当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 5.8 进动*
现在呢我们讨论5.8节刚体的进动
首先呢我做一个演示实验
来说明一下进动现象
这是一个圆盘
这个呢是它的对称轴
这个对称轴呢是通过质心的
这是一个支点这是一个支架
我现在把这个支点放在支架上
会发生什么事呢
毫无疑问会倒下
现在我让这个圆盘呢高速的旋转起来
看看怎么样呢
现在这个圆盘已经高速的旋转起来了
我把这个支点放在支架上
大家看到呢
这个圆盘的自旋轴绕着竖着的这样一个轴啊
在旋转
我们把自转刚体的自转轴
绕着另外一个轴旋转的现象称为进动
正如在刚才演示实验里面看到的
高速旋转的物体其自转轴
绕另外一个轴转动的现象称为进动
那么为了把我们的注意力呢
集中在进动这个基本概念上面
我们只讨论了一个特殊刚体的进动问题
什么特殊刚体呢
也就是质量分布啊轴对称的这样一个刚体
那么对于这样的刚体
它的角动量有什么特点呢
我们先举一个简单的例子
两个质点m1和m2
用一根轻质的细杆呢连起来构成一个刚体
我们先把刚体呢水平放置
绕着一个竖直轴呢做定轴的转动
这个轴呢是通过这个杆的中央位置的
好 现在呢我们在这个旋转轴上呢
选择了一点O点
我们现在讨论m1和m2
相对于O点的角动量是多少
很显然我们先一个定义吧
先定义呢对O点的角动量啊整个系统啊
整个刚体对O点的角动量呢我们写为Lo
那么对这个转轴的角动量呢写成Lz
先讨论质量不对称的情况
也就说m1和m2不相等的情况
这儿假设呢m2大于m1
正是m2大于m1
所以呢P2这个动量啊是大于P1的
那么m2和m1对O点的角动量呢
可以分别写为L2o和L1o
由于呢P2是大于P1的
所以L2o是大于L1o的
那么L2o和L1o合成的总的角动量呢
我们可以写在这儿了
从这个几何关系很容易发觉
合成的总的角动量
也就是这个简单刚体的总角动量
Lo呢和z轴呢是有夹角的
也就是说对于这个轴上O点的角动量
不等于对轴的角动量
它们之间是有夹角的
如果对称的情况
如果m1=m2又怎么样呢
很显然如果m1=m2的话 L1o=L2o
当然大小了
那么合成的总角度量Lo呢
显然是沿着旋转轴的
也就是说如果m1=m2的话
整个刚体的总角动量对O点的总角动量
就等于相对轴的角动量
更一般呢我们可以证明
任何质量分布轴对称的刚体
对于旋转轴上一点的角动量
就等于相对轴的角动量
好这儿呢我们可以简单的说明
用对称性原理呢就可以简单的说明
比如说这是一个刚体
这是它的对称轴也是它的旋转轴
那么对称轴上呢有一个参考点O点
由于呢这个是它的一个对称轴
言下之意呢
如果这个刚体旋转一个角度以后
比如说旋转一个180以后
这个刚体的状况呢和原来的状况是一样的
假如对O点的角动量啊
有一个垂直于旋转轴的分量
也就是如图所示的分量
把这个刚体呢旋转180°以后
这个角动量呢就会变到这个位置
根据我们刚才的分析
由于这个刚体呢是关于旋转轴是对称的
按理说旋转180°以后的状态
和以前的状态是一模一样的
也就是说它的角动量也应该是一样的
这个显然呢和这种分布情况是不相吻合的
所以呢根据对称性原理我们很容易证明
对于一个轴对称的
质量分布轴对称的一个刚体啊
它对旋转轴上某一点的角动量
和对轴的角动量啊是完全相同的
我们呢只讨论这类刚体的进动
好 我们举一个玩具陀螺旋进的例子
我们具体分析一下
这是一个玩具陀螺
这个是它的对称轴也是它的旋转轴
旋转的角速度呢是ω
显然角动量呢也是沿着这个方向
那么与地面呢有一个支点O点
那么这个角动量的方向呢
