曲面的切平面与法线问题举例在线视频

好 前面我们给出了

当曲面以一般方程

或者是参数方程给出时

我们怎么样求它在相应点的

切平面和法线的计算公式

接下来我们就利用

我们得到的计算公式

来做几个具体的例子

第一个例题

我们假设一张曲面

它的方程式

z减掉e的z次方 加上两倍xy等于3

我们求这张曲面

在这一点的切平面和法线方程

因为x=1 y=2 z=0这一点

显然是位于这张曲面上

这就是

当曲面以一般方程形式给出时

我们怎么样求

指定的的切平面和法线问题

我们直接利用这个时候

它的法向量的计算公式

也就是说我

为了用法向量的计算公式

我把这个方程简单变一下

也就是z减掉e的z次方

加上两倍xy减3

那么我们的法向量

应该就是这个函数

关于x的偏导数作为第一个分量

它关于y的偏导数作为第一个分量

它关于z的偏导数作为第一个分量

那么在这个具体的题目里面

关于x的偏导数 就是两倍的y

关于y的偏导数 应该就是两倍的x

关于z的偏导数

应该就是1减掉e的z次方

最后我们把x y z

分别用1 2 0代进去

第一个分量 这就是4

第二个分量 应该是2

第三个分量 z=0代进去

应该是0

所以说 我们可以把它的法向量

取成(2,1,0)

有了点 有了法向量

我们自然就可以写出切平面方程

应该就是两倍的x-1再加上一倍的y-2

当然法向量的第三个分量是0

所以z不出现

我们证明一下就是切平面方程

法线方程

类似地 也就是

x-1比上2应该等于y-2比上1

等于z-0也就是z比上0

那第三个表示这条法线是落在

z=0也就是xy坐标平面上

我想这是在一般方程形式下

我们怎么样具体地求

指定点的切平面和法线方程问题

第二个例题

我们看一下我假设有一张曲面

我用S1来表示

它就是x方加上y方加上z方等于a方

第二张曲面我用S2来表示

就是x方加上y方等于k方z方

其中这个k是一个不等于零的实数

大家知道 这第一张曲面

就是一个球心在原点

半径是a的球面

而第二个曲面应该就是

顶点在原点

轴是z轴的那个锥面

我们接下来做的问题是

证明一下

证明 S1垂直S2

说两个曲面垂直指的是什么

首先

空间中两张曲面垂直

我们指的是在它们相交的地方

它们的法向量是垂直的

也就是 落在它交线上的点的

两个法向量都是垂直的

如果知道了这件事情之后

我们证明这两个曲面垂直

实际就是证明在它俩的交线上

两个法向量垂直

那我们看一下怎么证明

首先 第一个曲面它的法向量

我们用n1来表示

根据一般方程形式下

法向量的计算公式

大家可以直接得到

第一个分量是两倍x

第二个分量是两倍y

第三个分量是两倍z

这就是球面的法向量

第二个曲面 它的法向量

用n2来表示

我们求一下

第一个分量两倍x

第二个分量是两倍的y

第三个分量是负的两倍k方z

应该是这样子

这就是那个锥面

在(x,y,z)这点的法向量

那在交线上

我们证明它俩垂直

实际上就是要求一求它的点积

或者叫内积

根据内积定义

对应分量相乘再相加

也就是4提出来 x方加上y方

再减掉k方z方

因为我们求的是交线上的点

所以交线上的点

当然既满足球面方程

也满足锥面方程

也就是x方加上y方

减掉k方z方

应该是等于零的

这个因子等于零

所以说这样我们就证明了

交线上任一点的法向量是垂直的

从而就说清楚了

这两张曲面是垂直的

我想这是第二个例题

我们第三个例题

说一张曲面S

它的方程假设是以这个形式给出的

就是y减mz x减掉nz等于0

其中我们这个f 大家可以看出来

它是个二元函数

这个二元函数

它是具有一阶连续偏导数的

如果曲面的方程是这样子

我们证明下面一件事情

首先我们把这张曲面

在曲面上任一点的切平面方程求一求

其次 我们证一下

它的切平面总是与一条定直线平行的

最后这句话什么意思

就是说这张曲面

在任何点的切平面

都是平行于同一条定直线

所以我们做两件事情

就是求切平面方程

并证明 就是

所有 我就用这两个字来表示

所有切平面均平行于同一直线

我们看一下怎么做这两件事情

第一个

我们自然可以把它看成是一般方程

因为它就是x y z 满足的等式

为了书写方便

我们就用u=f(y-mz,x-nz)

