11.19 克拉伯龙方程**在线视频

同学好

这节我们讲 克拉伯龙方程

这是带双星号的内容

我们先介绍一下相图

这是p-T相图

前面课程里面介绍过

那么它讲的是 固 液 气这个三相的相变

这样的一个图

这里面这些曲线

就代表两相平衡曲线

因为在固 液 气这些相变过程

都有潜热发生

比如说 液体气化的过程

你要吸收气化热 对吧

固体熔化的时候 你要吸收熔解热

这些都是潜热

那么这样有潜热发生的相变

我们都把它叫作一级相变

一级相变过程 压强和温度都是给定的

所以相变过程 都有固定的压强和温度值

把这些点连起来 就是两相平衡曲线

这里面 气液平衡曲线 有个端点就叫临界点

过了临界点以后 气体和液体就分不清了

而这三个曲线的交点 就是三相点

虽然相变过程 温度和压强是一个固定值

但是 在相变的过程

体积或者熵 这样的广延量 会有一个突变

这也是一级相变的特点

它在这个p-T图上 看不出来

如果我们把它 画在p-V图上的话

就看得比较清楚

这里画的是 1摩尔物质的等温曲线

那这里面 这个是临界点

假如说1摩尔物质 这是气态

那么这个 是气液共存线

经过气液共存线

气体的体积 转变成液体的体积

这里面 相变完成的时候 有一个体积突变

假如我们让这个压强增大的话

那么我们经过 液固这个共存线

这个1摩尔的液体 又转化成1摩尔的固体

就这样

我们也可以通过这样一个等温线

经过气固共存线 直接气体变成了固体

前面p-T相图里面的三相共存点

在这个p-V图上 它是三相共存线

下面 我们讨论一下两相共存的区域

我们就可以推导出 克拉伯龙方程

我们来看一下

这里有 1摩尔物质的两根等温线

这两个等温线的温度差距非常小

一个是温度T 一个是温度T+dT

所以它们非常靠近

那么这里面 是两相共存的区域

那么两相共存区域 温度是不变的

压强也是不变的

所以这是两个等温线

我现在 用两个绝热线 把这两个等温线连起来

当然这个绝热线 随便连都行

因为这两个等温线 非常非常靠近

那么这个就构成了一个微小的卡诺循环

那么对这个可逆卡诺循环

我们可以计算它的效率

效率是 这个循环的面积 就是对外做的功

以及这个等温过程所吸的热

那么算出来结果

根据可逆卡诺热机的效率公式

它是等于这个

化简一下 就等于这个

那么这里面 这个循环过程对外做的功

不就是这个闭合曲线里面的面积么

这个面积 很容易计算

就是压强差 高度乘上这个摩尔体积差

吸的热呢

吸的热当然就是 相变过程吸的热

不就是潜热么

我们把这个式子 整理一下

就得到这个式子了

这里面p和T 这个压强和温度

是两相共存的时候的压强和温度

这个方程叫作克拉伯龙-克劳修斯方程

在p-T相图上

由于这个p和T

就是代表 相变那个时候的压强和温度

所以 这个其实就代表 两相平衡曲线的斜率

那么这个式子

我们是对于1个摩尔物质写出来的

那么分子和分母同乘以摩尔数的话

这个公式仍然适用于 多个摩尔的物质情况

那在这个相变过程当中 熵的变化量

我们很容易计算出来

它是 吸的热比上 这个过程的温度

因为这是等温过程

把这结果带到这里面

我们就可以得出来这么一个结果

那么这也就是说

对于一级相变来说 两相平衡曲线的斜率

就等于 摩尔熵的改变 和摩尔体积改变的比值

假如 我们这个相变过程

涉及的有一个相是气态的话

我们就可以给出 蒸汽压方程

比如说 这个相变是 气液或者是气固之间的

这个时候 我们可以基于下面的几个实验事实

可以得到 一个蒸汽压方程

第一个是什么呢

一级相变的潜热

比如说 气化热也好 熔解热也好 升华热也好

它们随温度变化 并不大

我们可以假设

或者我们近似认为 这些潜热 是一个常量

第二个 就是液相和固相

它们的体积 和气相的体积相比

是非常非常小的 完全可以忽略掉

第三个

我们可以把这个蒸汽 看作是理想气体

那么我们可以利用 刚才的克拉伯龙方程

假设这个过程当中 有一个是气相

另一个可能是液相 也可能是固相

这不重要

作为近似 我们可以把这个体积忽略掉

我们就得到这么一个式子

那么这里面

这个气体的摩尔体积 我们可以利用

理想气体状态方程 把它求出来

把这个式子变一下形 就得到了这么一个式子

刚才我们说了

潜热我们可以把它当作一个常量

所以这个式子很容易积分出来的

积分结果就是这样

那么这里面 A是任意的一个常量

这里面B其实就是 气体常数分之潜热

那么这个式子 我也可以把它写成指数的形式

这就是饱和蒸汽压的方程

为什么说这是饱和蒸汽压的方程呢

因为这里面这个压强p

是两相平衡的时候的那个压强

你可以看到 这是一个指数形式

所以饱和蒸汽压 随着温度的增加而迅速增加

你比如说 水的蒸汽压 在0度的时候大概是500Pa

到了20度的时候 它迅速上升到几千个Pa

100度的时候 水的蒸汽压迅速上升到10万Pa

利用这个饱和蒸汽压的公式

我们还可以做一些比较实际的计算

你比如说 在青藏高原 某一个地方

烧水80度的话它就开了

那这时候问你

这个地方的大气压是等于多少呢

80度水开的意思是说

80度的时候的水的蒸汽压

就和当地的那个气压是一样的

而在我们这个地面

是100℃的时候 水就开了

那也就是说100℃的时候 水的饱和蒸汽压

就是我们这个大气的压强

也就是一个大气压 或者是10万Pa

那么利用这个饱和蒸汽压

我们可以 计算青藏高原这个地方的气压

那么假设 当地的这个大气压就是p

那么这也是 水在80℃的时候的 水的饱和蒸汽压

那么利用这个公式

我们对当地的一个气压 和我们在地面上的气压

这个地面上的气压就是一个大气压

或者是10万Pa

做一下比值的话

那么这个比例系数 当然就被约掉了

剩下就是 指数上面的这个项

这里面这个T0

就是我们地面上水开的那个温度 100℃

那这里面这个T 就表示这个青藏高原上

这个地方 不是80度水开么 就是80度

当然你用这个公式计算的时候

这里面的温度 你得都用绝对温度

把这些结果代进去

100℃的时候 当然是373k了

那么它的饱和蒸汽压是一个大气压

那么现在 它是80℃水开

也就是353k的时候 它是水开的

那这里面这个气化热 是这么一个数值

把这些数据代进去

计算的结果呢 这个值等于0.5左右

也就是说 这个地方80℃的时候水开

当地的气压 或者是这个温度下水的饱和蒸汽压

是我们地面这个压强的一半左右

好 这节内容就讲到这儿 谢谢