微分方程概念举例在线视频

好 大家好

我们从这一节课开始

来介绍一下

我们常微分方程的有关内容

在这章里面

我们要介绍一下

常微分方程的一些基本概念

然后介绍一下

一阶可求解的微分方程

以及高阶线性微分方程的

解的性质解的结构

以及简单的高阶线性方程的求解方法

来 我们先看一下

常微分方程的基本概念

再给出微分方程的有关概念之前

我们先一起来讨论

三个简单的问题

第一个问题

我们要求一求一条曲线的方程

我们假设曲线y=f(x)

在任意一点(x,f(x))处

切线的斜率为k=2x

而且这条曲线过点(1,2)

求他方程 也就是求fx表达式

这应该是一个简单的

平面解析几何里面的问题

也就是说

如果我知道 一条曲线

在他上面任何一点处的切线

斜率是这一点横坐标的两倍

如果我再加一个条件

说这个曲线是过点(1,2)的

这时候这条曲线能不能确定

如果能确定的时候

他的方程是什么

实际现在我们来解这个问题的时候

我们根据导数的几何意义

马上就能把这个条件

给他转变成这个样子

也就是说由题设我们知道

f一撇x是等于两倍x的

等于两倍x的

那接下来 根据

我们前面导数运算 我们知道

这个fx也就是x平方加上c

加上c 因为这条曲线说过(1,2)点

也就是说当x=1时

他对应的函数值是等2的

也就是有f(1)也就=1+c=2

我们就会得到c应该是等1的

所以我们就得到了

要求的这个函数表达式

应该就是x平方加1

这是一个简单问题

接下来我们来看第二个问题

第二个问题 我们说这么一个问题

说我们假设有一列火车

以每秒钟30米的速度往前走

到了某时刻给他一个制动加速度

假设制动加速度大小是每秒方0.4米

我们问在不受其他力的作用下

这列火车要想完全停住需要行驶多远

所以问题应该是这样子的

我假设这个火车

他的运动距离与运动时间之间的关系

用s=s(t)来表示

他的制动时刻是0时刻

也就是说在制动的时候

他的速度应该是30

那么他那个制动加速度是每秒方0.4

指的是他的二阶导数

就是应该是等于0.4

但是他是制动的

所以在前面应该加个负号

也就是说他的制动加速度

与他的运动方向应该是相反的

这就是我们刚才描述中给出的条件

现在就是在这个条件下

我们要求一求

当他的速度等于0时

他走过的距离是多少

然后我们做这个问题时

由第三个等式

我们就知道

S一撇t应该等于负的0.4t再+c1

这实际就是他的速度

我们再做一个积分

就会得到St应该等于-0.2倍的t^2+c1t+c2

这样我们就把这个列车

他的制动距离

与制动时间t之间的关系建立起来了

现在我们看一下

我们的条件是什么

除了这两个条件之外

我们应该还有一个

就是在开始制动时 那个时刻

他的制动距离应该是等0的

也就是说我们的S0应该等0

S0等0也就意味着c2是等0的

还有在开始制动的时刻

他的行驶速度是每秒30米

我们就有这个等于30

我们把这个c2等0

带过 带到这来

然后最后t0时刻要等30的时候

实际上就推出c1是等于30的

这样我们直接就把这个速度函数给求出来了

应该是负的0.4t然后加上30

最后我们说完全停止

也就是令S一撇t让他等0

我们就会得到这个制动时间

这个t应该等于75秒 75秒

有了75秒之后

我们把75往这个制动距离里边带

75 在这儿 也就是等于-0.2*75^2

c1是30 再加上30倍的75

c2是0 这个结果我们做一下

大概是一千多米 一千多米

也就是说当一个列车

以每秒钟30米的速度往前行驶时

如果你给他一个制动加速度

大小是每秒方0.4米的时候

他要完全停下来

应该要经过一千一百多米

