7.3 简谐波的波函数(2)在线视频

下面我们看一下简谐波的时间周期性

其实 简谐波的时间周期性

就是相应的简谐振动的周期和频率

周期等于2π/ω 频率是1/T=ω/2π

再看简谐波的空间周期性

首先我们定义波长

这是一列波

它的波长那 λ就是波速乘上它的周期

就是波在一个周期内或者

在一个全振动的时间内 相位传播的距离

比如这一点和这一点等相位

相邻的两个相位相同的点之间的空间距离

我们叫波的波长

好 定义波长之后 我们还可以定义波数

数字的数

波数是这样定义的

就相当于2π/λ 就是ω/u

那你看 2π/λ 在物理上代表什么意思呢

因为波走过λ这么远的距离

它的相位改成2π

所以 波数它在物理上就是

表示单位距离内相位的变化

k代表单位距离内相位的变化

大家想一下 我们讲过的角频率ω

它代表什么意思

可以对应起来看

角频率ω代表的是 单位时间内相位的变化

所以它俩的关系是k=ω/u u是波速

实际上k是个矢量

我们讨论的是一维问题 可以写成代数形式

引入波数k之后 这个简谐波的波函数

就可以写成下面的形式

其中的相位写成ωt减或者加kx加上φ

k是2π/λ

负号 代表沿着x轴的正方向传播 这时候k>0

正号 代表沿着x轴的反方向传播

这个时候 相当于把k变成-k

好了 我们还可以用复数来表达一个简谐波

是这个样子

这是振幅

e指数的指数位置是-i 这是相位ωt减或者加上kx加φ

和描述振动情况是一样的

这可以取负号 也可以取正号

我们取正号 是为了照顾量子力学中的习惯

下面我们考虑一下波函数的物理意义

看看物理上代表什么意思

这是波函数

实际呀 波函数就是 质点的振动 或者质点的位移

在时空上的分布 有空间有时间

如果我让时间确定

比如 我们让波函数中的时间等于t0

等于一个确定的值

那这个函数那 就代表了t0时刻

空间各点位移的分布

注意 我让时间取确定值t0之后

这个函数就只是位置x的函数

我画一个曲线

这就代表t0时刻 我用照相机照这个波

形成的一个曲线

这个曲线叫波形曲线

我们再让这个函数中的坐标

等于某个确定值x0

那就代表 在x0那点质元的振动函数

这个时候位置x是确定的 时间是变化的

就给出了位移和时间的关系

这不就是振动曲线吗

为了生动地看这件事情

我们下面看一个视频 波函数的意义

好 下面介绍几个概念

一个是波阵面 或者等相面的概念

就是相位相同的那些点构成的曲面

我们叫做这个波的波阵面或者叫波面

比如这是平面波 它的波面是一些平面

这是球面波 它的波面是一些同心的球面

波前就是最前面的波阵面 我们叫波前

波线 是指沿着波传播方向的那个曲线

在各向同性的线性介质中 波线垂直于波面

比如平面波的波线 垂直于波面是平行的线

球面波的波线

是垂直于同心球面的径向的这些线

由波面的形状我们可以定义

平面波 球面波或者柱面波等等

用波面的概念我们可以讨论波长

实际上波长是

两个相邻的 同相的波阵面之间的距离

注意 同相是指相位差为2π

相邻两个波面之间的距离我们叫波长

任何一个实际的波

都可以看成是由若干个简谐波叠加的结果

比如 这是一个波 实际的波

注意 我画的是波形曲线

这个波的时间取某个确定值

它相当于三个波的叠加

第1 第2和第3 这3个波的叠加形成这个样子

所以任何实际的波都可以看成是

由若干简谐波叠加的波

数学上其实就是傅里叶变换

好 我们举个例子

我们有一个平面简谐波

沿着x轴正方向传播 波速是u 波长是λ

已知在x0=λ/4的地方

这个质元振动的振幅为A 初相为π/2

写出波函数的表达式

我已知条件是沿着正方向传播

波速 波长以及在这个地方

x0的地方给出它的图像

写出波函数的表达形式

这就是波函数的一般表达形式

振幅不变

我们假定是没有损耗 频率不变

但是相位变了

大家看 如果x=x0 这一项就是0

那 这个函数 就相当于是x0那点的振动函数

Acosωt+π/2

好了 你这个式子中ω和k并不是已知条件

我把ω和k用u和波长λ代表 写成这个式子

ω就是2πu/λ k就是2π/λ

这样就得到要求的波函数

大家注意 我们在求波函数的时候

首先给定某一点的振动函数

尤其重要的是初相

然后波函数写出一般的形式

注意这个-或者+

代表这个波沿着x正方向或者反方向传播

就可以了