当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第五章 常微分方程 > 第四节 高阶线性常系数微分方程 > 二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法（之二）
现在我们看一下
如果非齐次方程的右端项
是另外一个形式时
我们怎么样
来利用待定系数法
设它的特解
求它的特解
也就是我们来处理一下
右端项为Pnx乘上e的αx次方
再乘上cosβx时
它的非齐次方程的
待定系数法
现在我们考虑的方程
是这个形式
也就是
y的两阶导
加上a倍的y的一阶导
加b倍的y
等于Pnx e的αx乘上cosβx
其中这就是一个n次多项式
在这里面α和β都是实数
关于这个方程
我们一般的想法是这样子的
就是说
我们把它的特解
假设成是这个形式
也就是一个e的αx次方
这面是一个多项式
我们用Qx来表示
这面乘上cosβx
再加上另外一个多项式
咱们用Wx来表示
在乘上sinβx
当然想到这个形式
主要还是借助于
就是说 这个函数
多项式
指数函数
正弦余弦函数
它的导数运算
因为大家知道
多项式跟指数函数相乘
求完导之后还是多项式与指数函数相乘
而余弦函数求完一阶导
变成正弦函数
正弦函数再求导又是余弦函数
所以说
如果我假设它的特解形式是这个样子的时候
那么这边
它的函数类应该主要还是
多项式乘指数函数
再乘正弦函数
或者是乘余弦函数的形式
我想这是我们假设这个形式
关于就是说
这里面
我这个多项式Qx和Wx
它具体的次数
是怎么确定的
我们推导的过程
跟右端项是多项式与指数函数相乘时的推导过程是完全一样的
就在这个地方
具体的推导过程我们就不做推导了
我们直接给出下面的结论
也就是说
我们考虑这个方程
我们把这个二阶线性常系数
非齐次微分方程的一个特解形式
假设为y星等于x的k次方
乘上e的αx次方
再乘上括号里面
一个n次多项式
Qnx乘上cosβx
再加上另外一个n次多项式
Wnx乘上sinβx
在这个表达式里面
我们k的取值是这样子的
如果α加上a倍的β
不是我们这个微分方程对应的齐次方程的特征根时
我们的k就取零
如果α加上a倍的β
是我们这个微分方程对应的齐次方程的特征根时
我们的k就取1
那有了这个结论之后
我们对具体的非齐次方程
我们怎么用
也就是说
我们只要注意到
它的右端项
是多项式函数
指数因子
和一个余弦函数相乘的形式
这时候我们就利用指数因子的这个系数α
和这个余弦函数里面的这个β
构造一个复数
我们看
如果这个复数
不是它对应的齐次方程的特征根
这时候咱就把它的特解设成这个样子
就是e的αx次方
乘上括号里面
一个一般的n次多项式
乘上cosβx
再加上另外一个一般的n次多项式
乘上sinβx
这就是这个时候的特解形式
如果我们得到的α加上a倍的β
是它对应的齐次方程的
特征根的时候
这时候
咱们的特解形式就应该假设成下面这个样子
也就是
x乘上e的αx次方
再乘上括号里面
一个n次多项式乘上cosβx
再加上另外一个n次多项式
乘上sinβx
所以说这个特解形式是这样假设的
当然最后我们怎么样
把这两个n次多项式里面的系数
就是ak和bk求出来
实际上我们就把y*
y*一撇 y*两撇
代到这个原来的方程里面
这个时候 我们两边
都考虑cosβx前面的系数是什么
cosβx前面的系数当然是n次多项式
那根据多项式相等
对应项系数相等
会得到n+1个方程
再看一下sinβx前面的系数
它应该还是两个n次多项式相等
这样
我们把这个特解代到原来方程去
我们就会得到这个多项式的系数
满足的2n+2个线性方程
其中n+1个是Qnx的系数
另外n+1个是Wnx的系数
这样我们通过解线性方程组
就把这两个多项式具体确定了
这就是我们所谓的
右端项是多项式乘上指数因子
再乘余弦函数时
它的特解的待定系数法
如果我们的右端项是这个样子
我们这个二阶线性常系数非齐次方程
也就
右端项是多项式乘上指数因子
再乘sinβx的形式
它的特解我们仍然设为x的k次方
乘上e的αx次方
再乘上括号里面
一个n次多项式
Qx乘上cosx
再加上另外一个n次多项式
乘上sinβx的形式
在这
我们k的取值
仍然是
如果α加aβ
是它对应的齐次方程的特征根
我们k就取1
如果不是它对应的齐次方程的特征根
我们的k就取0
如果不是它对应的
齐次方程的特征根的时候
k就取0
如果这个λ是它对应的
齐次方程的特征根时
k就取1
也就是这时候
我们仍然是看这个α加上a倍的β
如果它不是它对应的齐次方程的特征根时
我们的k就取0
如果它是它对应的齐次方程的特征根时
这个k就取1
所以说当右端项
无论是多项式乘指数因子乘余弦函数
还是乘正弦函数
它的特解的设法
或者形式是一样的
具体的求解过程也是类似的
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