当前课程知识点：大学物理1 (力学、热学) > 期末考试 > 期末考试--期末考试Part3 > 6.2 旋转矢量图和复数表示
下面我们讨论一个重要的概念 相位
在振动函数中 cos的角度ωt+φ
我们称为是这个简谐振动的相位
相位有相貌和位形之意
它代表简谐振动 在一个周期内的运动状态
包括位置和速度
好 相位代表简谐振动
在一个周期内的运动状态
对一个一维弹性振子来说
相位就代表t时刻 物体的位移x的大小和方向
比如 横坐标是相位ωt+φ
其实变量是t 纵坐标是位移
曲线代表振动曲线
它是按照振动函数画出的一个曲线
比如 相位取0 π/2 π 3π/2 和 2π的时候
我们看一下它是如何描述这个物体的运动状态的
比如相位等于0 就是这一点
它代表物体静止于x轴的正方向最远点
物体静止于这个地方
一 它是静止的 它的位置是最远点
所以相位等于0就代表了物体的这个运动状态
好 如果相位等于π/2
代表物体 刚好经过平衡位置 沿着反向运动
物体刚好经过平衡位置向反方向运动
位相等于π 代表物体静止于反方向的最远点
等于3π/2 物体经平衡位置沿着正向运动
等于2π 返回到正方向的最远点
所以你看 在横轴上
每一点都代表物体的一个运动状态
所以我们说相位代表简谐振动的运动状态
当然 我们把A固定
假如这个振动的A 振幅是固定的有这个性质
好 初相是什么东西
初相决定于 时间零点的选择
通常我们把初相φ 取在-π到π之间
下面看一个动画
这是三个振动曲线
其中 这个代表 初相等于0的情况
0时刻 处于x轴正方向的最远点
蓝色的 代表初相等于π/2
0时刻 物体刚好经过平衡点 向反方向运动
红色代表初相大于0的情况
我们再看时间周期性
简谐振动的时间周期性 用下面这些量来描述
首先是周期 2π/ω
ω就是圆频率 或者角频率
它代表振动往复一次所经时间
还有一个量是角频率它等于2π/T
ω代表单位时间内相位的变化
如果时间经过了T经过周期这么长
它的相位变化是2π
那这两个相除就是商 我们叫做角频率
频率是周期的倒数
也是单位时间振动往复的次数
我们用T ω v来描述简谐运动的时间周期性
好 再看简谐振动的振动的速度和加速度
作为弹簧振子的物体
它振动的速度 加速度
但是这是速度
我们知道位置和时间的关系是振动函数
那你做关于时间的一阶导数就可以了
得到的结果呢是Aωcos这个东西
所以可以看到
这个速度的相位要比位移的相位超前π/2
再看加速度
关于位置做二阶导数 是这个结果
振动的加速度a 它的大小与位移x成正比
方向相反
因为ω方是正的 所以方向相反
这是简谐振动的速度和加速度
以及它和位移的关系
好 我们看一下如何用初始条件
来确定 简谐振动的振幅和初相
初始条件就是时间等于0的时候
物体的位移x0和速度v0
我们把t=0代入位移函数和速度函数
就得到这两个式子
通过这两个式子可以解出
振幅A等于xo2+v02/ω2开方
初相等于-arctan(v0/ωx0)
但是 我们通常计算初相的时候
用下面的式子来算
你看 时间等于0的时候
位移和初相的关系是这个关系
那么我们就写成cosφ=x0/A
可是你用这个式子得到的φ
它的象限不确定
φ所在的象限也可以用sinφ的符号 或者
用下面我们将要介绍的旋转矢量图来判断
建议大家呢要经常用旋转矢量图来判断
我们来看一下旋转矢量图
和简谐振动的复数表示
这个就是旋转矢量图
其中A矢量 就是振幅矢量
它代表 一长度代表振幅
方向 代表与Ox轴的夹角
角频率ω在这里就是振幅矢量A
沿着逆时针方向匀速转动的角速度
我们知道 角频率和角速度的量纲是一样的
好 在某一时刻比如t时刻
振幅矢量A与Ox轴夹角是ωt+φ
这个恰好就是t时刻的相位
其中φ就是初相
t=0时刻旋转矢量和Ox轴的夹角
你看 通过旋转矢量图
我们可以把振幅矢量大小和方向表示出来
把ω 角频率表示出来
把相位表示出来
通过旋转矢量图
这三个特征量都可以明确地表示出来
而且非常形象
在旋转矢量图中 振幅矢量跟Ox轴的投影
就是 我们刚才介绍的简谐振动的振动函数
就是位移和时间的关系
下面我们看两个动画
我们举个例子
假如我们的初始条件是x0=A/2
