

这个是什么啊

这个实际上就是麦克斯韦速率分布律

如果同学们把这个记住的话可以看一下

完全一样

下面我们要讨论一个非常有趣的问题

我们要分析什么呢

分析器壁上单位时间单位面积上

撞过来的一个分子数的数目

这个是有实际意义的

注意到他和压强不一样

压强是我们不只知道数目

还要知道碰撞的动量变化

那么怎么分析呢

有了麦克斯韦速率分布律我们其实知道了

只要对什么啊

满足能够撞到这个单位面积

并且在这单位时间能撞过来的这个分子数求和就行

那么所有的这个速度的分子都要算进来

也就是说对这个小格子呢将它做积分

那我们来看一看怎么来分析这样一个问题

这个其实跟压强的分析很接近的

我们先在这个器壁上呢

取这样一个小的dA这么大的一个微元

注意到dA我们还要满足

宏观上足够小微观上足够大

好了我们现在首先不考虑所有的分子

就考虑速度为v的分子

如果他能够在dt的时间内

撞到这个小的器壁上

这样的分子数是多少

那么显然跟我们讨论压强的时候也是类似的

应该是这么一个圆柱体的体积

里边的所有分子都可以撞到器壁上

这个圆柱型的底呢是dA这个面积

高呢应该是什么啊

高就是假设这器壁呢是和x方向垂直的

那么高呢就是vx乘以dt

注意到因为他是一个斜的一个

所以高是取垂线

这个分子数是多少呢

那么等于这个vx乘以dt乘以dA

再乘以对应的分子数密度

那么这里边所有的分子

都可以在dt时间内dA面积上撞到这个器壁上

好啦现在我们要考虑各种各样的这个速度v

那么也就是对所有的这样的小柱体的积分

这个时候我们就需要采用什么啊

采用速度分布函数了

因为每一个速度v对应的单位速度间隔呢

这个分子数都是f(v)乘以总的什么啊

总的这个分子数

这样我就把它乘进来再乘这个分子数

然后做积分

注意到因为我们要把所有这个方向都考虑进来

因此我们要对这个东西积分

这个积分值怎么算呢

他的计算我们看到好像很复杂

但其实很简单

Y和Z的方向计算其实是

只是拿到什么啊前面那个归一化系数里面

只有x方向积分呢需要重新算

也就是这样一个东西

根据什么呢根据这样一个公式

这个公式可以从

我们前面给的数学公式中推出来

y和z方向有两个计算式非常简单的

他都对应前面这个

归一化因子的一个1/2次方

那么都抵消一个

分别抵消一个1/2次方的因子

只有x方向的积分要稍微特殊一点

是这样的

这个积分呢不需要用这个公式

这个积分非常好算

我们把这个vx啊拿到这个里面来

变成二分之dvx平方

然后换元 一换元的话呢

它就变成一个普通的指数函数计算

可以立刻就把它积出来

这个结果呢是长这个样子

那么请同学们课下自己去算一遍

我这就不给大家详细去算

那么把它带进来啊

这个样子我们说还是不够好

为什么不够好啊

和我们之前求得那些各种速率都没联系起来

我们注意到这个中间有个π

而三种速率里面谁有π呢

那个平均的速率有π

还记得把是π分之8

所以这个地方呢弄一个π

这弄一个8这提出来一个16

开出来就是1/4

我们得到了这个单位时间内

单位面积上碰撞的速率是多少呢

也是1/4倍的这个n乘以v的平均值

换句话说什么意思啊

单位时间单位面积上碰撞的分子数有这么大

那么它显然是和分子的密度成正比的

分子数密度越大 它就碰撞的数目就越多

这是我们可以理解的

同时呢也和平均的这个速率有关

速率越大 碰撞数越多

而前面这个1/4呢

是要通过麦克斯韦速率分布律

才能够把它严格的给出

我们由此呢 来看一个例题

假设啊有一个容器

这个容器呢内部的压强远远大于外部的压强

这个近似外面是一个真空

容器的体积为V

温度呢是一直保持不变的

同时在容器上开一个非常小的小孔

小孔面积为ΔA

题目要问什么呢

要问容器的压强从p0

降到p0/2所要的时间Δt

什么意思啊

这个气体啊不断的从这个小孔里面泄露

那么随着气体的泄露呢 压强就会不断的降低

降到原来一半的时候 它所需要的时间是多少

这个实际上要算的是什么啊

是单位时间内

从这个小孔里边泄露的分子数有多少

这个分子数是多少呢

那么就等于单位时间内

单位面积上从这个里边跑出来的什么啊

碰撞器壁的分子数

刚才我们都推过了就是这个Γ

那么我们在把这个面积乘上 再把时间乘上

它就代表了dt时间内

ΔA这个面积上跑出来的这个分子的数目

因为是总的分子数目在降低

所以得有个负号

那么这个Γ我们知道了它等于什么啊

等于1/4倍的N乘以平均速率

而n呢等于N/V

