当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第一章 多元函数微分学 > 第一节 多元连续函数 > 多元函数的有关概念
好 这节课开始我们来
介绍一下多元连续函数
首先我们来看一下 多元函数的概念
在这一部分
我们主要介绍三个方面的内容
一个是多元函数的定义
第二个方面是介绍一下多元函数的图形
最后一个方面
介绍一下多元函数的等值线
我们先说一下多元函数的定义
实际上在前面
我们曾经学习过一元函数
我们知道一元函数研究的是
两个变量之间的某种对应关系
多元函数研究的是
多个变量与一个变量之间的对应关系
譬如说我们比较熟悉的长方形面积
也就是S等于a乘b
那么长方形的长和宽
与这个长方形面积之间
实际上就是一个对应关系
也就只要给定了
长方形的长和宽的值
我自然就会得到它的一个面积值
再譬如说
我们在中学物理里面学的并联电路
那么两个电阻作并联
那么总的电阻与这两个电阻之间的关系
应该是这一个等式决定的
在这个等式里面 那么R
实际上也是由R1和R2确定的
也就是说给定了R1 R2的值
通过这个关系 我们就可以决定
一个唯一的R的值
就是类似于这样的
多个变量与一个变量之间的对应关系问题
我们在前面实际接触了很多
那么 我们这样的关系
实际上就是多元函数的关系
那 我们以二元函数为例
写一下多元函数的定义
设D是R2空间中的一个非空点集
f是D上的一个对应关系
如果这个对应关系满足这个条件
也就是若对D中的任意一个点x y
我总能找到唯一的一个实数
通过这个对应关系与它对应
那么 我们就称
f是定义在D上的一个二元函数
我们记作z等于f x y
那么x y 称为自变量 z是函数值
那么自变量x y的变化范围
称为这个函数的定义域
而定义域上所有点的函数值构成的集合
我们就称为是这个二元函数的值域
类似的 如果我们考虑的是
R3中的一个非空点集
那么对于这个非空点集中的任何一个点
如果我们通过一个对应关系
总能找到唯一的实数与它对应
那么我们自然就会得到三元函数的定义
那 二元 三元 以至一般的n元函数
我们通称为多元函数
n元函数 我们可以写成
y等于f x1 x2一直到xn
其中x1 x2到xn表示的是Rn中的一个点
那这个等式表示的就是一个n元函数
这是关于多元函数的定义
与一元函数一样
我们有时候讨论一个多元函数
首先要问在什么范围上
来讨论这个多元函数
实际上就牵扯到多元函数定义域的问题
求多元函数的定义域
与求一元函数定义域是类似的
主要就是把 多元函数这个表达式里面
运算有意义的点的范围给找出来
譬如说我们这个函数
也就是f x y等于根下1减x方再减y方
这就是一个简单的二元函数
那么这个二元函数它的定义域
实际就是根号下面的东西
只要非负就可以了
所以说 它的定义域
如果在平面上表示出来
就是x方加y方小于等于1
这应该是圆心在原点
半径为1的一个单位圆盘
再譬如说 我们这个函数
f x y等于ln 这里面是1
譬如说 就是直接写x加y
就这个二元函数
那么 根据对数函数的定义
我们知道 要想取对数
那么x加y应该是大于零
所以说它的定义域在平面上写出来
应该是x加y大于零
这实际上就是说我把这个平面
被y等于负x这条直线一分为二
那么上边这个半平面
应该就是这个函数的定义域
类似的 我们可以求一些
简单函数定义域
我想 这是关于这个D里面怎么来确定
一个具体函数定义域的问题
接下来我们来看第二个方面的内容
就是多元函数的图形
那么 我们还是以二元函数为例
来写出它的定义
我们假设z等于f x y
是非空点集D上的一个二元函数
那么 我们就称 由这个二元函数
得到的这个R3中的点集
也就是它的 x y坐标就是自变量
z是x y这一点对应的函数值
那么 我们就把这个R3中的点集
称为函数的图形
所以说任何一个二元函数
都是有图形的概念
一般的 我么可以定义n元函数的图形
就是R n加1空间中的一个点集
但是我们一般谈图形 往往说
一元函数的图形
一般的是x y平面上的一条曲线
那么对二元函数来说 它的图形
只要这个二元函数是简单的函数
那么 我们有时候也可以在R3空间中
把它的图形给画得出来
就是说 函数z等于x减2y加2
它的图形是x y z空间中的一张平面
这个平面与三个坐标轴的交点分别是
-2 0 0 0 1 0和0 0 2
这样我们就会得到它与三个坐标面的交线
从而就能画出这张平面
函数z等于根下1减x方减y方
它的图形 在x y z空间中
是一个球心在原点半径为1的上半球面
函数z等于根下x方加y方
它的图形在x y z空间中
是一个位于上半空间中的圆锥面
这个圆锥面 与垂直于z轴的交线
是一个圆心在z轴上的圆
它与y z平面的交线 是两条直线
函数z等于根下x方加y方
它的图形在x y z空间中 是一个上半圆锥面
这个圆锥面与垂直于z轴的平面的交线
是一个圆心在z轴上的圆
而与y z平面的交线
是两条从原点出发的射线
函数z等于x方加y方
它的图形在x y z空间中
是一个所谓的旋转抛物面
这个曲面与垂直于z轴的平面的交线
是一个圆心在z轴上的圆
它与y z平面的交线 是一条抛物线
方程是z等于y方
函数z等于x方减y方
它的图形在x y z空间中 是所谓的马鞍面
这张曲面与垂直于z轴的平面的交线
是双曲线
如果z大于零的时候
这个双曲线它的焦点是在
平行于x轴的直线上
如果z小于零时 这个交线
它是焦点在平行于y轴的直线上的双曲线
实际上就是这个图像为什么能画成这个样子
画二元函数图像
我们主要是通过画它们的等值线
来想象它们的图形
那什么叫二元函数的等值线
那我们的定义是这样子的
设z等于f x y 是D上的一个二元函数
那么我们就称 x y平面上的这个点集
也就是说
函数值都等于同一个数c的点构成的点集
是这个二元函数的一条等值线
实际上从这个定义我们可以看出
就是等值线 应该就是x y平面上的一条线
它实际上是这条空间曲线
也就是z 等于f x y这个二元函数的图形
与平面z等于c的交线
在x y坐标平面上的应该是投影曲线
我想这是关于这个二元函数等值线
那一般 对于三元函数 我们谈
应该谈是它的等值面
三元函数的等值面 也就是说
在三元函数的定义域里面
函数值等于同一个数的点构成的集合
实际上关于等值面的概念
我们可以一直推广到一般的n元函数
在微积分里面 我们主要讲二元函数
那么我们谈的主要
也是二元函数的等值线问题
你譬如说
函数z等于根下1减x方减y方的等值线
是x y平面上圆心在原点
半径在0到1之间取值的一系列的圆
就是这个方程x方除上a方
加上y方除上b方加z方除上c方等于1
在z大于等于1时 它确定了一个二元函数
这个二元函数的等值线 就是x y平面上
中心在原点 两个半轴分别是
a乘上根下1减c方分之z方
和b乘上根下1减c方分之z方
的一个椭圆
当然z的取值范围是在0到c之间取值
所以它是一系列的椭圆
函数z等于x方减y方 它的等值线
在x y平面上应该是有三种情况
如果z等于零时 它是两条过原点
斜率分别为正负1的直线
如果z是等于大于零的常数
那么它应该表示的是焦点在x轴上的双曲线
z如果是小于零的常数
它表示的应该是焦点落在y轴上的双曲线
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
