当前课程知识点:微积分——多元函数与重积分 > 第二章 多元函数微分学应用 > 第一节 多元函数微分学的几何应用 > 曲面的切平面与法线(之三)
好 接下来我们看一下
如果曲面的方程
是以参数方程形式给出
我们怎么样求曲面在相应点的
切平面和法线方程
也就是说 我们考虑的方程
是所谓的参数方程
我们怎么样求一求
曲面的切平面和法线问题
所谓参数方程指的是
曲面上点它的坐标(x,y,z)
都由参数(u,v)确定
这就是曲面的参数方程
我们为了求它的切平面和法线
我们还是假设这个曲面是光滑曲面
也就是假设
我们这里碰到的三个二元函数
都是具有一阶连续偏导数的
我们就用C1表示 这三个二元函数
都是具有一阶连续偏导数
现在我们看一下
怎么样求它在相应点的法向量
有了法向量自然就可以写出
切平面和法线方程
那我们先来解释一下
就是 这是一张曲面
如果它在参数(u0,v0)对应的点处
我还用M0来表示
就是这个点
在这里面 如果我们把v给它定死
也就是取定值
取定值的时候就会得到一个
x等于一个x(u,v0)
y等于y(u,v0)
z等于z(u,v0)
那么 这个方程表示的是什么
实际上它是一个单参数的
它表示的应该是一条曲线
而这条曲线
当然是过M0这一点的一条曲线
那么这是曲线的参数方程
所以说我们就能够得到
这条曲线在这点的切向量
切向量应该就是
τ1等于这个偏导数
偏导数也就是
偏x偏u 偏y偏u 偏z偏u
当然 它们都是在(u0,v0)那点取值
类似的 如果我们把u0这个参数取定
而让v在变的时候
我们会得到另外一条曲线
这条曲线仍然还是过M0这一点的
那么那条曲线在M0这点的切向量
根据参数方程形式下
曲线的切向量计算公式
我们把它记成τ2
它就应该是
x关于v的偏导数
y关于v的偏导数
z关于v的偏导数
在(u0,v0)那点取值
而我们的曲面在这一点的法向量
应该是既垂直于这条切线
也垂直于这条切线
所以法向量是既垂直于τ1
也垂直于τ2
那么根据向量叉乘的概念 我们知道
我们的法向量可以平行于它俩的叉积
因为我们说过
我们只要求它的方向
并不在乎它的长短
所以说我们可以直接写成 就是
τ1与τ2做叉乘
那么根据叉积的计算 我们知道
这个向量可以用这个公式来算
它的x y z方向上的方向向量
用i j k来表示
那么我们这个三阶行列式的第二行
应该就是τ1的分量
我们写的简单点
就是x关于u的偏导数
y关于u的偏导数
z关于u的偏导数
而第三行应该就是τ2这个向量的分量
也就是x关于v的偏导数
y关于v的偏导数
还有z关于v的偏导数
那么我们按第一行展开
就会得到这个向量的三个分量
第一个分量就是这个二阶行列式的值
这个二阶行列式的值自然就是
y关于u的偏导数
z关于u的偏导数
y关于v的偏导数
z关于v的偏导数
这就是第一个分量
第二个分量应该是这四个数
构成的二阶行列式的负值
我们给它交换两列
那就是 z关于u的偏导数
x关于u的偏导数
z关于v的偏导数
x关于v的偏导数
这就是第二个分量
第三个分量表示的应该是
这四个数构成的二阶行列式的值
那么我们写出来应该就是
x关于u的偏导数
y关于u的偏导数
还有x关于v的偏导数
y关于v的偏导数
所以说我们就利用
这张曲面的参数方程
利用这三个二元函数的一阶偏导数
相应的就得到了
这三个二阶行列式的值
由它们做分量构成的这个向量
就应该是曲面在相应点的法向量
当然 如果我们考虑的点
是参数(u0,v0)对应的点的时候
在这些偏导数取值的时候
都是在(u0,v0)那一点取值
有了法向量之后
我们自然就可以写出
切平面方程和法线方程
切平面方程 应该就是
这三个二阶行列式的值做法向量的分量
为了表述简单
我们分别用大写的A B C来表示它们
所以法向量应该就是
A它当然是在(u0,v0)那点取值
再乘上x减掉x0
再加上 B在(u0,v0)那点取值
再乘上y减y0
再加上 C在(u0,v0)那点取值
再乘上z减z0 等于零
其中(x,y,z)表示的是
切平面上任一点的坐标
(x0,y0,z0)应该是在这个参数方程里面
把(u,v)取成(u0,v0)之后得到的x y z的值
这是切平面方程
法线方程请大家自己写出
就是利用对应分量成比例
直接写出来就可以了
这是关于参数方程形式下
我们怎么样求它的切平面
和法线方程的结论
关于参数方程形式下
切平面方程我们还有一种求法
现在我们写的应该是切平面的
直角坐标方程
因为曲面是以参数方程形式给出的
大家可能会问
我能不能通过曲面的参数方程
直接得到切平面的参数方程
实际上关于曲面的参数方程
大家自然可以理解成是一个
从R2空间到R3空间的映射
我们前面曾经介绍过映射的微分
也就是说 我们要求
这个映射的微分的时候
应该是什么
就是求x y z这个映射的微分
最后它的计算公式
应该是这个映射的Jacobi矩阵
乘上自变量的微分
而Jacobi矩阵应该就是
第一行应该是这个函数
关于u v的偏导数做第一行
也就写出来 应该是
x关于u的偏导数
x关于v的偏导数
第二行应该是第二个分量函数
关于u v的偏导数
第三行是第三个分量函数
关于u v的偏导数
所以我们写出第二行应该是
y关于u的偏导数
和y关于v的偏导数
第三行是z关于u的偏导数
和z关于v的偏导数
这就是这个映射的Jacobi矩阵
而它自变量的微分是什么
自变量的微分也就是
u减u0 v减v0
因为对自变量来说
微分自然就等于它的改变量
那这样我们就得到了它的微分计算
但是大家知道
微分从几何上讲表示的是什么
微分值的大小表示的就是
曲面在这一点它的竖坐标的改变量
也就是说这个东西
应该就等于
它的切平面在这一点处
竖坐标的改变量
所以我们就直接写出来了
这个应该就等于
x减x0 y减y0 z减z0
应该等于这个微分
其中(x,y,z)是切平面上的一点
(x0,y0,z0)是切点
所以这样我们最后写出来
应该是这个样子
也就是x应该等于x0加上
给它乘过来 x关于u的偏导数
乘上u减u0
再加上x关于v的偏导数
乘上v减v0
这是第一个方程
第二个方程就是
y等于y0再加上
y关于u的偏导数乘上u减u0
再加上y关于v的偏导数
乘上v减v0
第三个方程就是
z等于z0加上一个z关于u的偏导数
乘上u-u0
再加上z关于v的偏导数
乘上v减v0
其中 这些偏导数
都是在(u0,v0)那一点取值
这样我们就得到了
曲面上点的坐标(x,y,z)
与这个参数u和v的关系
实际这就是切平面的参数方程
也就是说
有了映射的微分计算公式
以及微分的几何意义之后
我们可以通过双方的结合
直接可以把参数方程形式下
它的切平面的参数方程写出来
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式(以二元函数为例)
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场,保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程(初等积分法)
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题