2.5 应用牛顿定律解题在线视频

好 这一节我们讲应用牛顿定律解题

举两个例子

第一个例子是这样

平面上有一个斜面

其上有一个物体自由下滑

所有的地方摩擦力都没有

斜面跟地面之间没有摩擦 物体跟斜面之间没有摩擦

求物体相对斜面的加速度

当然这个问题是个非常典型的一个问题

那么这个问题我们怎么做呢

首先第一个步骤就是在参考系建立一个坐标

我们选择地面作为参考系 然后在这里边选择坐标系

水平是X轴 坐标是Y轴

这个时候 斜面尖的地方

我们选择它的坐标来描述斜面的位置

那么它的位置是X y是等于0

当然斜面在竖直方向没有运动 所以Y坐标有没有都无所谓

那么这个小物体的坐标呢就是(x,y)了

因为这个整个系统在z方向是没有运动的

所以我们只考虑X-Y这个平面

第二部分 就是要做一个隔离受力图

这里边实际上有两个物体

现在我们分别做把它一个受力图

第一个这个小物体

它受到的力一个是重力一个是支持力

对这个斜面也做一个隔离受力图

这个时候它受到地面的支撑力还有重力

然后对小物块的支持力的反作用力

就是斜向下的这个力

我们对分别这两个隔离的受力图写出牛顿方程

我们写出的是在X方向 Y方向的分量方程

对这个物体来说 在X方向上 在Y方向上

牛顿方程是这样子

那么这里面ax是相对于X方向的加速度

那么这个ay 相对于坐标系Y轴方向的加速度

对于这个隔离图 我们也可以分别写出 X方向 Y方向的牛顿方程

那么这里大写字母Ax就代表这个斜面X方向的加速度

我们现在来看一下 这里面有几个未知量

一个是N 一个是ax 一个是 ay

一个是大写的Ax 然后这里边R

一共有五个未知量 但是只有四个方程

所以我们还需要一个方程

我们通过几何关系找到另一个方程

这几何关系比较容易找

比如说我们在这对这个小物体画一个竖线的话

我们会发现tanθ的这个关系

就是说这个地方的大X减去小物体的X坐标的话

就是这个长度乘上tanθ 也就是这个物体的高度 也就是Y坐标

然后对这个式子 我们对时间做两次导数

那么我们就得到了关于加速度的分量关系

因为坐标是两次时间导数就是加速度的分量

所以我们得到了Y的两次坐标ay

我们分别得到这两个加速度的关系

再加上前边四个方程

五个方程联立 五个未知量就得到了

这样我们分别算出来ax ay 大写的Ax 这个值

这个问题呢 实际是计算小块物体相对于前面的加速度

那么这个小块物体X方向的加速度 ax

然后斜面相当于X方向的加速度 大写的Ax

他们的差值就是小块物体相对与斜面X方向的加速度

那么ay呢 实际上因为斜面在竖直方向没有运动

所以小块物体 Y方向的加速度就是它的相对加速度

然后我们把这两个结果带到这里面 这个结果就得到了

那么经常的 我们有的时候 你这个式子稍微有点乱的话

你怀疑自己是不是做错了

这个时候常用的方法是

我们把这个式子推到一个极限情况

比如说 我们假设斜面的质量远远大于小块质量的时候

相当于斜面是固定的

小块物体在固定的斜面上运动

这种问题我们曾经解过

我们看一下这个结果是不是回到那个结果

如果回到那个结果的话呢

说明你这个计算的结果差不多就对了

因为我们简单让斜面的质量

远远大于小块的这个质量的 做一下极限

我们就得到这两个式子那么在这个情况下

当然我们知道这个斜面它是固定不变的

这两个结果是我们熟悉的结果

所以我们认定我们这个推导大概是没有问题的

下一个例题是 一个物体质量m做自由落体运动

由于空气阻力 这个物体最后要做匀速下降

那么求物体的速度

当然这个问题本身理想化了

我们把侧风的影响统统忽略掉

所以这个物体实际上是做直线运动

这个问题怎么做呢

我们先在地面上竖起一个坐标轴

那么空气阻力我们前边讲过

它是正比于速度 速度不太大 所以假设它是正比于速度

负号表示它跟速度的方向是相反的

那么在这个坐标轴方向 我们就可以建立牛顿方程

因为竖直向上坐标轴方向 所以重力的方向我们要加一个负号

那么这个空气阻力这个项我们知道

速度越大 它的阻力越大

所以这个物体自由落体过程中速度不断加大

一定会有某个时刻阻力的大小就抵消了这个重力

这个时候开始呢 这个物体就要做匀速下落运动

匀速下落运动的时候 速度对时间的导数等于0

所以对这个式子 我们可以求出来

最后 过了很久以后

物体匀速运动的速度 应该是这一项等于0的时候的结果

这一项等于0的时候当然我们可以算出来

这个速度是-mg/k

我们把这个速度

因为这是很久以后达到的速度极限 所以把它叫做收尾速度

不过我们这个问题是

计算这个物体在任何时候的速度

所以我们还是得解这个方程

为了解这个方程 我们引入一个新的变量u

它是等于v+mg/k

把这个量 代到这个方程里边

我们就得到了关于这个u的这个方程

那么我们这个方程怎么解呢

把这个除过来 把这个弄过来就得到这个式子

这个式子我们很容易积分

因为这个积分左侧是lnu 右侧当然这个计算很容易了

然后把这个ln 换成这个指数形式

这个时候前边有一个不定常数

然后我们再把u的这个形式带回来

这个时候我们就得到了速度v的一个式子

因为这个问题是t=0的时候 这个物体开始自由落体

所以t=0的时候 这个物体的初速度是等于0的

把这结果带到这里面可以得到 c′其实是这个量

很容易得出来

把这个量带到这里面 我们就得到了关于速度的这个公式

也就说任何时刻这个物体下落的速度 我们就得到了

那么从这个式子 让t趋于无限大的话 我们就得到了收尾速度

由于这个式子是指数衰减项

所以不需要多长时间它就趋于0

所以收尾速度通常很容易达到

你比如说 下落的雨滴啊 跳伞啊

没等达地面早早就达到了收尾速度

好 这一节内容就讲到这 谢谢