与竖直轴呢有一个夹角θ
当然它的一个质心呢在这个地方
质心呢贡献一个重力矩
根据我们刚才看到的实验里面看到的
在重力矩的作用之下
这个角动量将会绕竖直轴进动
好我们来分析一下这种现象
原来的角动量呢是这个方向
根据角动量定理
力矩呢等于角动量随时间的变化率
由于重力矩的作用呢在Δt时间之内
这个角动量就有一个增量
角动量的增量呢是Mdt
那么如果Δt比较小的话
这个dL角动量的增量呢
是平行于重力贡献的力矩的
也就是在如图所示的情况之下
是垂直于角动量的
是垂直于这个平面的
垂直于我们所示的平面的
如果一个矢量任何时候的一个增量
总是垂直于它本身的话
那么这个矢量啊只改变方向而不改变大小
也就是说
这个角动量啊将会在一个圆锥面内做旋进
如果更清楚的啊来看这个矢量关系的话
我这儿再举一个简单例子
这是一个玩具陀螺
它的角动量呢是这个方向
那么重力矩的方向呢是向着我们的
原始的角动量呢是这个方向
有了一个垂直于它本身的角动量的增量
以后呢它的角动量变成这个样子了
那么从这个图啊很清楚的看得出来
而这个时候的
叠加了一个增量以后的角动量啊
和原来的角动量啊都在这样一个圆锥面内
大小呢是相等的
下面呢我们讨论进动的角速度
那么什么是进动的角速度呢
我们还举刚才这个玩具陀螺的例子
这个玩具陀螺呢
有一个初始的角动量是这个方向
与竖直方向的夹角呢是θ
那么这个角动量旋进以后
这个角动量端点呢将会做一个圆周运动
这个圆周运动的半径呢
很显然通过这个几何关系是Lsinθ
这个圆心呢是O′ 点
好经过一个Δt时间以后
这个角动量L呢旋进到这儿来了
到OP2这个位置
这个时候角动量增量很显然是这个矢量
它对O’点的张角呢是dΘ角
我们定义啊dΘ角对时间的变化率
就是旋进的角速度
那么我们下面来计算一下这个旋进的角速度
与哪些量有关系
好
根据几何关系的话很容易看出来
这个呢是角动量的增量
在这个等腰三角形里面
p2O′P1这个三角形里面呢
我们知道dL取绝对值等于LsinθdΘ
这个是等腰三角形
另外呢我们用转动定理的话
力矩等于角动量的时间变化率
把这个角动量代到这里面去
我们看见了dΘ/dt呢
就是我们要求的旋进角速度
可以代到这里面来
这样呢我们可以很轻易的把旋进的角速度呢
写出来
旋进的角速度呢等于力矩除上呢Lsinθ
θ呢是初始这个角动量啊与竖直轴方向夹角
L呢就是它的自旋的角动量
当然对于一个定轴转动的
这样一个刚体来讲的话
它的角动量的话显然等于
它的转动惯量乘以呢角速度
下面呢我们对这个式子呢进行一个简单的讨论
在这个式子里面呢很容易看出来
如果角速度啊刚开始自转的角速度越大的话
也就是说刚开始自转的角动量越大的话
那么旋进的角速度是越小的
这个呢似乎也是可以理解的
因为原来旋进的角动量越大
那么重力矩贡献的角动量的增量
相对于原来的角动量来讲似乎是一个小量
所以呢旋进的角速度呢就会变小
另外呢我们还可以看出来
如果这个玩具陀螺啊
它的质心在这一点的话
它与支撑点的距离啊假如说s的话
我们可以把这个重力矩呢具体写出来
等于mgssinθ
代到这个刚才这个式子里面去
分子和分母上分别有一个sinθ
我们可以把sinθ消掉
这个时候大家就会发觉
这个时候呢旋进的角速度啊
与θ角啊没有关系
那么我们还可以对玩具陀螺这个现象
做一点儿讨论
因为玩具陀螺为什么能够进动
就是因为有一个重力矩
如果合重力矩为零的话
它不应该进动 这是第一点
第二点呢我们还发觉
如果自旋的角动量反号变成这个方向
但是重力矩的方向是不变的
这样我们就会发现呢
这个旋进的方向呢将会反向