就是用u来表示这个x y z的表达式

那么根据我们的法向量计算公式

它的第一个分量

应该就是偏u/偏x

第二个分量是偏u/偏y

第三个分量应该是偏u/偏z

根据复合函数的链导法则

我们看一下u关于x的偏导数

因为在第一个中间变量这个地方

与x无关

所以我们求出来应该就是

偏f/偏v 这个v是什么

我就把第一个中间变量用u来表示

第二个中间变量用v来表示

所以它应该是偏f/偏v

再乘上v关于x求导

就是1 乘上1 这就是 偏u/偏x

接下来第二个分量

应该是偏u/偏y

偏u/偏y 大家一写出来

就是偏f/偏u再乘上偏u/偏y

又是1 这个1我们就不写了

第三个分量偏u/偏z

好 在第一个中间变量里面有z

第二个中间变量里面也有z

根据复合函数的链导法则

应该是偏f/偏u乘上偏u/偏z

实际上是乘到负m 乘上负m

再加上偏f/偏v 再乘上偏v/偏z

乘的是负n

也就是我们利用小f

把它法向量的三个分量

都具体表示出来了

表示出来之后

我们自然就把它指定的点

比如说是(x0,y0,z0)

法向量写出来

写出来之后它的切平面方程

我们就这样写 切平面方程

切平面方程就是

偏f/偏v 它在(u0,v0)这点取值

乘上(x-x0)

加上偏f/偏u 在(u0,v0)这点取值

再乘上(y-y0)

再加上 这个表达式的值

在(u0,v0)那点取值

乘上括号里面z-z0

也就是减掉 括号里面是 m偏f/偏u

在(u0,v0)那点取值

再加上 n倍的

偏f/偏v 在(u0,v0)那点取值

再乘上z-z0 等于0

其中 我们的(u0,v0)是什么

就是u0是y0减掉m倍的z0

而v0是x0减掉n倍的z0

这就是在(x0,y0,z0)这一点

它的切平面方程

好 有了切平面方程之后

我们第二个问题

说 它在任何一点的切平面

都是平行于同一条直线

这句话 我们可以翻译成这个意思

就是它在任何一点的法向量

都是垂直于同一条直线

那么我们怎么来求那个直线

实际只要确定直线的切向量就行了

那大家看一下

我们是不是可以这样取

这样取的时候 也就是说

我们第一个向量

取一下这个东西 这是一个n

这个n怎么看出来的

因为这里有一个负n倍的偏f/偏v

和第一个分量

如果取n的时候 一做乘积

就出来一个n倍的偏f/偏v

这个地方我们取一个m

第三个 我们取一个1

也就是说 我取一个向量

这个向量应该就是一个确定的向量

那请大家看一下

这个τ用我们这个n

τ与这个n做内积

是不是对应分量相乘再相加

这个做完点积之后

它永远是等于0的

而这个τ是与点无关的

实际上

我们就直接得到了一个确定的向量

这个向量与这张曲面

任一点的法向量都是垂直的

也就是说这个向量就

与这张曲面在任何一点的切平面

都是平行的

这样我们就证明了第二个结论

这是第三个例题

最后一个例题

我们看一下

如果曲面的方程是x等于u cos(v)

y 等于 u sin(v)

z 等于 a倍的v

当然这个u v是参数

它有取值范围

大家一看 这就是我们平时熟悉的

所谓的螺旋面

它是以参数方程给出的

那我们就求一求

在参数(u0,v0)对应的点处

它的切平面方程

实际上做这个问题的时候

我们就利用参数方程形式

给的那个方程求就行了

所以说它的法向量

我们直接写

第一个分量是谁

是y z关于u v的偏导数

构成的那个二阶行列式的值

所以说第一个分量y关于u求偏导

是sin(v)

然后y关于v求偏导

应该是u倍的cos v

z关于u的偏导数是0

关于v的偏导数是a

这样

法向量的第一个分量就写出来了

法向量的第二个分量

应该是z关于u v的偏导数放到第一行

也就是0 a

第二行应该放的是

x关于u v的偏导数

那就是cos(v) 负的u sin(v)

这是第二个分量

第三个分量 应该第一行放的是

x关于u v的偏导数

也就是cos(v) 负的u sin(v)

y关于u v的偏导数放到第二行

也就是sin v 然后u cos v

这样我们就直接

把它在任何一点的法向量求出来

如果我们把(u,v)等于(u0,v0)代进去

就得到了参数(u0,v0)

对应的那一点处的法向量

自然就可以写出它的切平面方程

我想这就是用参数方程来处理

写的是 直角坐标方程

那大家想 我们能不能

直接用它的参数方程来表示

当然 作为一张平面

直角坐标方程可以表示

参数方程自然也可以表示

关于它的参数方程

请同学们作为练习 直接写出来

回忆一下 我们怎么样用

映射的全微分的几何意义

来写的参数方程