当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第一章 多元函数微分学 > 第一节 多元连续函数 > R^n中的点列的收敛性
前面我们已经知道了
空间中两点间的距离
那么我们利用两点间的距离
可以来介绍一下 空间中点列的收敛性
所谓空间中的一个点列 也就是说
空间中的一系列点我们给它编上号
按它的编号从小到大排到一起
这样就构成了一个点列
什么叫点列中的
什么叫Rn中的点列是收敛的
那我们给出一个定义
设Pm是Rn空间中的一个点列
P0是Rn空间中的一个点
如果Pm到P0的距离构成的这个数列极限为零
则称Pm这个点列收敛到点P0
记作limit m趋向无穷时 Pm 它的极限是P0
这时P0也称为是这个点列的极限点
因为前面我们已经介绍过数列的极限
实际上也就是借用了空间中两点间的距离
由点列我们得到了一个数列
由这个数列的极限是否为零 我们来判断
这个点列是否收敛
这个P0也称为是这个点列的极限点
根据点列与数列之间的关系
我们可以得到这么一个结论
这个结论也就是给出了一个点列收敛
设Pm这个点的分量是P1m P2m 到Pnm
P0这个点的分量是P10 P20 到Pn0
那么 这个点列Pm它以P0为极限点
它的充分必要条件是
它的分量数列都是收敛的
而且收敛到P0的相应的分量
就利用两点间的距离公式
以及数列收敛的概念
因为根据两点间的距离公式 我们知道
Pm到P0的距离可以表示成 就是
Pkm减掉Pk0 平方 给它求和
k从1到n 再开方
那么这个表达式 显然它是大于等于
就是这里面任何一个平方项
也就是它大于Pkm减掉Pk0
如果我把这n个平方项中的最大值取出来
把每一项都放大到最大值
所以这个值 也就是这个表达式
显然就小于等于 把这个最大值取出来
k大于等于1小于等于n
然后这个地方是Pkm减掉Pk0
这里面一共有n个开方 前面是个常数倍a
那么根据这个不等式的左边这个不等号
我们知道 当点列收敛时
这个距离是趋向零的
所以说 这个数列Pkm 它是以Pk0作极限的
这样我们就证明了
这个充要条件中的必要性
如果我们知道每一个数列都是收敛的
那么我们就知道这一个在m趋向无穷时它是趋向零的
乘上一个常数倍 自然还是趋向零
这样 就是在每一个数列都收敛的条件下
我们就推出了这个距离是趋向零的
也就是证明了这个点列的
这个点列是以P0为极限的
也就证明了这个充要条件的充分性
这样就给出了这个定理的一个证明
这是关于空间中点列收敛的概念
以及它收敛的一个充分必要条件
关于就是 空间中点列的收敛性
与我们前面介绍的数列收敛的有关结论是一样的
我们也会得到一些相应的性质
所以我们看一下 收敛点列有些什么样的性质
第一个性质 也就是所谓收敛点列极限点的唯一性
也就是 若Pm这个点列是收敛的
则它的极限点是唯一的
这个性质 它的证明 只要利用距离的三角不等式
以及点列的收敛性就行了
所以 我们假设 如果我假设这个点列有两个极限点
也就是m趋向无穷时 Pm等于P0
还有一个是m趋向无穷时 Pm等于P0一杠
那么 我马上就得到 P0与P0一杠的距离
根据距离的三角不等式 它就小于P0与Pm间的距离
再加上Pm与P0一杠间的距离
因为P0 P0一杠都是这个点列的极限点
所以这个距离与这个距离
在m趋向无穷是都是趋向于零的
这样 我们就推出了这两点间的距离是等于零的
而这个距离等于零也就等价于
这两个点是同一个点
这样就证明了收敛点列极限点的唯一性
第二个性质谈的是收敛点列的有界性
若Pm这个点列是收敛的 则Pm是一个有界点列
也就是存在一个大于零的数
使得这个点列中的任意一个点
到原点的距离都不超过给出的这个正数
这就是点列有界的概念
那么 我们这个有界性的证明可以这样来说
因为 Pm到原点的距离
它就应该小于等于Pm到它的极限点P0的距离
再加上P0到原点的距离
这是距离的三角不等式
在这两个表达式里面 这个数是常数
而这一个数 它是趋向于零的
根据数列收敛 它一定是有界列
那么我们知道 这个距离应该是一个有界的
这个常数加上这个收敛数列的界
自然就控制住了这个Pm到原点的距离
这样也就证明了如果一个点列收敛
那么它一定是有界列
然后第三个性质 就是说 有界的数列
它只是收敛的必要条件
因为我们很容易举出这样的具体例子
就是有界 但是不收敛
那么对于有界列来说
我们尽管不能得到它一定收敛
但我们可以得到下面这个结论
第三个性质讲的是 有界点列有收敛子列
也就是 若Pm这个点列是有界的
则Pm存在收敛的子列
所谓子列 也就是说 在这个点列里面
我取出一些点 按照它们在点列中的顺序
再排成一个新的点列
那就是原来这个点列的一个子列
关于这个性质的证明 实际上
我们在一元微积分里面
介绍了有界数列具有收敛子列这个概念之后
曾经做过这么一个问题
这个问题是这样说的
如果an bn有界 那么我们对an用Bolzano定理
也就是说因为它有界 所以它应该有收敛子列
我用ank来表示 那么相应的 这个有界数列
我们也取出同样下标的一个子列
它仍然是有界的 那对这个有界数列
我们再用有界数列具有收敛子列这个结论
就会得到 它的一个收敛子列
我们用bn一杠k来表示
那么我们利用这个下标集n一杠k
再来取这个收敛数列的子列
也就是我们得到了一个an一杠k
这个子列是这个收敛数列的子列
那么它一定是收敛的 经过刚才这个过程
我们得到了这么一个结论
也就是an bn如果是有界数列
那么我们一定可以找到一个共同的下标集
使得这两个有界数列对应的这个子列都是收敛的
那么作为一个有界点列来说
我们无非就是得到了n个有界的数列
那么我们重复刚才这个证明的过程
就会得到这个有界的点列具有收敛子列
我想这是这个性质的证明思想 或者叫证明的想法
-第一节 多元连续函数
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-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
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-第三章重积分--第二节练习题
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--极坐标系
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--三重积分的引入
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--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
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-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
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--Gauss公式
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--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
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-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
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