二阶线性微分方程的变动任意常数法（之二）在线视频

前面我们讨论了

就是当我们知道了

齐次方程的一个非零解时

我们怎么样利用变动任意常数法的想法

来求解非齐次方程的通解

现在我们看另外一种情况

也就是说我考虑的方程

仍然是二阶线性非齐次方程

但现在我的条件是这样子的

我假设我们知道

y1(x)y2(x)是y''+a(x)y‘+b(x)y=0的

两个线性无关解

或者说我知道这个非齐次方程

这个非齐次方程他的通解

这是我的条件

如果这样子的时候

我怎么样利用这两个解

来求解原来的非齐次方程

实际上这个时候

他的变动任意常数法的想法

与二阶线性常系数非齐次方程的

变动任意常数法是一样的

也就是说我令y(x)=c1(x)y1(x)

再加上c2(x)y2(x)

满足这个非齐次方程

那为了得到c1c2的关系

我们自然还是要求他的一阶导数

以及他的两阶导数

然后 我们在往里面带的过程中

为了避免出现这两个函数的二阶导数

我们仍然是令

这个关系式是成立的

c1'*y1+c2'y2我们让他等0

这样 我们把一阶导二阶导求出来

以及原来的这个函数

代到原来方程去

我们就得到了

c1’ y1‘加上c2’ y2‘

等于f(x)

实际上

这个关于未知函数c1c2的方程组

我们前面是接触过的

这就是我们

在讨论二阶线性常系数非齐次方程的

变动任意常数法时

得到的那个方程组

也就是说

无论是二阶线性常系数非齐次方程

还是二阶线性非齐次方程

他的变动任意常数法

无论我们的求解思想

或者叫求解想法

以及我们最后得到的

未知函数满足的方程组

也就是说

这个地方应该是一阶导数

也就是无论我们得到的

这个未知函数满足的方程组

还是完全一样的

因为我们已经假设了

y1y2是这个齐次方程的两个线性无关解

所以在这个方程组里面

这个未知量的系数矩阵

他的行列式应该还是不等于0的

因为他是两个线性无关的

函数的朗斯基行列式

所以说我们照样可以这样写出来

c1’解出来应该就是

y1y2‘-y2y1’ 这是我们的分母

而我们的分子

应该就是-y2xf(x)

我们的c2一撇x

解出来应该就等于

分母当然还是系数矩阵的行列式

就是y1y2‘-y2y1’ 一撇

分子应该就是y1f(x)

这样我们做不定积分

就把c1c2求出来

好 这样我们就可以

把这个非齐次方程的通解写出来

也就是y(x)=αy1(x)+βy2(x)

这是他对应的齐次方程的通解

再加上他的特解

他的特解我们已经得到了

c1(x) 然后y1(x)是已知的

再加上c2(x)我们也求出来了

再乘上y2(x)

这样我们就得到了

这个非齐次方程的通解

这就是说 如果我们知道

他对应的齐次方程的

两个线性无关解的时候

我们可以这样来直接求解他的通解

当然前提是

对于二阶线性齐次方程来说

我们怎么样去求

他的一个非零特解

或者我们怎么样去求

他的两个线性无关的解

对于一般的线性齐次方程来说

我们怎么样得到一个他的非零特解

或者是说

我们得到他的两个线性无关的解

这个在微积分课程里面不做一般的介绍

但是有时候

我们对方程 特殊方程

可以通过观察法

得到他的一个非零解

这当然就是说

是一个对特殊的方程有效的方法

如果系数函数是幂函数时

我们可以利用所谓的幂级数解法

去得到他的一个非零解

或者是说

得到他的线性无关的解

在这个地方

我们只是假设了

已知他是他的线性无关解的时候

在这个前提下

我们得到了他的变动任意常数法

接下来我们看一个简单的例题

我们看这个方程

(x-1)y''-xy'+y=0

现在大家看一下

我的y1(x)=x满足不满足方程

实际上 你一验证就行了

两阶导是0

这个地方一阶导是1

这就是-x再加上y加x=0

所以这是他的一个解

接下来我们看一下y2(x)=ex

那么因为ex求一阶导和求两阶导

与他自身是一样的

所以大家把他带进去

把ex提出去

自然这个还是等0的

所以说对这个方程

我们就知道了

他的两个解

而且这两个解

我们很容易能够证明他是线性无关的

现在我们的问题是说

在这个条件下

我们来求解(x-1)y''-xy'+y=(x-1)^2的通解

那根据这个条件

我们做这个题目的时候

是不就可以这样说

我就令 我的y(x)

就等于c1(x)x+c2(x)ex

然后我去解

解下面这个方程组

也就是c1‘x+c2’ex=0

然后c1‘ x求导是1

再加上c2’

ex求导 还是他本身

这面应该等于x-1的平方

这样子时候

我们求c1

求c1的时候

大家看一下

我只要两个方程一减就行了

一减第二项消掉

也就是说这时候我的c1‘

应该就等于是-(x-1)

那么c1x我们就可以求出来

他应该就等于

1的原函数是x

-x的原函数是-1/2x^2

所以说我们的c1就求出来了

那么我要想求

这个c2的时候

大家看一下

我只要两个方程

就在第二个方程两端同乘上x

第二个方程减掉第一个方程

那就应该是

把这个c1’给消掉了

好接下来我们看

我们怎么样求

我们的c2(x)

也就是在第二个方程两端

我们同乘上x

那么第二个方程减掉第一个方程

就把c1‘消掉了

所以这个时候

我们就推出

我们的c2’

这面应该就是(x-1)e^(-x)

这时候我们做一个不定积分

就是这样我们c2(x)

应该-1乘上e-x的原函数

应该就是e-x

接下来还有一个xe-x

我们用分部积分

分部积分应该是减掉xe-x

然后在一个-e-x

所以应该是等于-xe-x

这就是我们的c2(x)

所以说我们这个方程的通解

y(x)应该就等于

我们的c1x+c2ex

最后再加上他的一个特解

特解应该就是(x-1/2x^2) 再乘上x

再加上也就是-xe^-x再乘上ex

当然这些大家都可以给他

稍微整理一下

这就是我们最后求的

这个二阶线性

非齐次方程他的通解

这是利用变动任意常数法求解

所以对于变动任意常数法来说

实际上无论是常系数还是非常系数

我们的处理思想或者处理方法是一样的

实际上给大家留个练习

这练习也就是说

如果对于三阶的问题

说我一个三阶的方程

加上a(x)两阶导加b(x)一阶导

再加上c(x)y=f(x)

现在如果我知道

他对应的齐次方程的

三个线性无关的解y1 y2 y3

那请大家看一下

我能不能用所谓的

变动任意常数法的想法

来求解这个方程

如果可以的时候

那么我们对

这个c1c2c3这三个函数

应该加什么样的条件

实际上我们是可以

对这样的三阶线性非齐次方程

用变动任意常数法进行求解的

只要大家在处理的过程中

对这三个新的未知函数

加适当的条件

最后我们处理的应该是关于

c1c2c3这三个函数一阶导数

满足的线性方程组

最后解出来

跟我们二阶方程的

变动任意常数法的处理方法是一样的

只是解代数方程组的时候

由两阶的 由两个未知量的

变成了三个未知量的

实际上这个想法

我们可以一直推广到n阶线性微分方程

只是在解代数方程组时

由于未知量个数的增多

计算量就变得越来越大

所以我们就只以二阶的为例来做介绍