这样呢我就得到了一个什么啊

得到了一个微分方程

我把这个N除过来

变成这么一个简单的微分式

两边同时做积分

积分的时候啊注意到换元

因为粒子数的比 体积是不变的

温度也是不变的

粒子数的比就等于压强的比

所以啊这个积分可以换成这个样子

而时间呢是从0到Δt上这样一个积分

这边呢是压强从P0到P0/2的一个积分

它的结果应该是lnP p0 p0/2

而这边呢这里边的量都是和时间无关的

所以说就是常量

我就把这个求出来

这个结果这有一个ln2

我们看这个结果啊非常的简单

看到什么呢

容器的体积越大这个时间呢应该就越长

这个也可以理解成普通气体越大分子数越多

这个孔呢它的面积越大那么时间就越短

因为单位时间内漏气呢就越多

同样呢这个分子啊

这个平均速率越大 它也是时间越短 漏气越快

比如说对于氧气

300K的时候

氧气的平均速率我们应该算过是445m/s

它体积呢假设是一升

也就是10^3cm3

假设这个小孔的面积啊是0.1mm2

是一个非常小的小孔

那么你算出来的结果大概是多少呢

是62.3s 也差不多就是1分钟

就会漏掉一半

我们知道啊在温度相同的时候

分子的质量越小它的平均速率就越大

这样呢对应的漏气时间就越短

换句话说漏的越快

这有什么用呢

这个有非常重要的应用

我们知道啊核电站里面燃烧核燃料呢

这个核燃料是什么呢U235

而自然界里广泛存在的不是U235是U238

U235占U238的这个比例也就是U235的丰度

大概只有7.1‰这么一个量

而如果核电站要燃烧呢

它的这个丰度应该达到3％

如果是制造核武器这个丰度也就是浓度

应该超过90％才能够引发核爆炸

因此啊我们就需要把天然铀矿里的铀

不断的提纯让这个U235的比率越来越高

那怎么提纯呢

我们就利用刚才这个气体扩散的办法

那么首先啊我们要先把它变成气体

而U的这个温度啊应该在2500K以上

才能变成铀蒸汽

这个实际上呢是很难做到啊

那怎么办啊

实际操作的办法是这样

我们利用化合物UF6

UF6在常温下边呢它就是蒸汽

这个装置呢也很简单

我把这个UF6的蒸汽

它里边同时含有U238和U235两种元素

放在一个容器里边

这个容器啊通过一个多孔膜把它隔开

这边是真空

这样呢U238和U235

同时可以通过这个多孔膜呢扩散过来

由于U238和U235的分子量与原子量不一样

一个是238一个是235的摩尔质量

那么UF6当然还要考虑氟的这个原子量

它们的质量有差别谁大呢

238的质量要大一点

235的质量要小一点

这就意味着在同样的温度下

它们的扩散的这个速度是不一样的

因为扩散率等于密度乘以一个速度v

那么如果这个速率v要完全一样的话

这个扩散的速度只和什么有关啊

只和这个密度有关

换句话说它们俩的比永远都不可能改变

因为是不可能提纯的

而因为U235的质量比U238的质量要小

所以对于同样密度下

U235的这个扩散的速度

就要比U238的扩散速度要快

因为它的平均速率要大

这样的话呢我们可以想象

通过这样的一个多孔膜渗透过来

那么U235的比率也就是UF6这个比率

对应U235同位素的比率要比什么啊

要比原来那个比率要稍微高一点

高多少呢

因为这个平均速率是和

分子质量开根号成反比的

所以这个比率呢我们可以简单算一下

你发现这个高的量呢大概只有1.00429这么多

这什么意思啊

它告诉我们通过这样扩散的办法

来实现提高U235的丰度

这个方法呢它的效率是非常非常底的

那怎么办呢

我们可以通过多级的容器

一级呢那么只提高一点点

那么从一级之后在进入第二级再提高一点点

那么通过计算你发现需要通过多少级呢

需要1131级这样的一个装置

才能够把U235的浓度提高到90％

那么建造这样的厂房我们说

首先厂房非常大而且耗能非常非常高的

这是一种非常不经济的办法

这个就是所谓的多级扩散器的一个样子

有1千多级才能完成这个任务

那么好了那么现在呢

实际上采用的这个办法

已经不是这样的办法了

它采用的什么啊

是离心机的办法

让这个容器啊高速的旋转起来

那么根据高速旋转我们就知道

不同地方的U238和U235的比例呢会发生变化

那么只要我们在上边插一个管子

在哪呢在U235的比率高的地方

插一个管子把这个气体抽出来

那么就获得更高的U235比率的气体

那么这种办法叫做离心机的办法

那请问同学为什么这样的方法是可以的

它和我们刚才这种扩散法有什么不同

好 这节课就到这儿 再见