下面呢我们通过一个实验来验证这两点
下面呢我要用演示实验来说明呢
我刚才得出的三点结论
这是一个刚体系统
那么这是一个车轮
这是一个平衡的重物
现在呢我让这个整个系统呢保持水平
也就是质心呢正好在支架的这个地方
现在呢我要让车轮呢旋转起来
大家看看有没有进动这种现象
基本上这个时候呢是没有进动的
因为这个时候的重力啊重力正好在支撑点上
重力矩呢这儿没有贡献
现在呢我把这个平衡重物呢
向我的右方移动一下
使重心呢落在这一点偏离了这个支撑点
好我现在让车轮不转动的时候我松手
显然整个系统倒下了
我现在呢让这个车轮呢旋转起来
进动发生了
我们可以用表啊来测算一下进动一周的周期
如果我把这个重物啊向我的左方移动
显然它也会倒下不转的时候
我让这个车轮呢
沿着和刚才同样的方向转起来
进动呢也发生了
但是注意到现在进动的方向呢
和刚才进动的方向是相反的
现在呢我保持一个平衡物呢位置不变
我来改变这个车轮转的旋转的速度
我们看到的现象有什么区别
我现在呢让它稍微快一点转起来
脑子里面呢给现在进动的这种现象有一个印象
等一会儿呢我来把这个自转的速度降下来以后
大家看到的现象和现在的现象进行一下对比
我现在转速呢明显的比刚才转速慢了
大家会看到什么现象呢
我们会看到两点
第一点呢显然旋进的角速度呢变快了
第二点呢在旋进的同时呢
大家会发觉呢
这个车轮呢在上下的摆动
我们把车轮的这种上下的摆动呢称为章动
下面呢我们讲讲为什么会产生章动呢
刚才呢车轮进动的实验呢
恰好呢验证了
我们上一章PPT上红字显示的三点结论
除了看到的进动之外呢
我们还发觉这个车轮呢
在进动的同时还在上下的这种摆动
周期性的摆动
那么我们把这种摆动啊称为章动
也就是说自转轴在旋进中
出现了微小的上下的周期性的摆动
我们称为章动
那么为什么会出现章动呢
为什么会向下摆动呢
我们可以用角动量守恒呢来简单的说明
这是一个还是以玩具陀螺为例
这是一个玩具陀螺
刚开始的时候呢自旋角动量是这个方向
与竖直轴方向的夹角呢是θ角
在竖直方向的分量呢是Lcosθ
那么重力矩的方向是水平的
在竖直方向呢是没有力矩的
也就是说在竖直方向呢角动量是守恒的
现在呢在重力矩的作用之下
这个玩具陀螺呢做旋进运动
那么又增加了一个旋进的角动量
如果这个θ角不变的话
那么就意味着在竖直方向的角动量啊
就变化了就不守恒了
那么为了维持角动量守恒
所以呢这个角度呢必须增加这个角度
也就是说呢这个陀螺呢会向下的摆动
也就是说陀螺向下摆动
是角动量守恒的要求
那么为什么周期性的摆动呢
那么刚开始的时候
这个玩具陀螺呢会向下突然一个摆动
这个摆动呢如果阻力比较小的话
将会过冲过去
如果完全没有任何阻力的话
它应该做一个近似一个简谐振动
当然由于阻力的存在呢
这个上下周期性的摆动呢终会停止
那么这个刚才呢是一个定性的一个讨论
如果定量来说的话
实际上刚体一旦进动了以后
它的总角动量啊就应该等于
自旋的角动量加上呢旋进的角动量
也就是说总的角速度呢就等于
自旋的角速度加上进动的加速度
刚才我们讨论的时候
如果刚体啊高速的自转
那么自转的角速度啊
远远大于自旋（旋进）的角速度的时候
我们可以把自转的角速度啊
近似等于总角速度
这个呢就是我们刚才讨论的那样
但是如果这个自转的角速度不是很大的话
那么这个旋进的角速度啊就不能忽略
如果把这一项考虑进去以后
我们自然而然的如果解方程的话
就会得到章动这种现象
好 今天呢我们就讲到这儿
下次再见
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