就是 位移恰好等于振幅的1/2
速度是大于0的
问初相φ是多少 取值为多少
好 我们用cosφ=x0/A来计算 cosφ=1/2
那φ呢可能取两个值±π/3
至于φ取正的还是负的
我们用旋转矢量图来判断
好 我们看这个旋转矢量图
首先 这个旋转矢量有可能处在一、四象限
它在x轴上的投影恰好等于A/2
但是 在第一象限还是在第四象限哪
我们看一下
给的条件是v0大于0
就是在0时刻 初始时刻
这个质点或者说这个物体
沿着x轴正方向运动
这要求我们的旋转矢量应该在第四象限
因为旋转矢量是沿着逆时针方向匀速转动的
所以我们就得到结果 φ=-π/3
用旋转矢量图 从初始条件来判断
初相所在的象限 这种方法的优点是直观
我建议同学们经常用这种方法来讨论
好 我们介绍两个概念 同相与反相
假设有两个同频率的简谐振动
x1=A1cos(ωt+φ1)
x2=A2cos(ωt+φ2)
注意 振幅不一样 初相位也可能不一样
但是频率一样 并且都在同一个方向 x方向振动
任意时刻这两个振动的相位差
我们算一下 就等于初相差
Δφ就等于φ2-φ1
好了 这两个简谐振动在步调上的关系
我们可以用它们的相位差来反映
x1和x2 它的步调上的关系
我们可以用φ2-φ1来描述
我们看一下
如果Δφ=2kπ, k=0,±1, ±2,……
我们叫做两个振动同相
同相是什么概念呢
在旋转矢量图上 A1 A2 这两个振幅矢量
始终是同向的
所以x1 x2振动的步调完全一致
A1 A2 的长度可能不一样
但是如果同相的话
这两个长度不一样的振幅矢量
的方向永远是一致的
所以它振动的步调是完全一致的
第二 反相
Δφ=(2k+1)π
2k+1是一个奇数
在这种情况下 x1和x2的振动步调完全相反
也就是A1A2这两个振幅矢量始终是反向的
注意 这个反向 A1 A2 的反向是方向的向
我们这个是相位的相
当Δφ取其它值的时候
我们把这个情况叫做不同相
好 我们举个例子
假如这两个同频率简谐振动
相位差是3π/2
从这个振幅矢量图看是这个样子
A1代表x1第一个振动
A2代表x2第二个振动
A2和x轴的夹角要比A1的夹角大3π/2
在这种情况下呢
一般我们不说x2比x1的相位 超前3π/2
而是说呢 x2比x1的相位落后π/2
我们用小的角度来描述
这是一种习惯
第三我们看一下简谐振动的复数表示
这就是简谐振动的复数表示
我们说它可以描述一个简谐振动
原因是 在这个公式中
给出了简谐振动的三个特征量 A ω φ
如果把它写成我们介绍的简谐振动的位移
和时间的关系
那就等于这个复数表示的实部
就是Acos(ωt+φ)
我们为了区别呢
复数表示我们用x波浪来描述
好了 其实在这个表达中啊
这个指数可以取正的也可以取负号
我们把它取成负号
是为了照顾后面量子力学中的习惯
无所谓 这取正负都可以
用旋转矢量图和复数形式来描述一个简谐振动
为我们分析振动问题带来方便
以后我们就会看到
好 这一节就讲到这 谢谢
-绪论
--绪论
-质点动力学(一)
-质点动力学(二)
-本章作业
-牛顿三定律、常见力
-应用牛顿定律解题
-惯性力, 潮汐力
-本章作业
-动量, 冲量, 动量守恒
-质心与质心运动定理
-两体问题
-质点和质点系角动量,角动量守恒
-本章作业
-功和动能
-引力,保守力和势能
-势能曲线、功能原理和有心力场
-克尼希定理、质心系中的功能原理
-流体简介
-本章作业
-刚体定轴转动（一）--作业
-刚体定轴转动（二）
-本章作业
-简谐振动, 频谱, 非线性振动简介
-同振动方向振动合成
-不同振动方向振动合成
-本章作业
-简谐波
-惠更斯原理、机械波的半波损失
-波的叠加和干涉 驻波
-多普勒效应
-本章作业
-洛仑兹变换
-相对论速度合成
-相对论动力学基础
-本章作业
-宏观和微观
-温度
-麦克斯韦速率分布律
-本章作业
-玻耳兹曼分布律和平均自由程
-实际气体
-热力学第一定律
-本章作业
-循环过程
-热力学第二定律
-玻耳兹曼熵
-例题
-克劳修斯熵
-气-液-固相变
-本章作业
-期末考试--期末考试Part1
-期末考试--期末考试Part2
-期末考试--期末考试Part3