这是这一个问题

接下来 我们看第三个问题

第三个问题

我们来看一个弹性振动问题

我假设我这有一个物体

现在他的平衡位置

我放到这个地方

现在他所在的位置

我把它认为是他离平衡位置

离平衡位置之间的距离

这个是与时间有关系的

我用X(t)来表示

那我们的条件是说

假设这个物体

在弹性力作用下在做着振荡

在振荡过程中

他还受到一个阻力

阻力的大小是与他的运动速度是成正比的

现在我们来建立一下

这个他到平衡点的距离

与他这个运动时间之间的关系

当然 我们假设

在t0时刻他是在平衡点的

这个假设 这样做的时候

我们怎么来处理这个问题

我们知道他受的力有两个

一个是弹性的恢复力

恢复力肯定与他的运动方向是相反的

所以说我们弹性力常数

就是胡克常数

我们用H来表示

他到平衡点的位置就是x

还有他要受到一个阻力

阻力自然是与

与运动方向也是相反的

所以应该是负的 成正比

比例系数我用k来表示

k是大于0的

这个地方速度应该就是

位移关于时间的导数

这是他在整个运动过程中受到的力

那根据牛顿第二定律

这个力应该就等于

就是他的质量

乘上他的加速度

加速度应该就是

这个距离关于时间的二阶导数

也就是我们

刚才叙述的这个问题

那么 这个物体到平衡点的距离

与时间的关系

应该是满足这个方程的

这个方程我们简单整理一下

也就是x关于t的二阶导数

加上k除上m

x关于t的一阶导数

再加上H除上m x(t)

这个应该是等0的

这实际上就是这个

物 物体的位置

到平衡点间的距离满足的关系

实际上在这三个例子里面

尽管他们的背景各不相同

但我们都碰到了同一个问题

也就是说我们要求一个函数

而这个函数 他满足的关系式

第一个牵扯到了一阶导数运算

第二个牵扯到了二阶导数运算

而第三个 这个关系式

既牵扯到了二阶导数

又牵扯到了一阶导数

所以说我们碰到的问题

都是要求未知函数

而他们满足的等式里面

除了我们熟悉的代数运算之外

还有求导运算

我们把这些问题给他抽象出来

就可以这样说

我们碰到了未知函数

及其各阶导数满足的等式这样的问题

而这就是我们要讨论的微分方程

当然说在这个问题里面

碰到的是一阶导数运算

我们就把他叫一阶微分方程

而在第二个问题和第三个问题里面

我们碰到的

未知函数的最高阶导数都是二阶

这就是我们所谓的两阶微分方程

或者叫二阶微分方程

而在这里面我们在求解过程中

得到了一个函数

这个函数显然是满足这个等式的

他就叫这个微分方程的解

而这个函数里面

带有一个任意函数

这个任意常数的个数

与这个阶数是一致的

实际他就是通解

而最后我们得到了一个确定的函数

他也是这个方程的解

因为他不带有任意常数

他是已经特定的

所以他就叫特解

那么由通解怎么样到特解

我要加一个条件

而加的这个条件

也就是他过(1,2)点

或者说x=1时f(x)要=2的

这就是所谓的定解条件

定解条件

实际在第二个问题里面

我这是一个二阶微分方程

我最后通解里面得到了

有两个任意常数c1c2

两个任意常数

与他的阶数是一样多的

所以这就是二阶微分方程的通解

我为了确定这两个常数

我需要加两个条件

一个我现在给的是

0时刻时制动距离是0

再一个条件是

开始制动时他的速度是30

那这就是定解条件

最后我们把这个具体的表达式

求出来 那应该就是他的特解

关于第三个问题

我们只是建立了

就是这个振动距离

也就是说物体到平衡点的距离

与时间的关系

这个方程怎么求解

现在相对于前面两个来说

第三个例子里面

得到的方程的求解要复杂的多

当然这是我们后面要讨论的

一个一般的微分方程问题