三重积分的计算：例题(1)在线视频

好 下面我们来看一下几道例题

要求这么一个三重积分

在Ω区域中的

1+x+y+z括弧三次方分子一dxdydz

其中Ω区域是这么一个区域

(x,y,z) x+y+z≤1 x≥0 y≥0 z≥0

我们画一下图的话看一下

Ω应该是这么一个区域

xyz 在这么一个区域 三棱锥

那我们来看看Ω区域在xy平面上的投影

这就是Dxy

显然我们可以发现

这个投影就是(x,y)x+y≤1 x≥0 y≥0

是直角三角形

所以我们可以知道

原来那个三重积分

1+x+y+z的三次方分之一的dxdydz

可以写成在Dxy这个区域上的二重积分

我们在Dxy这个区域上随便找一个点里面

你可以发现 我找一条线

垂直于z轴的一条线

有一个地方是进去的

有一个地方是不是就出来了

进去的是什么呢 c等于0

出来的 这个曲面我们把它叫做

x加上y加上z等于1

所以出来这个地方

实际上就是z等于1减x减y

所以进去是z等于0

出来是1减x减y

1下面是1+x+y+z括弧三次方dz

就变成了一个定积分

和一个二重积分的累次积分

那么在这个定积分里面

我们先做

我们先把z看做积分变量

除了z之外都是常数

所以这个定积分它的原函数也很简单

就变成了Dxy这个区域上的二重积分

原函数是等于负的二分之一

1+x+y+z括弧的平方

这就是它的原函数

Newton-Leibniz公式我们可以发现

下限是z等于零

上限是z等于1-x-y

这个函数的dxdy

因为还是那句话 xyz变量太多了

所以对哪个变量做Newton-Leibniz公式

我们写一下z等于零 z等于1-x-y

我们把这个上限代进去

减去下限代进去

最后我们可以发现

这是一个二重积分

我们把二分之一拿出来之后

就变成了Dxy上的二重积分

我们把上限拿进去

实际上就是把z等于1-x-y

x+y和-x-y抵消了之后

就是二分之一的平方

所以这个就是变成了负的四分之一

前面有一个负号

我们把下限代进去

负负得正 变成了1+x+y+z括弧的平方分之一

减去 这个函数的二重积分

那么这个函数的二重积分

我们再来看看Dxy这个区域

xy 1 1 这个就是Dxy区域

那么x的取值范围

我们再把二重积分化成累次积分

x取值范围从零到一

我们在x取值范围里面随便找一条

平行于y的一条线

有一个进去的是零

出来的 这条线是x+y=1

所以进去的是y=0

出来的是y=1-x

被积函数是1+x+y+z括弧的平方分之一

减去四分之一这个函数的dy

又变成了两个定积分的累次积分

然后我们就可以写成

把二分之一写出来

从零到一的积分

那么第一个函数的原函数是

负的1+x+y

这个函数Newton-Leibniz公式

下限是y=0

上限是y=1-x

这是第一个函数

第二个函数是负的四分之一

然后是1-x dx

我们把上限下限朝里面一代

就等于二分之一从零到一的积分

我们把下限代进去就变成了

1+x分之一减去上限代进去是二分之一

再减去四分之一的1-x

变成这个函数的定积分

当然这是一个很简单的函数

我们可以把它的定积分算出来

结果是

这个就是它的结果

那么这只是三重积分的一种做法

实际上来讲我们还有一种做法

我们这个三重积分

第二种做法是朝z轴上投影

我们可以发现

Ω这个区域又可以写成

(x,y,z) z大于等于零小于等于一

这时候(x,y)这个点是属于Dz

其中Dz是什么东西呢

Dz就是 我们来看一下

我们在z属于零到一之间随便找一个点

我做一个水平的平面

做出来这个就是Dz

它也是个直角三角形

这就是Dz

那么Dz的表示形式当然就是

(x,y) x大于等于零 y大于等于零

x+y小于等于1-z

这就是Dz

你可以发现

z不一样的话 Dz是变化的三角形区域

一旦写成这个样子

那么我们原来的三重积分

1+x+y+z括弧的三次方分之一dxdydz

也可以写成

z是从零到一dz

后面是一个二次积分 在Dz这个区域上

被积函数1+x+y+z括弧的三次方 dxdy

如果你愿意的话

我们把后面那个二重积分

接着可以写成二次积分

然后再算这么三个定积分

最后得到的结果

如果说算的正确的话

应该就是这么一个结果

那么在这我们就不再重复了

这种算法当然也是允许的